張 超 顏學淵 林進軍

(福州大學土木工程學院 福州 350108)

空間相關的非平穩(wěn)地震動場合成思路及程序實現(xiàn)*

張 超 顏學淵 林進軍

(福州大學土木工程學院 福州 350108)

為了得到空間相關的非平穩(wěn)地震動場，在分析地震動時頻非平穩(wěn)特性與相位差的關系及物理意義的基礎上，推導了空間相關的非平穩(wěn)地震動場的合成思路及簡化分析方法：即通過功率譜矩陣進行CHOLESKY分解得到傅里葉幅值譜和相關相位角，基于相位差譜得到初始相位角，采用快速傅里葉變換得到時頻非平穩(wěn)的地震動場.基于此合成思路，編制了空間相關的非平穩(wěn)地震動合成程序及交互式前后數(shù)據(jù)處理窗口.以某實際空間場地為算例，擬合得到了空間各支承點地震動時程.算例結果表明，本文編制的合成程序可以為多點激勵地震響應分析提供空間相關的時頻非平穩(wěn)地震動場.

時頻非平穩(wěn)；相位差；空間相關地震動；合成程序

0 引 言

由于地震傳播機制的復雜性，地面上各點的地震動互不相同，但又有一定的相關性.目前已有的空間地震動記錄十分有限，無法滿足特定場地的實際工程的抗震分析需求.因此，有必要建立空間相關地震動場合成方法，為各種場地下結構抗震分析提供地震動場輸入模型.Hao等[1]首次提出空間相關的多點地震動合成方法，該方法基于隨機相位角的單點地震波合成方法的基礎上，考慮各個點地震動之間在空間效應.趙博等[2]則在理論推導的基礎上，將不相干效應和行波效應單獨考慮，對空間相關多點地震動合成方法進行簡化.李英民等[3]在原Harichandran-Vanmarcke空間一維模型基礎上，增加考慮了空間二維因素，該改進的相干模型可以較好地反映出地震動隨頻率、空間距離的變化規(guī)律.Bi等[4]提出以波動理論考慮不同場地土條件的改進方法.Konakli等[5]比較了分析采用樁-土單質點模型和土層一維波動理論合成的空間多點地震動.

近年的研究發(fā)現(xiàn)，實際地震動具有顯著的時頻非平穩(wěn)特性，對于結構彈塑性反應具有重要影響，會使得地震動能量更為集中，進而導致結構發(fā)生更大程度的破壞[6].然而，目前基于[0，2π]均勻分布的相位譜合成的地震動不具有非平穩(wěn)特性，即使后期乘以強度包絡線，仍然無法模擬實際地震動的頻率非平穩(wěn)特性、震源機制、震級、傳播效應，以及場地條件對非平穩(wěn)特性的影響.因此，一些研究者在相位譜的基礎上，進一步探討了相位差譜或群延時與地震非平穩(wěn)特性的關系.田玉基等[7-8]提出將相位差譜的統(tǒng)計模型引起空間相關非平穩(wěn)地震動場的模擬方法之中.Zhang等[9]提出基于隨機微分方程的群延時模型用于描述地震動的相位譜.代洪慧等[10]在傳弦三角級數(shù)法的基礎上，采用一定的穿零次數(shù)調(diào)頻后的非平穩(wěn)隨機數(shù)作為相位角，合成符合目標反應譜的時頻非平穩(wěn)地震動時程.陳輝國[11]討論了基于分頻帶子波瞬時譜模型的完全非平穩(wěn)多點地震動模擬方法.

本文在研究地震動非平穩(wěn)特性的基礎上，采用相位差譜來考慮地震動的時頻非平穩(wěn)特性，推導基相位差譜的二維空間相關的地震動場合成公式，并基于MATLAB實現(xiàn)空間地震動場合成程序，實現(xiàn)時頻非平穩(wěn)的空間地震動合成，并編制了交互式輸入和輸出界面，為多點激勵下的地震響應分析提供空間相關地震動輸入.

1 相位差譜與非平穩(wěn)特性的關系

地震動是非平穩(wěn)的時間過程，表現(xiàn)在兩個方面：一是強度非平穩(wěn)，即時域非平穩(wěn)特性，表現(xiàn)為地震動幅值先增后減；二是頻率構成的非平穩(wěn)性，即頻域非平穩(wěn)，表現(xiàn)為高頻成分先到，低頻成分隨后.Ohsaki通過對發(fā)生在日本的49條基巖上的強震加速度記錄研究發(fā)現(xiàn)：在[0，2π]上隨機分布的相位譜之差具有一定的相關性.基于此，Ohsaki首次提出了相位差的概念，即相位譜中相鄰兩頻率分量對應的相位差，表達式為

k=0,1,…,N-1

(1)

其研究發(fā)現(xiàn)非平穩(wěn)地震動時程的相位差譜是非均勻分布的，其分布形狀與強度包線非常相似.已有研究表明：相位差譜可以惟一地確定地震波的形狀；而且，采用相位差譜可以直接反應地震波時頻非平穩(wěn)特性.然而，根據(jù)相位差的定義，相位差沒有量綱，因此，其沒有明確的數(shù)學意義.式(1)基礎上，假設相位角是可微的，則可得

(2)

式中：dφ/dω為相位導數(shù).

基于由式(2)得到的相位導數(shù)與相位差的線性關系，可以基于相位導數(shù)的概念來解釋相位差譜的物理意義：相位差的均值可以反映了峰值發(fā)生的大致時刻；相位差的方差則反映了強震段的持續(xù)范圍.這也就解釋了相位差的分布規(guī)律對地震動時程的包絡線形狀和頻率非平穩(wěn)特性起著決定性的作用.相位差譜受到地震的幅值譜、相位譜及破裂過程、傳播過程等多因素的影響，目前還無法精確的計算公式.目前，主要通過強震記錄尋找相位差同震級和距離的關系，并進行經(jīng)驗估計.目前，相位差譜統(tǒng)計模型主要有朱昱模型、趙鳳新模型、Thrainsson模型、山根尚志模型和李建波模型.

本文以某實際地震動合成算例說明基于相位差譜的時頻非平穩(wěn)地震動合成方法：福州市某大橋的實際工程場地土為IV類，震中距為50 km，目標擬合設防烈度為8度(取矩震級為6.5)的非平穩(wěn)地震動時程.根據(jù)擬合要求，本文采用Thrainsson相位差譜的統(tǒng)計規(guī)律得到大幅值組、中間幅值組及小幅值組在歸一化后的相位差分布函數(shù).把各幅值組的相位差按照頻率大小進行重新排列，得到相位差隨頻率的分布頻數(shù)圖及相位差隨幅值的分布圖，見圖1；當取初相位角φ(0)=0，可計算得到相位角分布譜，見圖2.可以看出相位角在[0，2π]上亦能滿足均勻分布，此相位角分布與其他學者對相位角的統(tǒng)計規(guī)律相吻合.

圖1 相位差分布圖

圖2 相位角分布圖

基于杜修力和陳厚群功率譜模型，計算得到傅里葉幅值譜，結合相位差譜模型得到的相位角譜，應用傅里葉逆變換即可得到的地震動加速度時程曲線與功率譜曲線，見圖3.由圖3a)可知，基于相位差譜合成的地震動時程，不需要人為乘以強度包絡函數(shù)，即具有明顯的時域非平穩(wěn)特性.圖3b)可知，擬合加速度時程功率譜與目標功率譜具有較好的吻合度.

圖3 基于相位差譜合成的非平穩(wěn)地震動

2 空間相關的非平穩(wěn)地震動場的合成思路

空間各支承點的地面運動可以認為均值等于零的隨機振動過程，可用功率譜密度函數(shù)來表示.各支承點的功率譜函數(shù)矩陣為

(3)

式中：ωk為第k階振型的自振頻率；Sii(ωk)(i=1,2,…,n)為各支承點地面運動的自功率譜密度函數(shù)；Sij(iωk)(i≠j)為i,j兩點之間的互功率譜密度函數(shù)，由自功率譜函數(shù)與相干函數(shù)γij(iωk)計算得到,其中i為虛數(shù).計算公式為

(4)

上式中的rij(iωk)寫成矩陣的形式為

(5)

由于矩陣S(iωk)為實對稱非負定矩陣，易于分解為一個下三角矩陣和轉置的乘積，即進行CHOLESKY分解：

[S(iωk)]=[L(iωk)][L(iωk)]T

(6)

式中：

式中：

(8)

(i=j+1,…,n)

(9)

基于以上各式，可以根據(jù)下式求得空間各點地震動時程曲線

(10)

式中：φi(ωk)為ωk頻率下，第i點地震動初始相位角；Aim(iωk)，θim(ωk)為在ωk頻率下，第i點地震動與第m個點地震動作用下的傅里葉幅值、相關相位角和初始相位角：

(11)

(12)

大量數(shù)據(jù)表明，初始相位角在[0，2π]區(qū)間內(nèi)是均勻分布.為了使擬合得到的地震動時程具有時頻非平衡特性，初始相位角的差值分布還需要符合相位差譜的統(tǒng)計規(guī)律.因此，根據(jù)擬合成地震動的震級、震中距及場地條件等各種因素，選用合適的相位差譜統(tǒng)計模型；基于相位差模型，得到初始相位角φi.

當按式(10)應用三角級數(shù)法求解時，ui(t)計算量十分巨大.快速傅里葉變換(FFT)采用‘一分為二’的思想，在頻率合成上十分高效.為提高計算效頻，式(10)采用快速傅里葉變換，變形為

(13)

式中：

Bim(iωk)=Aim(iωk)/2

(14)

當不考慮各支承點的局部場地效應時，各點的地震動功率譜相同.可以把上文中的地震動合成公式進行簡化，式(4)可以表示為

S(iωk)=S0(ωk)[exp(-iφ)]*[R]·

(15)

式中：

[R(iωk)]=[H(iωk)][H(iωk)]T

(16)

與式(4)進行對比可以發(fā)現(xiàn)

(17)

此時，

(18)

θim(iωk)=φim(iωk)

(19)

式(15)～(19)為不考慮局部場地效應時的地震動場合成公式的特例.式(18)體現(xiàn)了地震動的相干效應、式(19)體現(xiàn)了地震動在場地土中的傳播效應.因此，地震動合成公式能夠充分地考慮各支點的局部場地效應、波傳播效應和空間失相干效應.同時，由相位差譜得到進行三角級數(shù)變化得到的地震動場具有顯著的時頻非平穩(wěn)特性.

3 地震動場合成的程序實現(xiàn)

圖4 空間非平穩(wěn)地震動場合成思路

圖5 合成程序編寫流程

基于上文推導的空間地震動場計算公式，可以得到空間地震動場合成思路，見圖4.根據(jù)上文的合成思路，本文編寫了時頻非平穩(wěn)的空間多點地震動合成程序，具體的編制流程見圖5.程序分為參數(shù)輸入、中間計算及數(shù)據(jù)輸出三個部分.在參數(shù)輸入部分中，根據(jù)地震動的擬合目的，確定不同場地類別、震級大小、設計烈度震別等地震動設計參數(shù).同時，可以選擇不同的功率譜模型、相干模型及相位差譜模型.數(shù)據(jù)輸出部分則可以得到擬合得到的各空間點的時頻非平衡地震動時程，并可以進一步分析擬合地震動的功率譜、相干函數(shù)及功率譜等參數(shù).

4 非平穩(wěn)地震動場合成算例

已知二維空間四個支承點，其位置分布見圖6.各點所處的場地類別均為中軟土，土層平均剪切波速140≤vs≤250，屬《公路橋梁抗震地設計細則》中Ⅲ類場地.需要擬合能考慮二維空間的相干效應，抗震設防烈度為8度的空間地震動場(其中矩震級為7級，震中距為80 km).本文擬合計算中，采樣頻率取為100 Hz，采樣數(shù)量為2 048點.選用的功率譜、相位差譜及相干模型見表1.

圖6 各支承點平面位置示意圖

表1 合成算例中選用模型

利用本文程序合成四個支承點時程曲線見圖7.由圖7可知，本文合成地震動時程均具有明顯的時頻非平衡特性.第1點和第2點的加速度時程對比可以發(fā)現(xiàn)，由于兩個支承點的距離較近，兩點地震動時程較相接近.各支承點擬合地震動時程的功率譜與目標功率譜比較見圖8.由圖8可知，合成時程的功率譜與目標功率譜吻合較好，本文程序的合成地震波具有與相應場地土適應的頻譜特性.

圖7 各點加速度時程

圖8 地震動功率譜曲線

圖9 地震動場相干系數(shù)

各支承點擬合地震動間的相干系數(shù)曲線見圖9.通過與目標相干函數(shù)的對比可以發(fā)現(xiàn)，各條時程曲線間的相干系數(shù)與目標相干函數(shù)吻合較理想，合成各空間點的地震動時程能反映各支承點的二維空間相干效應.

5 結 論

1) 系統(tǒng)地分析了相位差譜對地震動非平穩(wěn)特性的關系，根據(jù)其與相位導數(shù)的關系，明確相位差的物理意義；并以某實際算例說明基于相位差譜的合成方法可以得到時頻非平穩(wěn)的地震動時程，該方法不需要人為乘以強度包絡函數(shù).

2) 推導了考慮空間地震動的場地效應、波傳播效應和失相干效應時頻非平穩(wěn)地震動場的合成思路，并基于快速傅里葉變換思路，對合成過程進行簡化以提高計算效率.

3) 根據(jù)本文合成思路，編制了非平穩(wěn)地震動場合成程序，并編寫了“數(shù)據(jù)輸入”和“數(shù)據(jù)輸入”的交互式對話窗口，方便程序使用.

4) 通過某實際空間支承點為示例，應用本文地震動程序擬合得到目標場地各支承點的非平穩(wěn)地震動.算例結果表明，本文的擬合思路及合成程序可以實現(xiàn)非平穩(wěn)地震動場的擬合.

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Synthesis Thought and Program Realization of Non-stationary Spatially Variable Ground Motions

ZHANGChaoYUANXueyuanLINJinjun

(CollegeofCivilEngineering,FuzhouUniversity,Fuzhou350108,China)

This paper is aiming to synthesize Non-stationary Spatially Variable Ground Motions (NSVGMs). After analyzing the relationship between time-frequency non-stationary characteristics and phase differences, the simulating method of Non-stationary Spatially Variable Ground Motions (NSVGMs) is proposed in this paper. In the simulation progress, amplitudes and related phases are calculated from the CHOLESKY decomposition of the power spectrum matrix, and the initial phase is obtained from the phase differences spectrum. Then the NSVGMs are synthesized by IFFT method. Based on the proposed method, a program to synthesize NSVGMs with interactive interface is compiled. Finally, a series NSVGMs of certain spatial sites are synthesized by this program. Results of the computational example show that this synthesis program can effectively provide NSVGMs for multi-excitation seismic analysis.

non-stationary; phase difference; spatially variable ground motions; synthesis program

U448.25

10.3963/j.issn.2095-3844.2017.05.006

2017-07-22

張超(1985—)：男，博士，副教授，主要研究領域為大跨結構抗震及減震措施

*國家自然科學基金項目(E51508102)、教育部博士點基金項目(20133514120006)、福建省教育廳基金(JK2014005)資助