霍慧霞, 原文志

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 山西 榆次 030619)

廣義改進(jìn)的KdV方程的守恒差分算法及其收斂性分析

霍慧霞, 原文志

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 山西 榆次 030619)

討論了具有選擇性服務(wù)的理發(fā)店M/G/1排隊(duì)系統(tǒng).此系統(tǒng)通過選取空間及定義算子,將模型方程轉(zhuǎn)化成Banach空間中抽象的Cauchy問題,運(yùn)用C0半群的理論,證明系統(tǒng)算子是耗散算子,得出系統(tǒng)算子的共軛算子及其定義域,并證明了0是系統(tǒng)算子的簡單本征值且是虛軸上唯一的譜點(diǎn),最后由算子的譜分析得到系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的時(shí)間依賴解.

M/G/1排隊(duì)系統(tǒng); 耗散算子; 虛軸; 系統(tǒng)穩(wěn)定性

0 引言

理發(fā)店M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)也即具有選擇性服務(wù)與無等待能力的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng),是指理發(fā)店除提供必要的理發(fā)服務(wù)之外,還可以提供選擇性服務(wù),而且要求顧客一旦到達(dá)理發(fā)店就可以接受服務(wù).喬興等[1]運(yùn)用C0半群理論及共尾概念研究了附有選擇性服務(wù)與無等待能力的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)算子的性質(zhì).鄭福等[2]通過M/G/1算子的譜分析得到了M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性.王彪等[3]通過分析主算子的性質(zhì),運(yùn)用強(qiáng)連續(xù)半群本質(zhì)譜半徑的擾動(dòng)定理及泛函分析中的譜理論[4]對(duì)系統(tǒng)算子的譜分布進(jìn)行分析,最終得到無完美服務(wù)無等待的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.

本文從實(shí)際生活出發(fā),討論了具有選擇性服務(wù)與無等待能力的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng).首先證明系統(tǒng)算子是耗散算子,其次證明了0是系統(tǒng)算子的簡單本征值且是虛軸上唯一的譜點(diǎn),最后由算子的譜分析得到系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的時(shí)間依賴解.

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型假設(shè)如下:α表示顧客完成理發(fā)后離開理發(fā)店的概率;β表示顧客完成理發(fā)后要求選擇性服務(wù)的概率,α+β=1;顧客的到達(dá)率為λ;μi(x)表示在[x,x+dx]內(nèi)系統(tǒng)在狀態(tài)i的服務(wù)率,i=1,2;顧客理發(fā)結(jié)束之后方可選擇第二項(xiàng)服務(wù);上述隨機(jī)變量相互獨(dú)立.

系統(tǒng)的狀態(tài)描述如下:

狀態(tài)0: 理發(fā)店處于空閑狀態(tài);

狀態(tài)1: 理發(fā)店處于工作狀態(tài)并提供理發(fā)服務(wù);

狀態(tài)2: 理發(fā)店處于工作狀態(tài),為已完成理發(fā)服務(wù)的顧客提供除理發(fā)外的選擇性服務(wù)(男士:刮胡子;女士:修眉).

系統(tǒng)方程如下:

(1)

(2)

(3)

邊界條件為:

P1(t,0)=λP0(t)

(4)

(5)

初始條件為:

P0(0)=1,其余為0

(6)

可以做以下合理的假設(shè):

1) 0≤μi(x)<∞,i=1,2,0≤x<∞;

取狀態(tài)空間

定義范數(shù)如下:

顯然(X,‖·‖)是一個(gè)Banach空間.在X上定義算子A,B及其定義域如下:

(7)

故D(A+B)=D(A)∩D(B)=D(A),D(A)中Pi(x),Pj(y)絕對(duì)連續(xù)．則系統(tǒng)方程可轉(zhuǎn)化為Banach空間X中的抽象Cauchy問題:

2 主要結(jié)論

定理1 1)D(A+B)在X中稠密[5-6];

2) 算子A+B是預(yù)解正算子;

3)A+B的對(duì)偶算子(A+B)*是

4)A+B生成正C0壓縮半群T(t);

5) 系統(tǒng)存在唯一非負(fù)時(shí)間依賴解P(t,·),滿足‖P(t,·)‖=1,?t∈[0,∞).

證明直接驗(yàn)證可得X的共軛空間X*=R×L∞(R+)×L∞(R+),對(duì)?F∈X*,其范數(shù)為

‖F(xiàn)‖=max{|f0|+‖f1‖L∞+‖f2‖L∞}.

1) 要證明算子A+B為耗散算子,即證對(duì)?P∈D(A+B),都至少存在一個(gè)Q∈F(P)={Q∈X*|(P,Q)=‖P‖‖Q‖=‖P‖2},使R((A+B)P,Q)≤0.任取實(shí)向量P∈D(A+B),P=(P0,P1(x),P2(x)),

定義

Q0=‖P‖sign(P0),Q1=‖P‖sign(P1(x)),Q2=‖P‖sign(P2(x)).

則

Q=(Q0,Q1(x),Q2(x))∈X*,(P,Q)=‖P‖‖Q‖=‖P‖2且Q∈F(P),

其中

所以((A+B)P,Q)≤0,故算子A+B為耗散算子.

2) 0是A+B的簡單本征值,考慮本征方程(A+B)P=0的非零解的存在性.

(8)

(9)

(10)

P1(0)=λP0

(11)

(12)

對(duì)?s∈R,s≠0,?G∈X,考慮預(yù)解方程

(13)

由條件

對(duì)于任意的gi∈L1(R+)都成立,故Pi(x)∈L1(R+).

其中

那么

所以

isP0+λP0-αP1(0)φ1(s)-P2(0)φ2(s)=g0+αF1(s)+F2(s)

(14)

當(dāng)s=0時(shí)D(is)=is+λ-αλ-βλ=0;當(dāng)s≠0時(shí)D(is)≠0,即虛軸上除了零點(diǎn)外沒有A+B的本征值.此時(shí)式(14)可解.

設(shè)P0(s)是相應(yīng)代數(shù)方程的解,并設(shè)

于是(P0,P1(x),P2(x))∈D(A)并且是預(yù)解方程(isI-(A+B))P=G的唯一解,因此is∈ρ(A+B).

(c)?ω1>0,st{z∈C|Rz>-ω1}只有一個(gè)本征值γ0=0,而且本征值嚴(yán)格占優(yōu).

其中Q=(1,1,1).即系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)解指數(shù)收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.對(duì)于關(guān)系式:

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解完全確定.

[1] 喬興,楊麗娟,李偉源,等. 附有選擇性服務(wù)與無等待能力的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)算子的性質(zhì)[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2013,15(2):177-184.

[2] 鄭福,高超,朱廣田. M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2011,13(2):218-224.

[3] 王彪,張玉峰,張欣. 無完美服務(wù)無等待的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2015,17(3):282-290.

[4] 許跟起. 強(qiáng)連續(xù)半群本質(zhì)譜半徑的擾動(dòng)定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1990,33(6):757-763.

[5] 匡繼昌. 實(shí)分析與泛函分析[M].高等教育出版社,2002.

[6] Gupur G,Li X Z,Zhu G T. Functional Analysis Method in Queueing Theory[M].Research Information,Hertfordshire,2001.

ConservativeAlgorithmandConvergenceAnalysisfortheGeneralImprovedKDVEquation

HUO Hui-xia, YUAN Wen-zhi

(Department of Mathematics, Tai Yuan Normal University, Shanxi Yuci 030619, China)

We discussed the barber's selective service M/G/1 queueing system.By choosing state space and defining operators of systems,we transfer model into an abstract Cauchy problem.Studying the nature of the system operator,that is usingC0-semigroup theory,we first prove the system operator is a dissipative operator operator.Then we obtain the adjoint operator of the system operator and its domain.Furthermore,we prove that the unique and nonnegative stability solution of system is the eigenvector of system operator corresponding to eigenvalue 0.Finally by the Spectral analysis of operator, the time dependent solution of the system tends to be stable is obtained.

M/G/1 queueing system; dissipative operator; imaginary axis; system stability

O241.8

A

1671-6876(2017)03-0195-05

[責(zé)任編輯李春紅]

2017-03-15

原文志(1962-)，男,山西絳縣人,教授，研究方向?yàn)橄到y(tǒng)可靠性分析. E-mail: ywzywz123@163.com