楊海，候靜，付瑞琴

(1. 西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710048；2. 西安石油大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710065)

關(guān)于三次Diophantine方程x3+1=2p1p2Qy2的可解性

楊海1，候靜1，付瑞琴2

(1. 西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710048；2. 西安石油大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710065)

三次Diophantine方程；正整數(shù)解；同余條件

Diophantine方程是數(shù)論中一個古老而又十分重要的分支，因?yàn)槠溲芯績?nèi)容之豐富、未解決問題與猜想之多、入門之容易和解決之困難而著名。尋求Diophantine方程的整數(shù)解是數(shù)論研究中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。近幾十年來，Diophantine方程理論不僅自身的發(fā)展異?；钴S，而且全面應(yīng)用于數(shù)學(xué)相關(guān)的其他各個領(lǐng)域。如邵檬[1]制定了丟番圖四定理，解決了數(shù)論中任意正整數(shù)究竟能分解成幾個平方數(shù)之和的這一古老問題。王澤輝[2]基于數(shù)論中大數(shù)分解的困難性設(shè)計了新算法并對RSA 密碼制的解密進(jìn)行了研究。三次Diophantine方程的求解是一個十分困難的問題，但是其研究方法與理論成果在代數(shù)數(shù)域(二次域類數(shù))、組合設(shè)計、圖論、有限單群甚至編碼和密碼學(xué)等領(lǐng)域均有重要的應(yīng)用。令N是全體正整數(shù)的集合。對于無平方因子正整數(shù)D, 方程

x3+1=Dy2,x,y∈N

(1)

是一類討論較多的三次Diophantine方程(參見文獻(xiàn)[3-7])。本文研究了上述三次Diophantine方程的可解性，給出了該方程無解的同余條件。

1 定理及推論

D=2p1p2Q

(2)

時無解的充分條件。最近，杜先存等[6]證明了：當(dāng)D=2p1p2Q時，如果p1,p2,Q滿足

p1≡1(mod 8),

p2≡5(mod 8),

Q≡5,13(mod 24)

(3)

或

p1≡5(mod 8),

p2≡3(mod 8),

Q≡3(mod 4)

(4)

那么方程(1)無解(x,y)。本文應(yīng)用初等數(shù)論方法進(jìn)一步證明了以下結(jié)果：

定理1 當(dāng)D滿足式(2)時，如果p1,p2,Q滿足

p1≡1(mod 8),

p2≡5(mod 8),

Q≡1(mod 4)

(5)

那么方程(1)無解(x,y)。

顯然，上述定理改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]給出的條件(3)。同時，將文獻(xiàn)[6]的結(jié)果與本定理結(jié)合直接可得以下的：

推論1 當(dāng)D滿足式(2)時，如果p1,p2,Q滿足式(4)或式(5)，那么方程(1)無解(x,y)。

2 定理的證明

首先引入有關(guān)Pell方程解的若干基本性質(zhì)。對于非負(fù)整數(shù)n, 設(shè)

(6)

其中

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[8-12]直接可得以下引理：

引理1 設(shè)m是非負(fù)整數(shù)。

(i)(u,v)=(un,vn)(n=1,2,…)是方程

u2-3v2=1,u,v∈N

(8)

的全部解。

(ii)

(iii)gcd(un,vn)=1,gcd(u2m+1,um+1vm+1)=2。

(iv)un的奇素因數(shù)q都滿足q≡1(mod 6)。

p1p2≡5(mod 8),

(9)

又因?yàn)镼的素因數(shù)q都滿足q≡5(mod 6), 所以由引理1的結(jié)論(ii)和(iv)可知

gcd(Q,un)=1

(10)

當(dāng)D=2p1p2Q時，方程(1)可表為

x3+1=2p1p2Qy2,x,y∈N

(11)

設(shè)(x,y)是方程(11)的一組解。下面按照文獻(xiàn)[6]的分析可知，本定理的證明只需排除以下8種情形。

情形Ⅰ

x+1=2p1p2Qa2,x2-x+1=b2,

y=ab,a,b∈N

(12)

由式(12)得3=(2b)2-(2x-1)2≥2b+(2x-1)>3這一矛盾，故不可能。

情形Ⅱ

x+1=2p1Qa2,x2-x+1=p2b2,

y=ab,a,b∈N

(13)

由式(13)中第一個等式可知x≡-1(modp1), 將其代入式(13)中第二個等式可得p2b2≡3(modp1), 故有

(14)

情形Ⅲ

x+1=2p2Qa2,x2-x+1=p1b2,

y=ab,a,b∈N

(15)

此時，由公式(15)的第一個等式可知：x≡-1(modp2),p1b2≡3(modp2)以及

(16)

情形Ⅳ

x+1=2Qa2,x2-x+1=p1p2b2,

y=ab,a,b∈N

(17)

因?yàn)镼≡1(mod 4), 所以由式(17)中第一個關(guān)系式可得

(18)

又因?yàn)?不整除a, 所以由式(17)中第二個等式和式(18)可知

p1p2≡p1p2b2≡x2-x+1≡

(19)

情形Ⅴ

x+1=6p1p2Qa2,x2-x+1=3b2,

y=3ab,a,b∈N

(20)

在式(20)中消去x可得

(2b)2-3(4p1p2Qa2-1)2=1

(21)

由式(21)可知方程(8)有解(u,v)=(2b,4p1p2Qa2-1)適合v≡3(mod 4)。因此，根據(jù)引理1的結(jié)論(i)和(ii)可知2|a,

a=2c, 2b=u4r+3,

16p1p2Qc2-1=v4r+3,c,r∈N

(22)

因?yàn)橛墒?6)和式(7)可知

4u2r+1ur+1vr+1

(23)

所以由式(22)中第三個等式和式(23)可得

4p1p2Qc2=u2r+1ur+1vr+1

(24)

再由引理1的結(jié)論(iii)可知gcd(u2r+1,ur+1vr+1)=2, 從而根據(jù)式(10), 由式(24)僅可能推出以下3種情況：

u2r+1=2f2,ur+1vr+1=2p1p2Qg2

(25)

(26)

u2r+1=2p1p2f2,ur+1vr+1=2Qg2

(27)

g=hk, 2不整除hk,h,k∈N

(28)

又因?yàn)镼≡1(mod 4)且k2≡1(mod 8), 所以根據(jù)引理1的結(jié)論(ii), 由式(28)中第二個式子可知r+1≡1(mod 4), 于是可得r=4s, 其中s是正整數(shù)。進(jìn)而由式(26)和式(28)中第一個等式可得

(29)

因?yàn)橛梢?的結(jié)論(ii)可知u8s+1≡u4s+1≡2(mod 16), 又因?yàn)閒2≡h2≡1(mod 8), 所以由式(29)可得

(30)

如果式(26)在2不整除r時成立，則因r=2t+1, 其中t是正整數(shù)，所以由式(26)中第二個等式可知

(31)

因?yàn)?不整除u2t+2,gcd(Q,u2t+2)=gcd(u2t+2,u2t+2)=1且u2t+2不是平方數(shù)，所以由式(31)可得

g=hk,h,k∈N

(32)

又因?yàn)間cd(Q,ut+1)=gcd(ut+1,vt+1)=1, 所以由式(32)中第二個等式可知

k1,k2∈N

(33)

但是，由引理1的結(jié)論(v)可知式(33)中第一個等式不成立。

如果式(27)成立，gcd(Q,ur+1)=gcd(ur+1,vr+1)=1, 所以由式(27)中第二個等式可知ur+1或ur+1/2必為平方數(shù)。然而，根據(jù)引理1的結(jié)論(v)可知這是不可能的。因此情形Ⅴ不成立。

情形Ⅵ

x+1=6p1Qa2,x2-x+1=3p2b2,

y=3ab,a,b∈N

(34)

由公式(34)可知

x≡-1(modp1), 3p2b2≡3(modp1),

p2b2≡1(modp1)

情形Ⅶ

x+1=6p2Qa2,x2-x+1=3p1b2,

y=3ab,a,b∈N

(35)

由式(35)可知

x≡-1(modp2), 3p1b2≡3(modp2),

p1b2≡1(modp2)

以及

與式(9)矛盾，故不可能。

情形Ⅷ

x+1=6Qa2,x2-x+1=3p1p2b2,

y=3ab,a,b∈N

(36)

因?yàn)镼≡1(mod 4), 所以由式(36)中第一個等式可知

(37)

又由式(36)中第二個等式和式(37)可得

(38)

與式(9)矛盾，故不可能。

綜上所述即得本定理。證畢。

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OnthesolvabilityofthecubicDiophantineequationx3+1=2p1p2Qy2

YANGHai1,HOUJing1,FURuiqin2

(1. School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China;2. School of Science, Xi’an Shiyou University, Xi’an 710065, China)

cubic Diophantine equation; positive integer solution; congruence condition

O156.7

A

0529-6579(2017)05-0030-04

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.05.004

2016-12-16

國家自然科學(xué)基金(11226038, 11371012)；陜西省自然科學(xué)基金(2017JM1025)；陜西省教育廳科研計劃項(xiàng)目(17JK0323)；西安石油大學(xué)博士科研項(xiàng)目 (2015BS06)

楊海(1979年生)， 男；研究方向數(shù)論及其應(yīng)用；E-mail:xpuyhai@163.com