郭愛民，張 濤,2，劉維瑋，肖 凱，姚世東

（1. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076；2. 西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，西安，710072）

一種伺服機(jī)構(gòu)模擬負(fù)載臺多彈簧鋼板統(tǒng)一設(shè)計方法

郭愛民1，張 濤1,2，劉維瑋1，肖 凱1，姚世東1

（1. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076；2. 西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，西安，710072）

彈簧鋼板是航天伺服機(jī)構(gòu)負(fù)載臺的重要組成部分，決定了負(fù)載臺的負(fù)載特性。提出了一種伺服機(jī)構(gòu)模擬負(fù)載臺多彈簧鋼板統(tǒng)一設(shè)計方法。相較傳統(tǒng)方法，該方法可用于多鋼板設(shè)計并拓展了其設(shè)計域。首先，以彈性力學(xué)矩形截面桿扭轉(zhuǎn)的解析解為基礎(chǔ)，定義了鋼板扭轉(zhuǎn)模型并提出修正系數(shù)的指數(shù)衰減函數(shù)形式的近似表達(dá)式；其次，提出多彈簧鋼板設(shè)計的優(yōu)化模型并給出確定優(yōu)化初值的方法，該優(yōu)化模型使目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)在全設(shè)計域二階連續(xù)可微；最后，提出簡化的鋼板負(fù)載特性有限元校核方法，該方法可對不同寬厚比鋼板扭轉(zhuǎn)進(jìn)行有限元建模和分析。分析結(jié)果表明：用工程案例對伺服機(jī)構(gòu)模擬負(fù)載臺多彈簧鋼板統(tǒng)一設(shè)計方法進(jìn)行檢驗(yàn)，有效性得以驗(yàn)證。

伺服機(jī)構(gòu)；負(fù)載臺；彈簧鋼板；負(fù)載特性；優(yōu)化；有限元

0 引 言

彈簧鋼板式負(fù)載臺具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低、加載無延時、操作方便等特點(diǎn)，目前廣泛應(yīng)用于模擬飛行器飛行過程中舵面氣動載荷的施加。典型的彈簧鋼板式負(fù)載臺結(jié)構(gòu)如圖1所示[1]。彈簧鋼板是彈簧鋼板式負(fù)載臺的關(guān)鍵零件，其材料性質(zhì)和幾何尺寸直接決定了負(fù)載臺的負(fù)載特性。文獻(xiàn)[2]提出以材料力學(xué)公式定義目標(biāo)函數(shù)、以DOE+SQP為優(yōu)化策略、以ANSYS作為校核工具的伺服機(jī)構(gòu)負(fù)載臺彈簧鋼板設(shè)計優(yōu)化方法。該方法較好地適應(yīng)了航天器負(fù)載臺鋼板設(shè)計的需要，使負(fù)載臺滿足扭角大、力矩梯度高、線性度好等負(fù)載特性要求，目前已在工程中得到廣泛應(yīng)用。但在工程應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)了該方法的局限性，主要體現(xiàn)在：a）設(shè)計域不足：該方法在應(yīng)用狹長矩形截面桿扭轉(zhuǎn)公式時，限定了寬厚比大于10，使寬厚比在1和10之間的設(shè)計空間不能得到利用，人為地減小了設(shè)計域，可能會因方法原因增加負(fù)載臺尺寸；b）不適用于多鋼板設(shè)計。新型負(fù)載臺要求能提供多種負(fù)載，而且負(fù)載差異可達(dá)10倍，這就需要在負(fù)載臺設(shè)計過程中同時確定多塊鋼板尺寸。

工程上常把彈簧鋼板扭轉(zhuǎn)簡化為矩形截面桿扭轉(zhuǎn)問題。材料力學(xué)中一般給出包含修正系數(shù)的簡化公式，并以表格形式給出修正系數(shù)[3]。工程應(yīng)用中，修正系數(shù)可用插值方法或擬合方法進(jìn)行近似處理。插值方法能保證函數(shù)的連續(xù)但是不能保證函數(shù)的可微。文獻(xiàn)[4]給出寬厚比小于10的矩形截面桿扭轉(zhuǎn)的冪函數(shù)分段表達(dá)式，該方法由于進(jìn)行了分段處理，不能保證全局可微。以序列二次規(guī)劃（Sequential Quadratic Programming，SQP）為代表的經(jīng)典優(yōu)化方法具有收斂速度快、精度高等特點(diǎn)，但同時要求目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)二階連續(xù)可微[5]，以及提供的優(yōu)化初值較準(zhǔn)確。插值方法和分段擬合方法都不滿足目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)二階連續(xù)可微的要求。彈性力學(xué)中用艾里應(yīng)力函數(shù)方法給出矩形截面桿扭轉(zhuǎn)的雙曲函數(shù)表示的無窮級數(shù)形式解析解[6]。文獻(xiàn)[7]給出了矩形截面桿扭轉(zhuǎn)的三角函數(shù)表示的無窮級數(shù)形式解析解。

本文以彈性力學(xué)矩形截面桿扭轉(zhuǎn)表達(dá)式為基礎(chǔ)，定義了鋼板扭轉(zhuǎn)模型并提出了修正系數(shù)的指數(shù)衰減函數(shù)形式的近似表達(dá)式，進(jìn)而給出了多鋼板設(shè)計的優(yōu)化模型，并使目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)在全設(shè)計域二階連續(xù)可微，解決了傳統(tǒng)設(shè)計方法設(shè)計域不足、不適用于多鋼板設(shè)計問題。最后給出了簡化的有限元校核方法和工程案例。

1 鋼板扭轉(zhuǎn)模型

1.1 扭轉(zhuǎn)模型的彈性力學(xué)表達(dá)式

彈簧鋼板的受力示意如圖2所示，矩形截面桿扭轉(zhuǎn)的最大剪應(yīng)力maxτ、扭矩T、扭矩誤差δT、長寬比l_h、寬厚比 h_b、鋼的剪切模量G按下列公式計算：

其中：

式中 E為鋼的彈性模量；ν為泊松比；h，b分別為鋼板的寬度和厚度并滿足_1hb≥；L為鋼板的長度；0Φ為鋼板的設(shè)計扭角；0T為設(shè)計扭矩； ， 為和鋼板橫截面寬厚比相關(guān)的修正系數(shù)。

1.2 修正系數(shù)的指數(shù)衰減函數(shù)擬合

由于修正系數(shù)-寬厚比曲線都是單調(diào)且有漸近線，可用指數(shù)衰減函數(shù)對 ，β進(jìn)行擬合，擬合方法參見文獻(xiàn)[8]。式（6）、式（7）中m的上限取19 999，得到了級數(shù)前10 000項(xiàng)的和作為 ， 的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，如表1所示。根據(jù)計算結(jié)果，m的上限取21就可達(dá)到相對誤差小于 10-6的精度，為此鋼板設(shè)計中可以取級數(shù)的前 11項(xiàng)。擬合結(jié)果如式（10）、式（11）所示，擬合結(jié)果的相關(guān)系數(shù)平方如表2所示。由表2可以看出，其值都在0.98以上。曲線擬合和原始數(shù)據(jù)對比如圖3所示。圖3中B，D分別為 的級數(shù)解和擬合數(shù)值，C，E分別為 的級數(shù)解和擬合數(shù)值。

表1 α，β的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)

表2 曲線擬合的相關(guān)系數(shù)平方R2

2 多鋼板設(shè)計的優(yōu)化模型

2.1 優(yōu)化模型的定義

受負(fù)載臺安裝接口限制，同時為了適應(yīng)多負(fù)載的需要，同一負(fù)載臺配備的多塊鋼板寬度一般取相同值，并通過更換不同厚度鋼板和調(diào)節(jié)鋼板長度實(shí)現(xiàn)不同負(fù)載的模擬。根據(jù)式（1）～（8）可定義鋼板扭轉(zhuǎn)模型，其輸入為h，bi，Li，Φ0，T0，E和 ；輸出為Ti，δTi，τmaxi，h_bi和 l_hi。剪應(yīng)力的大小決定了彈簧鋼板的強(qiáng)度和壽命，因此把最大剪應(yīng)力最小作為優(yōu)化目標(biāo)。優(yōu)化方法一般選用SQP。優(yōu)化問題的定義如下：

優(yōu)化目標(biāo)：

約束條件：

式中 n為鋼板數(shù)；maxL ，maxb 和maxh 的值受安裝空間的限制；minb 的值受鋼板尺寸規(guī)格限制； _lh較小，可能引起鋼板負(fù)載特性的非線性；min_lh 的值一般取在8～12之間，按彈性力學(xué)假設(shè)，min_hb 取1。

2.2 優(yōu)化的初值

由于經(jīng)典優(yōu)化方法對初值的要求較高，所以優(yōu)化的初值應(yīng)較精確地給出。令δ Ti= 0，則由式（4）、式（8）可得：

由表1可知，在寬厚比大于2時，βα≈1，根據(jù)式（9）可近似認(rèn)為可以利用此規(guī)律直接取鋼板長度上限 Lmax、長寬比下限 l _hmin，可得鋼板長度和寬度的初值由式（1）、式（3）、式（11）和式（19）得鋼板長度和寬度到鋼板厚度的非線性方程，解此方程可得鋼板厚度的初值 bi0。

3 負(fù)載特性的有限元簡化建模

文獻(xiàn)[2]用實(shí)體單元模擬壓塊，用實(shí)體殼單元模擬鋼板。在寬厚比較小時，鋼板用殼單元模擬會導(dǎo)致誤差較大。在鋼板設(shè)計中發(fā)現(xiàn)，鋼板端部的應(yīng)力小于中部，因此對端部壓塊的建模可以省略。本文在ANSYS中建立鋼板的三維幾何模型，用實(shí)體186單元劃分鋼板，并且寬度方向有10層單元，厚度方向有2層單元。負(fù)載臺設(shè)計中，為了消除鋼板扭轉(zhuǎn)過程中的附加軸向力，一般讓上壓塊和鋼板之間有一定的間隙，從而釋放了軸向自由度[1]。為此，有限元模型中，左端面定義位移約束，右端面定義圓柱副，并在圓柱副上施加軸向角位移。約束和載荷定義如圖4所示。

為了能反映鋼板扭轉(zhuǎn)幾何非線性的影響，在求解設(shè)置中打開大變形選項(xiàng)，并設(shè)置求解步數(shù)為10。

4 鋼板設(shè)計工程案例

4.1 彈簧鋼板尺寸的優(yōu)化設(shè)計

某伺服負(fù)載臺負(fù)載特性要求如表 3所示。須對 2塊鋼板尺寸進(jìn)行設(shè)計，定義設(shè)計變量及約束的上下限如表4所示。材料特性如表5所示。2塊鋼板的設(shè)計初值都按2.2節(jié)方法得到經(jīng)過優(yōu)化，得到各參數(shù)的值，如表6所示。

表3 負(fù)載臺負(fù)載特性要求

表4 設(shè)計變量及約束的上下限

表5 60Si2MnA材料特性

密度/(kg·m-3) 7900彈性模量/Pa 2.06×1011泊松比 0.3

表6 優(yōu)化得到的鋼板參數(shù)結(jié)果

4.2 彈簧鋼板負(fù)載特性的有限元校核

在ANSYS中，鋼板材料選用60Si2MnA，其材料特性如表4所示。單元尺寸取12 mm，共得到單元2 000個，節(jié)點(diǎn)11 885個。在圓柱副Z方向施加幅值為35°的角位移。求解得到的鋼板 2的剪切應(yīng)力、變形結(jié)果如圖5、6所示。由式（4）和ANSYS分別得到的鋼板負(fù)載曲線如圖7所示，其中C為鋼板1公式解，D為鋼板1有限元解，E為鋼板2公式解，F(xiàn)為鋼板2有限元解。ANSYS和彈性力學(xué)公式解的最大扭矩和剪切應(yīng)力的對比如表7所示。

表7 公式和ANSYS計算得到的結(jié)果對比

由表7和圖6可以看出，2條負(fù)載曲線有較好的一致性，線性度也較好，ANSYS得到的結(jié)果比公式解明顯偏大，且隨著扭角的增大這種趨勢越明顯。其中鋼板2的誤差均在5%以內(nèi)；鋼板1最大負(fù)載誤差接近7%，最大剪應(yīng)力誤差接近15%。兩者誤差產(chǎn)生的原因是 ANSYS考慮了幾何非線性的影響，公式解則未考慮。實(shí)例表明，公式解負(fù)載特性的誤差能控制在 10%以內(nèi)，也說明本文提出以解析解為基礎(chǔ)的統(tǒng)一設(shè)計方法誤差可控，有效性得到驗(yàn)證。

5 結(jié) 論

本文以彈性力學(xué)矩形截面桿扭轉(zhuǎn)的解析表達(dá)式為基礎(chǔ)，定義了鋼板扭轉(zhuǎn)模型并提出了修正系數(shù)的指數(shù)衰減函數(shù)形式的近似表達(dá)式，進(jìn)而給出了多鋼板設(shè)計的優(yōu)化模型和有限元校核方法。工程案例表明，本文提出的伺服機(jī)構(gòu)模擬負(fù)載臺多彈簧鋼板統(tǒng)一設(shè)計方法能很好地滿足伺服機(jī)構(gòu)負(fù)載臺多塊彈簧鋼板同時設(shè)計的需求，可以在鋼板寬厚比大于1的全設(shè)計域得到設(shè)計結(jié)果。同時，由于彈性力學(xué)矩形截面桿扭轉(zhuǎn)的解析表達(dá)式未考慮幾何非線性的影響，導(dǎo)致利用公式得到的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果和有限元結(jié)果有10%以內(nèi)的誤差，但是以解析解為基礎(chǔ)的統(tǒng)一設(shè)計方法具有方便、快速、便于設(shè)計的優(yōu)勢。另外，工程上考慮到材料性能偏差和尺寸公差的影響，也具有一定的誤差，鋼板的厚度一般取優(yōu)化值作為尺寸公差上限，并通過調(diào)整彈簧鋼板夾持長度（如圖1壓塊位置）對負(fù)載特性進(jìn)行試驗(yàn)標(biāo)定，以達(dá)到負(fù)載臺負(fù)載特性滿足表3所示指標(biāo)要求的目的。

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A Uniform Design Method of Spring Steel Multi-plates of the Torque-loading Simulator for a Servo System

Guo Ai-min1, Zhang Tao1,2, Liu Wei-wei1, Xiao Kai1, Yao Shi-dong1
(1. R&D Center, China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076;2. School of Mechanic Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an, 710072)

The spring steel plate is an important part of the torque-loading simulator of the spacecraft servo system and it determines the loading features. In this paper, it is presented that a uniform design method of spring steel multi-plates of the torque-loading simulator for a Servo system. Compared with traditional methods, it can be used for design of the spring steel multi-plates at one time and the design domain is expanded. Firstly, based on strain-stress analysis of torsion of a rectangular bar of elasticity, the torsion equations of steel plate are proposed and correction coefficients are fitted by functions of exponential decay.Secondly, the optimization model of the multi- plates is built and the method to determine the initial value of optimization is proposed,which enables objective and constraint functions to be continuous and to have continuous first and second derivatives in the global design domain simultaneously. Thirdly, the simplified Finite Element (FE) verification method for loading features of the steel plate is established to build FE models of the steel plate with different ratio of width and thickness. Fourthly, the validity of the uniform design method of spring steel multi-plates is verified by an engineering case. In the end of the paper, the applications of the uniform design me-thod are discussed.

Servo system; Torque-loading simulator; Spring steel plate; Loading features; Optimization; Finite element method

V415

A

1004-7182(2017)05-0062-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170515

2016-10-25；

2016-12-26

郭愛民（1976-），男，高級工程師，主要研究方向?yàn)轱w行器結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計