葉 超

(西華大學(xué) 學(xué)術(shù)期刊部, 四川 成都 610039)

廣義Improved KdV方程的守恒差分算法及其收斂性分析

葉 超

(西華大學(xué) 學(xué)術(shù)期刊部, 四川 成都 610039)

對廣義Improved KdV方程的初邊值問題進(jìn)行了數(shù)值研究,提出了一個在空間層帶有加權(quán)系數(shù)的兩層非線性有限差分格式,該格式合理地模擬了方程本身具有的兩個守恒律,并在其差分解的先驗(yàn)估計(jì)的基礎(chǔ)上利用能量方法分析了該格式的二階收斂性與無條件穩(wěn)定性．

廣義Improved KdV方程; 差分格式; 守恒性; 收斂性; 穩(wěn)定性

0 引言及預(yù)備知識

廣義Improved KdV方程

ut+εupux+γuxxx-σuxxt=0

(1)

(ε,γ,σ>0是確定的常數(shù),p≥1是正整數(shù))是Abdulloev等人在研究非線性波動方程時首先提出來的[1],它也被看著是廣義EW方程[2-4](γ=0)和廣義KdV方程[5,6](σ=0)的推廣形式.方程(1)在許多工程物理領(lǐng)域(如流體力學(xué)、等離子物理學(xué)等)都有著廣泛的應(yīng)用,因此備受關(guān)注[1-6]．

本文考慮如下一類廣義Improved KdV方程的初邊值問題:

ut+upux+uxxx-uxxt=0,(x,t)∈[xL,xR]×[0,T]

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈[xL,xR]

(3)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,ux(xL,t)=ux(xR,t)=0,t∈[0,T]

(4)

其中u0(x)是一個已知的光滑函數(shù)．問題(2)～(4)滿足如下守恒律[1]:

(5)

(6)

其中Q(0)和E(0)均為僅與初始條件有關(guān)的常數(shù).

文[7][8]分別對問題(2)～(4)提出了具有二階精度的兩層非線性守恒差分格式和三層線性守恒差分格式,但這兩個格式都僅能模擬守恒律(6),而不能模擬守恒律(5);文[9]對文[8]中的線性格式在對非線性項(xiàng)upux離散時引入加權(quán)參數(shù),提高了數(shù)值模擬的精度,但對守恒量的模擬會有影響,于是本文在保持二階理論精度的前提下,對初邊值問題(2)～(4)在空間層引入加權(quán)參數(shù),提出了一個新的加權(quán)守恒差分格式,新格式很好地模擬了原問題的兩個守恒律(5)和(6),并討論了其差分解的先驗(yàn)估計(jì)、分析了格式的二階收斂性和無條件穩(wěn)定性．這個差分格式同時滿足守恒律(5)和(6),可以更好地保持解在物理上的守恒性質(zhì),可以應(yīng)用在流體力學(xué)、等離子物理學(xué)等方面．

1 差分格式和守恒律

(7)

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1,

(8)

(9)

其中

差分格式(7)～(9)對守恒量(5)和(6)的數(shù)值模擬有如下結(jié)論:

定理1 差分格式(7)～(9)關(guān)于以下離散能量是守恒的,即

(10)

(11)

其中,n=1,2,…,N．

證明將式(7)兩端乘以h然后對j從1到J-1求和,由邊界條件(9)和分部求和公式[10],整理可得

(12)

又由

當(dāng)p取奇數(shù)時有

由此可得

(13)

由Qn的定義,將式(13)帶入式(12),然后對n遞推即可得式(10).

(14)

由于

(15)

由En的定義,將上式兩端乘以τ,然后對n遞推即可得式(11)．

2 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性

本小節(jié)在先驗(yàn)估計(jì)的基礎(chǔ)上,運(yùn)用離散泛函分析方法來討論差分格式的收斂性和穩(wěn)定性．

差分格式(7)～(9)的截?cái)嗾`差為:

(16)

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1,

(17)

(18)

‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,‖u‖L∞≤C．

證明由式(6)有‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,再由Sobolev不等式有‖u‖L∞≤C．

證明由于

(19)

則由式(11),可得

(20)

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1,

(21)

(22)

(23)

類似于式(15)有

(24)

利用引理1、引理2以及Cauchy-Schwarz不等式,有

(25)

(26)

將式(24)～(26)代入式(23),整理得

(27)

(28)

將式(28)從0到n-1遞推求和得

2.“三個代表”重要思想?！啊齻€代表’重要思想是江澤民為核心的黨中央提出的重要戰(zhàn)略思想?！齻€代表’即中國共產(chǎn)黨要始終代表中國先進(jìn)生產(chǎn)力的發(fā)展要求，始終代表中國先進(jìn)文化的前進(jìn)方向，始終代表中國廣大人民的根本利益?！保?］“三個代表”重要思想是我黨是在新世紀(jì)新時期迎接機(jī)遇，應(yīng)對挑戰(zhàn)，為實(shí)現(xiàn)國家和人民的根本利益而不懈奮斗的時代要求，準(zhǔn)確把握了時代特點(diǎn)和黨的任務(wù)，它創(chuàng)造性地回答了“建設(shè)一個什么樣的黨，怎樣建設(shè)黨”的問題，是我黨的立黨之本、執(zhí)政之基和力量之源，是中國共產(chǎn)黨從國內(nèi)外的歷史、現(xiàn)狀和未來著眼，科學(xué)的制定并正確執(zhí)行的黨的路線方針政策的行動指南。

(29)

由式(21)有B0=O(τ2+h2)2,以及

再類似于式(19),有

于是由離散Gronwall不等式[10],有

最后由離散Sobolev不等式[10]有‖en‖∞≤O(τ2+h2)．與定理2類似,同理可以證明如下定理.

定理3 在定理2的條件下, 則差分格式(7)～(9)的解Un以‖·‖∞關(guān)于初值穩(wěn)定．

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ConservativeDifferenceSchemeandConvergenceAnalysisfortheGeneralImprovedKdVEquation

YE Chao

(Academic Journal of Xihua University, Xihua University, Chengdu Sichuan 610039, China)

This paper studies numerical solutions for an initial-boundary value problem of the general improved KdV equation, and propose a two levels nonlinear finite difference scheme which is based on using weighted finite difference method in the spatial layer.The scheme reasonably simulates the two original conservative properties of the KdV equation itself and the second-order convergence and unconditional stability of the difference scheme are analyzed by energy method on the basis of the priori error estimate of the difference solution.

general improved KdV equation; finite difference scheme; conservative; convergence; stability

O241.82

A

1671-6876(2017)03-0200-05

[責(zé)任編輯李春紅]

2017-04-05

四川省社會科學(xué)數(shù)據(jù)出版研究項(xiàng)目(W14216274)

葉超(1977-),男,講師,主要研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解法. E-mail: 1186109598@qq.com