邢家省，楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室, 北京100191)

函數(shù)項級數(shù)一致收斂柯西判別法的改進形式

邢家省1,2，楊義川1,2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室, 北京100191)

考慮函數(shù)項級數(shù)和含參變量廣義積分的一致收斂性的判別問題，經(jīng)典的柯西準(zhǔn)則判別法是證明函數(shù)項級數(shù)和含參變量廣義積分一致收斂的有效方法，然而應(yīng)用柯西準(zhǔn)則判別函數(shù)項級數(shù)和含參變量廣義積分非一致收斂時，對每一個問題都要給出各自具體細致的操作過程，相當(dāng)?shù)姆爆崳瑳]有形成系統(tǒng)的理論方法。經(jīng)過對經(jīng)典的柯西準(zhǔn)則的表述方式給予改進，利用改進表述的柯西準(zhǔn)則，給出了函數(shù)項級數(shù)和含參變量廣義積分的非一致收斂性的一般性方法，敘述簡便，通過實例說明改進的柯西準(zhǔn)則的表述方法的技術(shù)指引性和對在具體問題使用中的簡潔性，容易掌握并有利于傳播。

函數(shù)項級數(shù)；含參變量廣義積分；一致收斂性；柯西準(zhǔn)則；非一致收斂

函數(shù)項級數(shù)和含參變量廣義積分的一致收斂性的判別問題是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容，經(jīng)典的柯西準(zhǔn)則判別法是證明一致收斂的常用有效方法[1-8]。在經(jīng)典文獻[1-8]中，應(yīng)用柯西準(zhǔn)則判別非一致收斂時，是對每一問題給出一個表述過程，各不相同，表述過程和具體操作顯得有點繁瑣，沒有形成一套理論方法。在綜合文獻[1-19]中的思想方法的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)可以對經(jīng)典的柯西準(zhǔn)則的表述方式給予改進，利用改進的柯西準(zhǔn)則，給出了證明一些函數(shù)項級數(shù)和含參變量廣義積分的非一致收斂性的一般性方法，通過大量實例證明改進的表述方法的技術(shù)指引和在具體使用中的簡便性，以理論方法統(tǒng)一的形式傳播，達到數(shù)學(xué)分析學(xué)中應(yīng)有的理論高度。

1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂柯西準(zhǔn)則的改進形式

|SnN+pN(xN)-SnN(xN)|≥ε0。

定理2是證明函數(shù)項級數(shù)非一致收斂的常用方法，然而應(yīng)用此方法時，需要每一個問題就要給出一個具體的敘述過程，表述非常的繁瑣，沒有體現(xiàn)出技術(shù)指引性。可以將定理1的結(jié)果的表述形式給予改進，改進后的形式方便于使用。

應(yīng)用定理4，在證明函數(shù)項級數(shù)非一致收斂時，技術(shù)指導(dǎo)路線明確，具有一般性，表述簡便。

定理3的表述，來源于定理5的思想，定理3的表述方式達到統(tǒng)一完善的理論體系。

2 一些函數(shù)項級數(shù)非一致收斂的證明方法

證明成立

pxn+p(1-x)α

證明事實上成立

Dn≥|Sn+p(x)-Sn(x)|=

證明成立

證明成立

3 含參變量廣義積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則的改進

定理7是證明含參變量廣義積分非一致收斂的常用方法，然而應(yīng)用此方法在證明各個含參變量廣義積分非一致收斂時都要重復(fù)的敘述一遍，表述有些繁瑣?？梢詫⒍ɡ?結(jié)果的表述形式給予改進，使其方向性明確，方便于使用。

記

應(yīng)用定理8，在證明含參變量廣義積分非一致收斂時，技術(shù)指導(dǎo)路線明確，具有一般性，表述簡便。

定理8的表述方式來源于定理10的思想，定理8的表述方式達到了與定理10統(tǒng)一完善的理論體系。

4 一些含參變量廣義積分非一致收斂的證明方法

證明由不等式ey≥1+y，(y∈[0,+∞))，得

5 一個發(fā)散數(shù)列的例子

6 結(jié)束語

本文通過對函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則的表述形式給予改進，找到了判別函數(shù)列非一致收斂的一般性方法，利用該方法，對各種問題的解決給出了技術(shù)指引方向，敘述統(tǒng)一簡便，達到理論完善高度統(tǒng)一，并有利于掌握和傳播。

[1] 黃玉民,李成章.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2007.

[2] 華羅庚,著.王元,校.高等數(shù)學(xué)引論(第二冊)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[4] 常庚哲,史濟懷.數(shù)學(xué)分析教程(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[5] 陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].2版.北京:高等教育出版社,2003.

[6] 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第二卷)[M].8版.北京:高等教育出版社,2006.

[7] 卓里奇.數(shù)學(xué)分析(第二卷)[M].4版.北京:高等教育出版社,2006.

[8] 匡繼昌.實分析與泛函分析(續(xù)論)(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2015.

[9] 白玉蘭,陳述濤.一個二次廣義積分的順序交換問題[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,1987,3(3):13-18.

[10] 匡繼昌.Dirichlet積分九種解法的思路分析[J].高等數(shù)學(xué)研究,2012,15(4):61-64.

[11] 邢家省,楊小遠,白璐.兩無窮區(qū)間上積分交換次序充分條件的改進及其應(yīng)用[J].四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,29(1):87-92.

[12] 邢家省,楊小遠.廣義菲涅爾積分的積分交換次序計算方法[J].四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,29(3):85-92.

[13] 邢家省,楊小遠,白璐.菲涅爾積分計算中的一致收斂性的證明方法[J].吉首大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,37(5):1-9.

[14] 邢家省,楊義川,王擁軍.菲涅爾積分的幾種計算方法[J].四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,29(5):88-96.

[15] 邢家省,楊義川,王擁軍.函數(shù)列的廣義積分的極限定理及其應(yīng)用[J].吉首大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,37(6):1-9.

[16] 趙香蘭.幾種判別函數(shù)項級數(shù)非一致收斂的方法[J].大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2003,17(4):50-62.

[17] 王慶東,王路橋.一種判定函數(shù)列非一致收斂的方法[J].高師理科學(xué)刊,2016,36(9):12-14.

[18] 王慶東.一種判定含參變量無窮限反常積分非一致收斂的方法[J].高師理科學(xué)刊,2016,36(1):15-19.

[19] 邢家省,楊義川,王擁軍.函數(shù)列的黎曼積分的極限定理及其應(yīng)用[J].四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2017,30(3):73-78.

TheModifiedFormofSeriesofFunctionsviaCauchyCriterionofUniformlyConvergence

XINGJiasheng1,2,YANGYichuan1,2

(1.School of Mathematics, Beihang University, Beijing 100191，China;2.LMIB of the Ministry of Education, Beihang University, Beijing 100191，China)

Considering the discrimination of uniform convergence of the Series of functions and generalized integrals with parametric variables, Cauchy criterion discrimination is an effective method to prove series with function terms and improper integral with variable which is uniformly convergent, but for non-uniform convergence, Cauchy criterion is fairly cumbersome to apply. So a general method for the non-uniform convergence of the function term series is improved and the generalized integrals with parametric variables is given. This improvement is easier to apply and master through a large number of examples.

series of functions; generalized integral of parametric variable; uniformly convergence; Cauchy criterion; non-uniform convergence

O177.2

A

2017-07-20

國家自然科學(xué)基金項目(11271040)；北京航空航天大學(xué)校級重大教改項目(201403)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何、泛函分析方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn;

楊義川(1970-)，男，甘肅天水人，教授，博士，主要從事邏輯代數(shù)、序代數(shù)、軟計算及其應(yīng)用方面的研究，(E-mail)ycyang@buaa.edu.cn

1673-1549(2017)05-0074-05

10.11863/j.suse.2017.05.13