摘 要：“第二重要極限”是極限計算中的重要內(nèi)容，也是教學(xué)難點。Excel具有強大的計算、分析數(shù)據(jù)能力和圖形可視化功能，對“第二重要極限”講解和理解方面起著積極地輔助作用。

關(guān)鍵詞：第二重要極限；Excel；試驗?zāi)M

基金項目：遼寧省職業(yè)技術(shù)教育學(xué)會課題“應(yīng)用型大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)引入Excel軟件的改革探索“（LZY17220）

1 “第二重要極限”的教學(xué)現(xiàn)狀

“第二重要極限”是求極限中一種非常重要的類型，不僅可以用來證明一些無窮小量的等價關(guān)系，推導(dǎo)一些基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，同時該公式在投資等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。雖然“第二重要極限”在高等數(shù)學(xué)極限計算中起著重要作用，但學(xué)生對“第二重要極限”的理解和應(yīng)用卻存在困難，主要基于以下原因：

（1）英國數(shù)學(xué)史家M.克萊因指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要問題是動機問題，而“第二重要極限”公式的出現(xiàn)較為突兀，不能讓學(xué)生產(chǎn)生足夠的學(xué)習(xí)動機。

（2）“第二重要極限”公式的證明是以單調(diào)有界準則為基礎(chǔ)，這個準則本身對于應(yīng)用型本科學(xué)生而言就存在難度，而該公式還要證明數(shù)列的單調(diào)性以及有界性。公式過于繁瑣、抽象的證明，容易讓學(xué)生產(chǎn)生畏難心理，進而失去繼續(xù)學(xué)習(xí)重要極限的興趣和積極性。

（3）“第二重要極限”存在兩種基本表達形式：

與 ，可以看出這兩種表達形式非常相像，在實際練習(xí)

時，學(xué)生常常把二者混淆起來，進而導(dǎo)致了最后極限計算結(jié)果的錯誤，還有“第二重要極限”在應(yīng)用時需要構(gòu)造特定的極限形式，學(xué)生對于該公式的靈活應(yīng)用存在一定困難。

2 “第二重要極限”的教學(xué)設(shè)計

2.1 導(dǎo)入新課

一投資者欲用1000元投資5年， 設(shè)年利率為6%，分別計算每年2次、3次、4次復(fù)利、和連續(xù)復(fù)利，到第5年末， 該投資者應(yīng)得的本利和S。

分析：很容易求得每年2次、3次、4次復(fù)利投資者應(yīng)得的本利和，繼而易知付息次數(shù)越多，投資者應(yīng)得的本利和越大。那么問題提出，連續(xù)復(fù)利的本利和是否為無窮大呢？

2.2 利用Excel計算和圖形描述功能，進行實驗?zāi)M，獲得第二重要極限公式

（1）在單元格區(qū)域A1：A16中輸入自變量x取值，如圖1所示。

（2）選中單元格格B1，輸入公式“=（1+1/ A1）^ A1”，按“ENTER”鍵，得A1對應(yīng)的函數(shù)值，再利用填充功能，得到其他函數(shù)值。這樣就計算出了函數(shù) 的值，如圖2所示。

（3）以單元格區(qū)域A1：B16為數(shù)據(jù)區(qū)域，插入“光滑散點圖”，繪制圖形，如圖3所示。

從（2）、（3）可以看到：當(dāng)x→∞時，函數(shù)f（x）= 的值無

限接近于一個常數(shù)，將這個常數(shù)記作e.即e=2.718281828459045…，它是一個無理數(shù).在自然科學(xué)中，以e為底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)經(jīng)常被采用，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記為lnx。

2.3 公式本質(zhì)分析

為了能夠讓幫助學(xué)生有效地掌握和靈活地應(yīng)用該公式，現(xiàn)對第二重要極限公式進行了研究分析，透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

（1）首先明確應(yīng)用第二重要極限公式求極限的函數(shù)必須是 型的密指函數(shù)，即要求 的 型。注：

（2）其次把底函數(shù)改寫成 “1+”的形式，即令 。

（3）最后把指數(shù)函數(shù)改寫成倒數(shù)形式，即令 。

歸納求第二重要極限型極限的步驟為：

（注： ）

綜合可知，求第二重要極限型極限不論變形有多少，只要抓住上述本質(zhì)，就能以不變應(yīng)萬變。

2.4 例題講解

例1 求

分析：首先它是 型，底函數(shù)已經(jīng)改寫成了“1+”的形式，只

要把指數(shù)函數(shù)改寫成 形式即可。

解：

例2求

分析：首先它是 型，底函數(shù)是“1-”的形式，需要改寫成了“1+”的形式，還要把指數(shù)函數(shù)改寫成 形式。

解：

例3求

分析：這道題表面上看，它的底函數(shù)似乎不符合公式的形式，但它是 型，底函數(shù)需要改寫成了“1+”的形式，指數(shù)函數(shù)需要改寫

成 形式。

解：

例4 求

分析：這是1991年研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)二試題。如果我們直接把底函數(shù)需要改寫成了“1+”的形式，接下來的計算將比較困難。我們試著先用換元法轉(zhuǎn)變一下。

解：

類似的，2016年研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)二、三試題，求極限 ，如果我們直接把底函數(shù)需要改寫成了“1+”

的形式，接下來的計算也將比較困難。我們試著先用三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變一下， 。

例5設(shè) ，則當(dāng) 時 是x的（ ）

A.等價無窮小 B.二階無窮小 C..三階無窮小 D.四階無窮小

分析：這是一道比較難的考研類型題，是第二重要極限的逆運算和無窮小比較的綜合應(yīng)用。

解：

由可知 ，即 ，

推出 ，所以 。綜上可知當(dāng) 時

是x的.三階無窮小。答案選擇C

例6一投資者欲用1000元投資5年， 設(shè)年利率為6%，試按連續(xù)復(fù)利付息方式計算， 到第5年末， 該投資者應(yīng)得的本利和S。

分析：這道題是引出課題中的引例，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)之前學(xué)習(xí)的公式推導(dǎo)出連續(xù)復(fù)利公式：

（其中S為本利和，r為年利率，t為時間）

解：按連續(xù)復(fù)利公式計算

注： 連續(xù)復(fù)利的計算公式在其它許多問題中也常有應(yīng)用如細胞分裂、樹木增長等問題.

3 結(jié)束語

針對第二重要極限教學(xué)中存在的問題，利用案例引入、Excel輔助教學(xué)演示、對公式的本質(zhì)分析，以及由易到難的例題講解，降低了第二重要極限公式學(xué)習(xí)和應(yīng)用的難度，使得學(xué)生對 類型的極限可以有效地進行解析， 同時提高了公式的簡易實用性。

參考文獻

[1]吳贛昌.微積分（經(jīng)濟類）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2012.

作者簡介

梁海濱（1978-），女，遼寧人，遼寧對外經(jīng)貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)課教研部副教授，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。endprint