王 沁，喬高秀

(西南交通大學 數學學院，四川 成都 610031)

基于波動門限效應GARCH模型的波動率預測

王 沁，喬高秀

(西南交通大學 數學學院，四川 成都 610031)

基于大的波動的穩(wěn)定中心不同于小的波動的穩(wěn)定中心的問題，提出一類具有波動門限效應的GARCH模型。研究了波動門限效應GARCH模型的參數估計，并通過AIC最小原則選擇了門限閾值。根據MAE、RMSE和MAPE這3個損失函數，與傳統(tǒng)GARCH模型的預測能力進行了比較分析。實證結果表明，波動門限效應GARCH模型在波動性預測方面比傳統(tǒng)GARCH模型的效果更好。

波動門限效應；GARCH模型；AIC值;門限閾值；波動預測；損失函數

波動率是金融市場、金融資產最重要的特征之一。在投資組合、資產定價、風險管理及貨幣政策制定，都離不開波動率這一關鍵變量。隨著國際金融市場的日趨規(guī)范、壯大，各金融機構之間的競爭發(fā)生了根本性變化，金融市場的不確定性和系統(tǒng)性風險不斷增加。因此，波動性估計與預測成了金融領域研究的一個重要任務和關鍵問題。

在波動率模型中，應用最廣泛的是廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。一方面， GARCH模型的波動率是異方差函數自相關過程，適用于波動性、持續(xù)性和聚集性的分析與預測；另一方面，GARCH模型的波動率是滯后殘差平方和滯后條件方差的線性函數，不能反映正負價格變化對波動率的杠桿影響和波動非線性變化的特征。因此，越來越多的學者對GARCH模型的改良和擴展進行了研究, 旨在提高波動率預測的精度。如國外WANG等[1]應用廣義指數分布改良了GARCH模型，該模型刻畫了收益率分布的厚尾性，提高了波動率的預測精度。BHLMANN等[2]針對非參數GARCH模型提出了相應的算法。HOU等[3]應用非參數GARCH模型對原油收益率的波動率進行了預測，結果表明非參數GARCH 模型的預測能力明顯優(yōu)于參數GARCH模型。 ELLIOTT等[4-5]對馬爾科夫轉移機制下的GARCH 模型進行了實際應用和統(tǒng)計推斷，從理論和應用兩個層面表明馬爾科夫轉移機制下的GARCH 模型能夠捕捉波動率在不同狀態(tài)下的非對稱、非線性的轉換機制。POPOV等[6]最先提出模糊GARCH模型并研究離散時間序列的波動性。HELIN等[7-8]利用模糊GARCH模型對波動率進行了估計和預測，發(fā)現模糊GARCH模型的預測效果比GARCH模型好。在國內，許冰等[9-10]研究了非參數GARCH模型，指出非參數GARCH 模型對于波動性問題提供了一個有力的研究工具。蔣詳林等[11-13]研究了MRS-GARCH 模型，表明馬爾科夫轉移機制下GARCH 模型的預測功能總體優(yōu)于GARCH模型。魯萬波等[14]利用遺傳算法對模糊GJR-GARCH模型的參數進行了估計，并成功地預測了收益率的波動率的時變性和非對稱性。柳雪飛[15]利用遺傳算法搜索門限GARCH模型的結構參數，并對收益率的波動進行了預測，發(fā)現門限GARCH模型的適應性更強，效果更好。

總結上述研究發(fā)現，針對門限GARCH模型的研究較少，為此筆者在前人研究的基礎上，基于大的波動的穩(wěn)定中心不同于小的波動的穩(wěn)定中心的問題，提出一類具有波動門限的GARCH模型，通過AIC值最小原則選擇了門限閾值，并根據MAE、RMSE和MAPE這3個損失函數，與傳統(tǒng)GARCH模型的預測能力進行比較分析。

1 波動門限效應GARCH模型

1.1 波動門限效應GARCH模型的結構

傳統(tǒng)GARCH模型為：

GARCH模型中條件方差為過去所有殘差的正向加權平均，從而大的變化傾向于有更大的變化，小的變化傾向于有更小的變化，較好地描述了波動的持續(xù)性和集聚效應， 其波動的穩(wěn)定中心為：

由于大的波動緊跟大的波動，小的波動緊跟小的波動， 所以大的波動的穩(wěn)定中心應與小的波動的穩(wěn)定中心不一致，波動的集聚效應也不一致，存在信息的非對稱性，故在方差方程中引入波動的門限效應，方差方程的結構為：

(4)

1.2 波動門限效應GARCH模型的參數估計

假設隨機序列{et}服從標準正態(tài)分布，那么基于樣本容量為n的對數似然函數為：

(7)

(8)

2 波動門限效應GARCH模型的實證研究

2.1 樣本及數據來源

筆者選擇ST黑化、ST中昌、亞太實業(yè)、申通地鐵4只股票 2011年10月10日至2015年10月14日的每日對數收益率作為研究對象，數據來源于通信達軟件。4只股票收益率序列圖如圖1所示。

由圖1可以看出，無論是非ST公司還是ST公司，股票收益率序列都存在著非線性、異方差效應及非對稱性，而且都是大的波動緊跟大的波動，小的波動緊跟小的波動。所以，大的波動的穩(wěn)定中心應該與小的波動的穩(wěn)定中心不一致，存在信息的非對稱性，應建立波動門限效應GARCH(1,1)模型，來刻畫金融數據的這種具有不同穩(wěn)定中心的波動效應。

圖1 4只股票收益率的序列圖

2.2 參數的估計

為了比較波動門限效應GARCH模型與傳統(tǒng)GARCH模型的優(yōu)良性，對ST黑化、ST中昌、亞太實業(yè)、申通地鐵4只股票建立GARCH-N(1,1)模型，參數估計結果如表2所示。從表2可以看出，ST黑化、ST中昌、亞太實業(yè)和申通地鐵的GARCH效應和ARCH效應都非常顯著， GARCH效應都大于ARCH效應。這說明如果不構建門限GARCH模型，有可能對ARCH效應造成高估的結果。

隨后，筆者利用似然比檢驗來驗證是否存在顯著的門限效應，門限存在性檢驗結果如表3所示。表3結果表明：①對于每家公司來說，運用波動門限效應GARCH模型求出的AIC值都比建立GARCH模型求出的AIC值小，所以建立波動門限效應GARCH模型更加適合。②計算得到的似然比統(tǒng)計量的值大于給定的顯著性水平下對應的臨界值,都顯著地拒絕原假設，說明模型確實存在明顯的門限效應。

表1 波動門限效應GARCH模型的參數估計

表2 GARCH-N(1,1)模型的參數估計

表3 門限存在性檢驗結果

2.3 波動率的預測

針對GARCH-N(1,1)模型，由于：

(9)

同理，針對波動門限GARCH-N(1,1)模型向前h(h>1)步的預測估計式為：

(10)

令T=R+P，其中R=845代表滾動窗口，P=11代表滾動時間，T代表樣本容量，采用滾動窗口原則對波動率進行預測。第一步：取t=1，2，…,R；第二步：取t=2，3,…,R+1；第P步：取t=P，P+1,…,P+R-1，這樣一來對每一期的預測可以得到11個預測值，并利用MAE(mean absolute error),RMSE(root mean squared error)和MAPE(mean absolute percentage error)3個損失函數來檢驗預測效果，這3個損失函數的定義如下：

ST黑化的預測結果如表4所示，可以看出對于ST黑化，GARCH模型的MAE、RMSE和MAPE值都比波動門限GARCH模型要大一些，這說明利用門限GARCH模型對波動率的預測較為有效、準確。

表4 ST黑化的模型預測比較

表5 ST中昌的模型預測比較

亞太實業(yè)、申通地鐵的波動率的預測比較結果分別如表6和表7所示，可以看出對于亞太實業(yè)、申通地鐵，GARCH模型的MAE、RMSE和MAPE值都比波動門限GARCH模型要大一些，這說明波動門限GARCH模型對股市波動性的預測精度有明顯提高。

表6 亞太實業(yè)的模型預測比較

表7 申通地鐵的模型預測比較

3 結論

筆者基于大的波動的穩(wěn)定中心應與小的波動的穩(wěn)定中心不一致，存在信息的非對稱性，將波動門限效應引入到GARCH 模型中，從而刻畫金融數據的這種非對稱性GARCH模型的結構。實證研究發(fā)現：依賴于收益率平方的變化，波動門限GARCH模型相對于GARCH模型包含了更多信息，更能刻畫波動率的時變性、集聚性、非對稱性，在短期和長期波動率的預測能力上,比GARCH模型略勝一籌。

對于門限GARCH模型，選擇什么樣的變量作為門限是一個難題，例如，選擇成交量作為門限變量，或者選擇極差變量作為門限變量等。筆者只是基于穩(wěn)定中心的不一致，選擇了收益率的平方作為門限變量，與其他門限變量的GARCH模型沒有進行比較。另外，筆者的波動門限GARCH模型與MRS-GARCH模型在形式具有相似性，波動率的轉換是存在馬爾科夫轉換機制，還是由于超過某個閾值自然產生的轉換，這一問題有待未來進一步研究。

[1] WANG K L, FAWSON C, BARRETT C B,et al. A flexible parametric GARCH model with an application to exchange rates[J]. Journal of Applied Econometrics, 2001,16(4):521-536.

[3] HOU A ,SUARDI S. A nonparametric GARCH model of crude oil price return volatility [J]. Energy Economic , 2012,34(2):618-625.

[4] ELLIOTT R J, SIU T K, CHAN L.Option price for GARCH model with Markov switching[J].International Journal of Theoretical and Applied Finance,2006,9(6)：825-841.

[5] BAUWENS L,PREMINGER A,ROMBOUTS J V K. Theory and inference for a Markov switching GARCH model [J]. Journal of Economic, 2010,13(2):218-244.

[6] POPOV A A, BYKHANOV K V. Modeling volatility of time series using fuzzy GARCH model[C]∥International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance.[S.l.]:IEEE, 2005:687-692.

[7] HELIN T,KOIVISTO H.The GARCH-fuzzy density method for density forecasting[J]. Applied Soft Computation, 2011,11(6):4212-4225.

[8] ALMEIDA R J,BASTURK N,KAYMAK U. Conditional density estimation using fuzzy GARCH models[J].Advances in Intelligent Systems and Computing, 2013,190(13):173-181.

[9] 許冰,任軍峰.基于非參數GARCH一種波動率估計方法[J].統(tǒng)計與決策，2006(19)：6-7.

[10] 趙樹然，任培民，趙昕.基于非參數GARCH模型的匯率波動性預測[J].統(tǒng)計與決策，2012(6)：148-151.

[11] 蔣詳林,王春峰,吳曉霖.基于狀態(tài)轉移模型的中國股市波動性研究[J].系統(tǒng)工程學報,2004,19(3):270-277.

[12] 孫金麗, 張世英.具有結構轉換的模型及其在中國股市中的應用[J].系統(tǒng)工程,2003,21(6):86-91.

[13] 趙華，蔡建文.基于MRS-GARCH模型的中國股市波動率估計與預測[J].數理統(tǒng)計與管理，2011,30(5):912-921.

[14] 魯萬波, 焦鵬.基于模糊GJR-GARCH模型的波動率估計[J].數理統(tǒng)計與管理，2014,33(3)：912-921.

[15] 柳雪飛.遺傳門限GARCH模型及其應用研究[D].武漢：武漢科技大學，2011.

TheVolatilityForecastBasedontheFluctuationThresholdEffectGARCHModel

WANGQin,QIAOGaoXiu

Based on the stability center of a large fluctuation is different from that of a small one, a special GARCH model with fluctuation threshold effect is proposed. How to estimate these parameters in the fluctuation threshold effect GARCH model is researched. The threshold value is selected by the minimum principle of the AIC value. The forecasting ability is compared between the traditional GARCH model and the fluctuation threshold GARCH model through three loss function( MAE, RMSE and MAPE). The results show that the fluctuation threshold effect GARCH model is better than the traditional GARCH model in terms of volatility forecasting.

fluctuation threshold effect; GARCH model; AIC value;threshold value; volatility forecast; losses function

F064.1

10.3963/j.issn.2095-3852.2017.05.013

2095-3852(2017)05-0575-06

A

2017-05-22.

王沁(1973-),女,四川夾江人,西南交通大學數學學院副教授,博士，主要研究方向為金融數量分析、時間序列分析、非參數統(tǒng)計與風險管理.

國家自然科學基金項目(71371157)；教育部人文社會科學研究青年基金項目(17YJC790119).

WANGQinAssoc. Prof.; School of Mathematics,Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031,China.