(湖北省武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室,湖北 武漢 430300)
悟透導(dǎo)數(shù)本質(zhì)探析物理變化率問題
唐克明
(湖北省武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室,湖北 武漢 430300)
通過高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí),強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,豐富了物理問題解決的途徑。本文闡釋了導(dǎo)數(shù)本質(zhì)、幾何意義、物理意義,并應(yīng)用求導(dǎo)的數(shù)學(xué)工具,簡(jiǎn)單明了、形象直觀地探討一些物理現(xiàn)象和實(shí)例,總結(jié)物理學(xué)中變化率問題的處理思路,這有益于高三復(fù)習(xí)中的數(shù)理學(xué)科綜合,有益于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力。
導(dǎo)數(shù);變化率;數(shù)學(xué)知識(shí);物理問題
導(dǎo)數(shù)的知識(shí)已納入高中數(shù)學(xué)教材,在數(shù)學(xué)高考中已作為必考內(nèi)容,這是新課改的一大亮點(diǎn),為高中生解決物理問題增添了有力的數(shù)學(xué)工具。鑒于這部分知識(shí)是在高二下學(xué)期學(xué)完,那么在高三的一輪復(fù)習(xí)中,可以有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)重新認(rèn)識(shí)物理概念,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析物理問題的能力。
17世紀(jì)力學(xué)、航海、天文等方面取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展,這些發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出了新的要求,其中“根據(jù)物體的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度和加速度、求已知曲線的切線”這兩類問題直接導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生。
2.1 導(dǎo)數(shù)的定義
2.2 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)與幾何意義
由導(dǎo)數(shù)的定義可知“導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)處由于自變量變化所引起的函數(shù)變化的快慢程度,即表示函數(shù)變化的變化率,但在數(shù)學(xué)上一般都稱為導(dǎo)數(shù)”,我們可以認(rèn)為導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的變化率。
圖1
2.3 導(dǎo)數(shù)的物理意義
關(guān)于導(dǎo)數(shù)的物理意義沒有一個(gè)統(tǒng)一的說法,對(duì)于不同的物理問題有不同的意義,凡是在物理問題中,涉及物理量的變化率的問題,一般都是利用導(dǎo)數(shù)來解決。
在導(dǎo)體中,通過橫截面的電量Q是時(shí)間t的函數(shù),即Q(t),則Q(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),就是電流強(qiáng)度I(t)=Q′(t),即是電量對(duì)時(shí)間的變化率。
3.1 探討“氣球膨脹率”
生活中很多人都看到過這樣一個(gè)物理現(xiàn)象:在給氣球打氣的過程中,發(fā)現(xiàn)隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢。這一現(xiàn)象稱之為“氣球膨脹率”,即半徑隨容積變化的快慢,從物理學(xué)的角度可以定性分析,但要定量描述這一現(xiàn)象,還需要借助數(shù)學(xué)工具來探討。若對(duì)這一物理現(xiàn)象作如下的導(dǎo)數(shù)分析,能啟迪學(xué)生的思維,有益于學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題能力”的培養(yǎng),分析如下。
圖2
3.2 探討“萬有引力隨物體離地高度h增大,減少得越來越慢”
圖3
圖4
3.3 探討“高臺(tái)跳水,速度的變化”
3.4 探討“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),速度隨位移的變化快慢”
圖5
圖6
拓展探究:振子m的動(dòng)能Ek,隨時(shí)間t的變化快慢;隨位移x的變化快慢。
圖7
在物理學(xué)中,要探討物理量的變化率問題,可用物理規(guī)律建立兩者間的函數(shù)關(guān)系,用計(jì)算機(jī)作出它們的函數(shù)圖像,用導(dǎo)數(shù)的幾何意義或原函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性來判斷解決,這是我們解決物理學(xué)中關(guān)于變化率問題的思路。
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