孫乃葳,李建辰,萬(wàn)亞民

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第705研究所,陜西 西安,710077)

基于分布函數(shù)的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)建模

孫乃葳,李建辰,萬(wàn)亞民

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第705研究所,陜西 西安,710077)

為彌補(bǔ)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度確定性預(yù)報(bào)模型的不足,開(kāi)展了標(biāo)準(zhǔn)潛艇的目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)建模研究,以更好地滿足實(shí)際工程應(yīng)用的要求。建立基于Parzen窗估計(jì)的目標(biāo)強(qiáng)度密度函數(shù)模型; 為獲得該密度函數(shù)模型統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔的表達(dá)式,分別基于常用的分布函數(shù)模型對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度分布的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行最優(yōu)擬合; 并對(duì)χ2分布模型進(jìn)行改進(jìn),得到χ2三參數(shù)分布模型。通過(guò)誤差比較可知,改進(jìn)的χ2三參數(shù)分布模型可較好地描述潛艇目標(biāo)強(qiáng)度分布特征,所建立的統(tǒng)計(jì)建模方法及得到的模型參數(shù)可為潛艇目標(biāo)的仿真提供參考。

標(biāo)準(zhǔn)潛艇; 目標(biāo)強(qiáng)度; 統(tǒng)計(jì)建模;χ2分布

0 引言

潛艇由于隱蔽性好且作戰(zhàn)效能高,因而備受各國(guó)海軍青睞。獲取潛艇目標(biāo)強(qiáng)度特性是主動(dòng)聲吶探測(cè)的關(guān)鍵技術(shù)之一,準(zhǔn)確掌握目標(biāo)在不同態(tài)勢(shì)下的聲吶目標(biāo)強(qiáng)度,對(duì)魚(yú)雷等水中兵器的目標(biāo)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)具有十分重要的意義[1]。在魚(yú)雷主動(dòng)聲吶探測(cè)潛艇時(shí),由于潛艇目標(biāo)不僅形體復(fù)雜,其在水下運(yùn)動(dòng)時(shí)與魚(yú)雷的相對(duì)空間位置關(guān)系也會(huì)不斷變化,這些都會(huì)造成魚(yú)雷尋的脈沖回波特性的改變,導(dǎo)致潛艇回波起伏,進(jìn)而引起目標(biāo)強(qiáng)度的時(shí)變并影響魚(yú)雷自導(dǎo)檢測(cè)結(jié)果[2]。而目前較為成熟的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度預(yù)報(bào)模型多是確定性模型,其預(yù)報(bào)結(jié)果不能完全反映水下真實(shí)目標(biāo)強(qiáng)度的起伏特性,因而難以滿足實(shí)際工程應(yīng)用要求。

考慮到確定性模型的不足,采用統(tǒng)計(jì)建模的方法來(lái)描述和預(yù)測(cè)起伏特性十分必要。國(guó)內(nèi)外對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)建模研究較少,多是在雷達(dá)散射截面(radar cross section,RCS)的起伏統(tǒng)計(jì)特性研究的基礎(chǔ)上開(kāi)展的。RCS隨飛機(jī)的姿態(tài)及狀態(tài)變化呈現(xiàn)劇烈的起伏特性,是衡量飛機(jī)隱身性能的基本指標(biāo),而已有的研究工作多從統(tǒng)計(jì)分析的角度去描述和分析 RCS起伏模型[3]。Marcum和Swerlingl最早提出了用于描述RCS起伏統(tǒng)計(jì)特性的模型,分別稱為 Marcum模型和 Swerlingl-4模型[4],Meyer提出了χ2模型,Heidbreder和Mitchell提出了對(duì)數(shù)正態(tài)模型,Scholefield提出了賴斯模型[5]。陳世春等開(kāi)展了隱形飛機(jī)目標(biāo)的RCS起伏特性研究[6],以 6種典型隱身飛機(jī) F-117A、B-2、F-35A、X-45A、X-46和 X-47B為研究對(duì)象,通過(guò)RCS高頻計(jì)算方法獲取了各機(jī)型不同入射條件下的散射統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),利用χ2模型、對(duì)數(shù)正態(tài)模型和勒讓德多項(xiàng)式模型等3種較新的統(tǒng)計(jì)模型對(duì)計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,分析研究了各模型擬合的優(yōu)劣及主要影響因素,得出基本的擬合效果判別方法,該工作為分析計(jì)算隱身飛機(jī)的雷達(dá)檢測(cè)概率提供了支撐。

近年來(lái),國(guó)內(nèi)將聲吶散射原理與雷達(dá)散射原理結(jié)合,開(kāi)展了對(duì)水下目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)特性研究,取得了一些成果。上海交通大學(xué)結(jié)合雷達(dá)散射面積起伏機(jī)理,將雷達(dá)散射面積的概念延伸到水聲領(lǐng)域,首次提出了聲吶散射面積(sonar cross section,SCS)的概念,借鑒 RCS統(tǒng)計(jì)模型建立面向任意目標(biāo)的SCS起伏統(tǒng)計(jì)模型[7]。在此基礎(chǔ)上從統(tǒng)計(jì)意義上對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度進(jìn)行分析,推導(dǎo)出潛艇的目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型并獲得了目標(biāo)強(qiáng)度起伏的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。這是國(guó)內(nèi)首次在水聲領(lǐng)域?qū)δ繕?biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型開(kāi)展的研究,彌補(bǔ)了以往目標(biāo)強(qiáng)度預(yù)報(bào)模型是確定性模型的不足,預(yù)報(bào)結(jié)果在一定程度上反映了目標(biāo)強(qiáng)度的隨機(jī)性和起伏性,提高了模型在實(shí)際工程應(yīng)用和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中的準(zhǔn)確性。

文章在前人研究的基礎(chǔ)上開(kāi)展?jié)撏繕?biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)建模的研究。首先建立基于Parzen窗估計(jì)的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型,然后分別利用χ2分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布以及改進(jìn)后χ2三參數(shù)分布模型對(duì)統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行最優(yōu)擬合,通過(guò)相對(duì)熵的誤差比較,得到了最優(yōu)的分布函數(shù)模型及參數(shù)。文中提出的建模方法及模型參數(shù)可以更好地用于標(biāo)準(zhǔn)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)特性的描述。

1 目標(biāo)強(qiáng)度分布的Parzen窗估計(jì)

基于板塊元理論計(jì)算可以得到潛艇目標(biāo)強(qiáng)度理論樣本值,然后對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度的分布進(jìn)行核密度估計(jì),該方法屬于非參數(shù)的估計(jì)方法: 對(duì)已知的密度函數(shù),在觀測(cè)點(diǎn)上平均化,以期得到光滑的估計(jì)曲線[8]。

假設(shè)樣本數(shù)據(jù)值在D維空間服從一個(gè)未知的概率密度函數(shù),則其在區(qū)域R內(nèi)的概率為

假設(shè)N個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)有K個(gè)落入了區(qū)域R,則應(yīng)服從二項(xiàng)分布

由概率知識(shí)可知,在樣本數(shù)N足夠大時(shí)有

設(shè)V為區(qū)域R的空間,當(dāng)區(qū)域R足夠小時(shí)有

將式(3)與式(4)結(jié)合可得

根據(jù)式(5)來(lái)估算密度函數(shù)p（x）。假定區(qū)域R不變,即V不變,通過(guò)決定K的大小來(lái)估算密度函數(shù),采用核密度估計(jì)方法,可得密度函數(shù)為[9]

式中:V=hD,D為數(shù)據(jù)維數(shù),h為區(qū)域V的超立方體的棱長(zhǎng);k取正態(tài)分布形式的最優(yōu)窗函數(shù),其寬度為樣本數(shù)據(jù)范圍的 100等分,這種密度函數(shù)估計(jì)的方法稱為Parzen窗估計(jì)法。該方法的實(shí)質(zhì)是用正態(tài)分布窗函數(shù)代替樣本值來(lái)估計(jì)整體的概率密度分布。

采用Parzen窗估計(jì)方法對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì),可得到分布密度函數(shù),分析可知該函數(shù)為非線性函數(shù)。為找到一種簡(jiǎn)潔且通用的模型對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律進(jìn)行描述,從概率分布函數(shù)模型出發(fā),采用非線性最小二乘擬合的方法對(duì)Parzen窗估計(jì)的密度函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)擬合。

2 分布函數(shù)誤差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為獲得擬合效果最佳的分布函數(shù)模型,需要就分布函數(shù)對(duì)Parzen窗估計(jì)的密度分布曲線擬合效果進(jìn)行合理評(píng)價(jià)。首先對(duì)分布曲線的擬合誤差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論,通過(guò)參考相關(guān)文獻(xiàn)資料[10],歸納總結(jié)出2種常用的誤差計(jì)算公式

式中:pi為原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)概率;為分布統(tǒng)計(jì)模型的擬合概率;N為分段區(qū)間個(gè)數(shù),以上2種定義誤差的方法使計(jì)算得到的是誤差總和,從而導(dǎo)致結(jié)果偏大,不利于工程應(yīng)用,且從物理含義上不能很好描述概率分布曲線間差異。

由文獻(xiàn)[11]可知,在概率論或信息論中,KL散度(Kullback-Leibler divergence)又稱相對(duì)熵(relative entropy),是一種描述2個(gè)概率分布差異的方法。如果一個(gè)隨機(jī)變量X的可能取值為,對(duì)應(yīng)的概率為p(X=xi)(i=1,2,…,n),則隨機(jī)變量X的熵定義為

設(shè)p(x)和q(x)是X取值的2個(gè)概率密度分布,則p對(duì)q的相對(duì)熵為

相對(duì)熵可以衡量 2個(gè)隨機(jī)分布之間的距離,當(dāng)2個(gè)隨機(jī)分布相同時(shí),其相對(duì)熵為0,當(dāng)2個(gè)隨機(jī)分布的差別增大時(shí),其相對(duì)熵會(huì)增大。因此,采用相對(duì)熵的評(píng)價(jià)方法可以較好地對(duì)分布函數(shù)的擬合效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。下面分別基于常見(jiàn)概率分布模型對(duì)估計(jì)得到的密度函數(shù)開(kāi)展建模研究。

3 目標(biāo)強(qiáng)度分布函數(shù)建模

3.1 經(jīng)典分布函數(shù)模型

1) 目標(biāo)強(qiáng)度Γ分布模型

以χ表示目標(biāo)強(qiáng)度值,首先給出目標(biāo)強(qiáng)度Γ分布的概率密度函數(shù)

其中,,α β為Γ分布的可變參數(shù)。

2) 目標(biāo)強(qiáng)度對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型

若隨機(jī)變量各個(gè)值取對(duì)數(shù)后服從正態(tài)分布,則稱該分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。服從該分布的概率密度函數(shù)為

3) 目標(biāo)強(qiáng)度χ2分布模型

χ2分布適用的目標(biāo)為大型的、起主導(dǎo)作用的散射體加上大量較小的隨機(jī)散射體。該分布密度函數(shù)表達(dá)式為

式中:k為自由度,χ2分布為偏態(tài)分布,其分布形態(tài)受參數(shù)k影響較大。χ2分布為單參量的分布函數(shù),僅與自由度k相關(guān)。

3.2 目標(biāo)強(qiáng)度改進(jìn)χ2分布模型

結(jié)合 3種分布函數(shù)的特點(diǎn),對(duì)χ2分布模型的物理意義進(jìn)行深入研究,以期獲得既形式統(tǒng)一,又滿足各個(gè)舷角建模誤差最小的分布模型。查閱相關(guān)資料,在飛機(jī)雷達(dá)反射強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)建模中,改進(jìn)的χ2曲線被廣泛應(yīng)用[12]。這是由于飛機(jī)具有直線型結(jié)構(gòu),機(jī)身表面不連續(xù)點(diǎn)較多,根據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選用改進(jìn)的χ2曲線對(duì)飛機(jī) RCS 動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模具有較好的效果[13]。

雷達(dá)反射面積的理論分布計(jì)算公式為[3]

式中:k為χ2分布模型的自由度數(shù);為雷達(dá)的反射截面;為雷達(dá)的平均反射截面。其表達(dá)式比較簡(jiǎn)潔,變參數(shù)只有 1個(gè),雙自由度k可以不是正整數(shù)。利用當(dāng)k=1時(shí)為指數(shù)分布這一特殊情況,描述由多個(gè)獨(dú)立且具有相同強(qiáng)度的散射體組成的組合體。

考慮到潛艇目標(biāo)同樣具有直線型結(jié)構(gòu),以及艇身表面不連續(xù)點(diǎn)較多等物理結(jié)構(gòu)特征,且應(yīng)用板塊元法計(jì)算的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度是由各個(gè)獨(dú)立的小面元的反射強(qiáng)度疊加得到,因此,該改進(jìn)的χ2分布模型同樣適用于潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)建模。

綜上可知,聲吶探測(cè)領(lǐng)域目標(biāo)強(qiáng)度為

將式(14)和式(15)代入式(13)中,可得

對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度求導(dǎo)并令其為0

由式(16)得到目標(biāo)強(qiáng)度的均值

圖1 L1與L2對(duì)比圖Fig. 1 Comparison between L1 and L2

隨著k取值的增加,該分布函數(shù)所表示的變量均值與峰值所在的變量趨于一致,即分布的期望在概率密度函數(shù)峰值附近的目標(biāo)強(qiáng)度取值。這一結(jié)果是符合χ2分布模型在k→∞時(shí)接近正態(tài)分布模型這一判斷。實(shí)際計(jì)算中,對(duì)的估計(jì)是基于樣本數(shù)據(jù)值進(jìn)行的,那么用樣本均值估計(jì)整體分布的期望可能會(huì)存在一定誤差,因此,本文引入修正因子,將表示為

可將密度函數(shù)用 3個(gè)參數(shù)c1,c2,c3表示,其中帶入上式得

4 模型計(jì)算與分析

4.1 Γ 分布函數(shù)最優(yōu)擬合結(jié)果

下面采用Γ分布函數(shù)分別對(duì)艇艏、艇舯和艇艉的目標(biāo)強(qiáng)度密度函數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合,其最優(yōu)的擬合結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知,Γ分布函數(shù)由參數(shù),β及x0共同決定,但參數(shù)調(diào)整對(duì)函數(shù)形式的影響有限。Γ分布函數(shù)可對(duì)艇艉的分布函數(shù)較好擬合,對(duì)艇艏和艇舯的擬合效果較差,尤其是對(duì)密度函數(shù)兩側(cè)拖尾部分?jǐn)M合效果最差。

4.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型最優(yōu)擬合結(jié)果

由圖 3可知,對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型的擬合效果由σ和μ決定,其對(duì)密度函數(shù)的擬合效果與Γ分布函數(shù)相當(dāng),對(duì)艇艏、艇舯的擬合較差,同樣存在對(duì)密度函數(shù)拖尾部分?jǐn)M合效果差的問(wèn)題。

4.3 χ2分布模型最優(yōu)擬合結(jié)果

由圖 4可知,χ2模型擬合效果由自由度k決定,可對(duì)艇艏、艇舯和艇艉進(jìn)行一定程度的擬合,但是受χ2分布函數(shù)自身可變參數(shù)少的限制,擬合效果相比Γ分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布最差。

由于概率分布模型簡(jiǎn)單,參數(shù)調(diào)整對(duì)分布曲線的影響受限,以上介紹的 3種典型分布模型對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度Parzen窗密度估計(jì)的擬合效果均不夠理想,采用相對(duì)熵的評(píng)價(jià)方法分別對(duì) 3種分布函數(shù)的擬合誤差進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如表1所示。

4.4 改進(jìn)χ2三參數(shù)分布模型最優(yōu)擬合結(jié)果

采用推導(dǎo)得到的χ2三參數(shù)分布模型對(duì)由Parzen窗估計(jì)得到Benchmark潛艇的艇艏、艇舯和艇艉的理論分布函數(shù)進(jìn)行擬合,仿真結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖2 典型舷角下Γ 分布的擬合結(jié)果Fig. 2 Fitting results of Γ-distribution under typical board angles

圖3 典型舷角下對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合結(jié)果Fig. 3 Fitting results of log-normal distribution under typical board angles

圖4 典型舷角下χ2分布擬合結(jié)果Fig. 4 Fitting results of χ2-distribution under typical board angles

圖5 典型舷角下χ2三參數(shù)分布模型擬合結(jié)果Fig. 5 Fitting results of χ2-distribution model with three parameters under typical board angles

表1 分布函數(shù)擬合相對(duì)熵誤差表Table 1 Fitting errors of relative entropy for distribution function

從圖2～圖4可看出,χ2三參數(shù)分布函數(shù)對(duì)Parzen窗函數(shù)的估計(jì)效果有很大提高。計(jì)算得出χ2三參數(shù)分布曲線擬合的參數(shù)c3=及與Parzen窗估計(jì)相對(duì)熵誤差D見(jiàn)表2。

表2 參數(shù)及相對(duì)熵誤差表Table 2 Parameters and relative entropy error

由表 2可以看出,χ2三參數(shù)分布模型對(duì)潛艇艏部、舯部和艉部的估計(jì)密度函數(shù)均能較好地?cái)M合,并獲得相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù);χ2三參數(shù)分布模型比上文提到的3種分布函數(shù)模型的擬合效果都好;采用相對(duì)熵誤差作為分布曲線擬合度的評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí),艏部擬合誤差較小,舯部擬合誤差次之,艉部的擬合誤差最大,評(píng)價(jià)結(jié)果符合實(shí)際情況。

5 結(jié)束語(yǔ)

文中從統(tǒng)計(jì)意義出發(fā),開(kāi)展標(biāo)準(zhǔn)潛艇的目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)建模研究。建立基于Parzen窗估計(jì)的目標(biāo)強(qiáng)度密度函數(shù)模型; 為獲得模型統(tǒng)一簡(jiǎn)潔的表達(dá)式,研究了基于分布函數(shù)的目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)建模,推導(dǎo)得到用于描述潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的χ2三參數(shù)分布模型; 比較基于相對(duì)熵的分布誤差可知,改進(jìn)的χ2三參數(shù)分布模型能對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)分布特性進(jìn)行最優(yōu)描述,相關(guān)模型和參數(shù)可為自導(dǎo)系統(tǒng)潛艇目標(biāo)仿真提供參考。文中對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)建模是基于板塊元理論的計(jì)算樣本值得到的,后續(xù)研究將結(jié)合實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)一步完善所建模型并修正模型參數(shù)。

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Statistical Modeling of Submarine Target Strength Based on Distribution Function

SUN Nai-wei,LI Jian-chen,WAN Ya-min
(The 705 Research Institute,China Shipbuilding Industry Corporation,Xi′an 710077,China)

Statistical modeling of benchmark submarine target strength(TS) is performed to cover the shortage of deterministic forecast model. A TS density function model is established by Parzen window estimation. Then to get an unified and succinct expression of the density function model,typical distribution function models are used for optimal fitting of TS estimation. Ultimately an improvedχ2distribution model with three parameters is established. Errors comparison indicates that this improvedχ2-distribution model can describe the submarine TS reasonably. This study may provide a reference for submarine target simulation.

benchmark submarine; target strength; statistical modeling;χ2-distribution

TJ630.2; TB112

A

2096-3920(2017)03-0256-06

孫乃葳,李建辰,萬(wàn)亞民. 基于分布函數(shù)的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)建模[J]. 水下無(wú)人系統(tǒng)學(xué)報(bào),2017,25(3): 256-261.

10.11993/j.issn.2096-3920.2017.03.007

2017-03-22;

2017-04-19.

孫乃葳(1993-),男,碩士,主要研究方向潛艇目標(biāo)特性.

(責(zé)任編輯: 陳 曦)