呂鳳姣

(黃河科技學(xué)院 信息工程學(xué)院, 河南 鄭州 450063)

創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育背景下高等數(shù)學(xué)教育模式的探討

呂鳳姣

(黃河科技學(xué)院 信息工程學(xué)院, 河南 鄭州 450063)

針對(duì)在創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育背景下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法所存在的問題進(jìn)行探究,提出高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育的新模式——問題牽引式教學(xué)法.以方向?qū)?shù)與梯度的概念為例,以問題牽引式教學(xué)思想為指導(dǎo)進(jìn)行教學(xué)過程設(shè)計(jì),更好地把高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)人才培養(yǎng)目標(biāo)統(tǒng)一起來.

創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育; 高等數(shù)學(xué); 問題牽引式教學(xué)法; 方向?qū)?shù); 梯度

0 引言

隨著中國經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,數(shù)學(xué)的重要性也在其相互交會(huì)中日益凸顯出來,創(chuàng)新教育對(duì)教育體系的調(diào)整至關(guān)重要,因此高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)也倍感重要.當(dāng)今倡導(dǎo)的基于創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育而實(shí)行的高等數(shù)學(xué)教學(xué),對(duì)于促進(jìn)“學(xué)習(xí)型”人才培養(yǎng)模式向“應(yīng)用型”人才培養(yǎng)模式的轉(zhuǎn)變具有積極意義.高等數(shù)學(xué)作為理工科高校重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程,找到該課程與應(yīng)用型高校人才培養(yǎng)相匹配的教學(xué)方法是十分重要的.筆者在認(rèn)真分析創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,并結(jié)合我國自身教學(xué)實(shí)踐和國際教學(xué)經(jīng)驗(yàn),提出了高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育的新模式——問題牽引式教學(xué)法,希望能為高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法提供新的參考.問題牽引式教學(xué)法是基于蘇聯(lián)教育家馬赫穆托夫提出的“問題教學(xué)法”演變而來的.馬赫穆托夫反對(duì)只注重知識(shí)傳授的教學(xué),要求引進(jìn)科學(xué)實(shí)踐的方式,把解決課題或問題作為教學(xué)的基本過程[1-3].

由于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最主要目的是應(yīng)用,能夠結(jié)合數(shù)學(xué)的思想方法,對(duì)實(shí)際問題給予恰當(dāng)?shù)慕鉀Q.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中針對(duì)具體內(nèi)容,適時(shí)實(shí)施問題牽引式教學(xué),可以讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí),做到學(xué)以致用,從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高他們的數(shù)學(xué)修養(yǎng).問題牽引式教學(xué)法就是以“問題”牽引為主線組織教學(xué),即以問題為中心,學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo),在教學(xué)中教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成一系列問題,圍繞知識(shí)點(diǎn),層層設(shè)問,并指導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生圍繞“問題”積極思考,在一種問題氛圍中促使學(xué)生掌握要點(diǎn)、難點(diǎn)、注意事項(xiàng),從而達(dá)到學(xué)習(xí)知識(shí)和啟迪思維的目的.本文以“方向?qū)?shù)與梯度”的概念為例,對(duì)教學(xué)的具體環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì),以探討高等數(shù)學(xué)教學(xué)中牽引式教學(xué)法的應(yīng)用.

1 教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

1.1 陳述案例,提出問題,激發(fā)興趣

圖1 地形圖Fig1 Topographic map

學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中,常常反映概念的引入、理論的建立過于抽象,感覺學(xué)習(xí)就是從概念到概念、由定理得到定理,與日常的生活實(shí)際聯(lián)系不足,因此容易產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣不濃的現(xiàn)象.為了避免這種情況,在方向?qū)?shù)與梯度的教學(xué)中,考慮創(chuàng)設(shè)合適的問題情境.實(shí)踐證明,合適的問題情境能使學(xué)員的求知欲高漲,能充分調(diào)動(dòng)學(xué)員的探索欲望和主觀能動(dòng)性.首先在PPT上播放一段山洪暴發(fā)的視頻,當(dāng)大家感受震撼畫面的時(shí)候,老師提出問題.

案例南方某山區(qū)(地形圖如圖1)由于暴雨引發(fā)山洪,部分村舍被沖毀,地方政府決定擇址重建安置受災(zāi)群眾.通過相關(guān)部門勘測,現(xiàn)在地形圖上標(biāo)示了幾個(gè)供選地點(diǎn),請(qǐng)你從防洪的角度做出選擇.

分析此案例取材于實(shí)際生活,具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義,從而使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探索興趣,為后續(xù)教、學(xué)創(chuàng)造了良好的情境.

1.2 分析案例,構(gòu)建概念

案例的展示激發(fā)了學(xué)生的興趣后,學(xué)生會(huì)進(jìn)行激烈的討論,但往往會(huì)缺失思考方向,討論顯得較為凌亂,這時(shí)就需要教師對(duì)學(xué)生的分析討論進(jìn)行引導(dǎo),通過教學(xué)互動(dòng)構(gòu)建相關(guān)概念.

導(dǎo)語1新的選址應(yīng)該避開可能形成的山洪線路,而“水往低處流”的經(jīng)驗(yàn)告訴我們,真正應(yīng)該關(guān)心的是水流下降最快的路徑.由于山地表面可以視為一個(gè)二元函數(shù)的圖像,因此我們需要從理論上討論二元函數(shù)沿某一方向的變化率問題.

導(dǎo)語2這里提到了變化率,大家馬上想到的是導(dǎo)數(shù)的概念,但是如何反映方向呢？對(duì),利用向量的概念.由于問題只關(guān)心方向性,因此只采用單位向量即可.

導(dǎo)語3導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限.現(xiàn)在請(qǐng)大家模仿導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)的定義,討論如何表述這種結(jié)合了方向的導(dǎo)數(shù)概念.

教學(xué)效果這樣就引出了方向?qū)?shù)的概念,既避免了直接給出方向?qū)?shù)概念的抽象性,還為學(xué)員理解方向?qū)?shù)的實(shí)質(zhì)、掌握方向?qū)?shù)的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).

經(jīng)過分析討論后得出：

圖2 方向?qū)?shù)的定義Fig2 The definition of directional derivative

定理1[4](方向?qū)?shù)的存在性)如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處是可微分的,那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在,且有

其中φ為x軸正向到方向l的轉(zhuǎn)角.

教學(xué)效果通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)案例分析和對(duì)問題思考的逐步深入,構(gòu)建出方向?qū)?shù)的概念,讓學(xué)生體會(huì)和感受從實(shí)際問題中產(chǎn)生概念的思想過程.

1.3 深化問題,建立理論

在案例教學(xué)中,案例的作用不僅僅是作為引例激起學(xué)生的興趣、引出概念,更應(yīng)該在整個(gè)教學(xué)過程中緊緊圍繞案例,通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)案例中提出的問題深入思考,以問題解決為指向,以已有知識(shí)為基礎(chǔ),經(jīng)過創(chuàng)造性思維活動(dòng)建立起相關(guān)的理論.

導(dǎo)語4前面經(jīng)過大家的思考、討論,類比導(dǎo)數(shù)的概念構(gòu)建了方向?qū)?shù)的概念.請(qǐng)大家想想案例中的問題解決了嗎？沒有.因?yàn)槲覀円獙ふ疑胶槁肪€,也即是二元函數(shù)沿著什么方向的變化率最大？換個(gè)說法就是尋找使方向?qū)?shù)最大的方向.

導(dǎo)語5直接考察方向?qū)?shù)可能感覺無從入手,那么請(qǐng)大家注意在前面定義的l={cosα,sinα},然后嘗試著對(duì)方向?qū)?shù)的表達(dá)式從向量運(yùn)算的角度進(jìn)行變形,可以得到什么結(jié)果呢？

導(dǎo)語6有同學(xué)將方向?qū)?shù)變形為向量的數(shù)量積形式,

這種形式能幫助我們解決“方向?qū)?shù)最大”的問題嗎？我們知道,當(dāng)兩向量同向時(shí),數(shù)量積最大.那么除了l={cosα,sinα}外,另一向量叫什么,它有什么特點(diǎn)呢？

由此引入梯度的概念.

gradf(x,y)=f(x,y)=i+j,

進(jìn)一步討論可得梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：

函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量,它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向,而它的模等于方向?qū)?shù)的最大值.

分析通過對(duì)問題的深入探討,引導(dǎo)學(xué)生圍繞“變化率最大的方向”這個(gè)問題,結(jié)合向量的運(yùn)算性質(zhì),對(duì)方向?qū)?shù)的表達(dá)式進(jìn)行形式轉(zhuǎn)化,在問題解決的同時(shí),自然地引入梯度的概念及其特點(diǎn),使學(xué)生的理論思維得到訓(xùn)練.

1.4 解決問題,總結(jié)方法

利用通過案例分析、問題深化環(huán)節(jié)構(gòu)建的概念和理論,對(duì)案例中的問題進(jìn)行解決,是案例教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié),可以讓學(xué)生體會(huì)到“實(shí)際—理論—實(shí)踐”的過程.

導(dǎo)語7現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了梯度方向是方向?qū)?shù)取得最大的方向,也就是山洪的流向.那么如何在地形圖上標(biāo)示出山洪可能的路徑呢？

導(dǎo)語8地形圖上標(biāo)示了山地的等高線,如果能找出梯度與等高線的位置關(guān)系,就可以以等高線為參照,繪出山洪流向.請(qǐng)大家分析討論梯度向量與等高線之間的位置關(guān)系.

首先給出等高線的概念,并討論得出梯度與等高線的關(guān)系：

函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等高線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同,且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線(圖3).

圖3 等高線Fig3 Contour line

導(dǎo)語9大家討論得到一點(diǎn)處的梯度向量垂直于過此點(diǎn)的等高線.現(xiàn)在就請(qǐng)大家在地形圖上繪出山洪的形成和流經(jīng)路線,從而對(duì)選址工作提供可靠的理論參考.為了使學(xué)生更直觀地觀察山洪流經(jīng)路線,又借助Matlab數(shù)學(xué)軟件畫出了山洪流下路線.通過增加這一教學(xué)環(huán)節(jié),使得數(shù)學(xué)教學(xué)變得更加生動(dòng)有趣,還能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力及結(jié)合計(jì)算機(jī)解決問題的能力.

導(dǎo)語10希望大家通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),理解并體會(huì)方向?qū)?shù)和梯度的概念以及它們之間的聯(lián)系,對(duì)于具體計(jì)算,是下節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

分析通過回歸案例,引導(dǎo)學(xué)生利用本堂課所建立的理論知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行解決,使學(xué)生真切地感受到知識(shí)從形成到應(yīng)用的過程,同時(shí)使學(xué)生的認(rèn)識(shí)得到升華.

2 結(jié)語

高等數(shù)學(xué)教學(xué)是高等教育的重要部分,在“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”的新時(shí)代口號(hào)下,更多地注重學(xué)生的實(shí)踐能力變得越來越重要,要想將當(dāng)今高等數(shù)學(xué)培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的改革需要得到有效的使用,在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,需要將學(xué)生的專業(yè)知識(shí)進(jìn)行有效結(jié)合,有效利用問題牽引式教學(xué)法.與傳統(tǒng)教學(xué)方法相比較占有一定的優(yōu)勢(shì),是新時(shí)代教育下的一種素質(zhì)教育,它既注重學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng),又注重學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用能力的培養(yǎng),它把開放式教學(xué)和探究式教學(xué)融于一體,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力,提高學(xué)生分析問題、解決問題能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力具有重要作用,完全符合新形勢(shì)下國家對(duì)人才培養(yǎng)的需要,是一種具有重要意義的教學(xué)方法[5].實(shí)踐表明,利用問題牽引式教學(xué)法,可以將學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣進(jìn)行有效的激發(fā),讓學(xué)生產(chǎn)生主動(dòng)求知欲,將學(xué)生的思路進(jìn)行有效的拓寬,還可以為專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果得到有效的提高,完成新型人才培養(yǎng)的目標(biāo).

[1] 黃剛.高等數(shù)學(xué)教學(xué)與應(yīng)用型高校人才培養(yǎng)的對(duì)接[J]. 曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015,34(3)：25-26.

[2] 田苗,白雪潔,李春蘭.大學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)法的研究與實(shí)踐[J].河北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(農(nóng)林教育版),2012,14(2):76-77.

[3] 楊雯靖.“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].中國電力教育,2010,29(24)：135-142.

[4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：103-111.

[5] 王慧敏.高等數(shù)學(xué)教學(xué)提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的策略[J].西部素質(zhì)教育,2016,17(15)：166-180.

DiscussiononHigherMathematicsEducationModeintheBackgroundofInnovationEducation

LV Fengjiao

(CollegeofInformationEngineering,HuangheScienceandTechnologyCollege,Zhengzhou450063,China)

Aiming at the problems existing in the teaching methods of higher mathematics in the background of innovation education, a new model of higher mathematics innovation education, problem based teaching method, is put forward. Taking the concept of directional derivative and gradient as an example, the teaching process under the guidance of problem based is designed. It is necessary to unify the teaching of higher mathematics with the goal of achieving high quality talents.

innovation education; higher mathematics; teaching method of problem based; directional derivative; gradient

2017-07-14

鄭州市科技局基金項(xiàng)目(20141375)

呂鳳姣(1983—)，女，河南商丘人，黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.013

G642.0;O172.1

A

1007-0834(2017)03-0058-04