郭愛民，張 濤,2，劉維瑋，肖 凱，姚世東

（1. 中國運載火箭技術研究院研究發(fā)展中心，北京，100076；2. 西北工業(yè)大學機電學院，西安，710072）

一種伺服機構模擬負載臺多彈簧鋼板統(tǒng)一設計方法

郭愛民1，張 濤1,2，劉維瑋1，肖 凱1，姚世東1

（1. 中國運載火箭技術研究院研究發(fā)展中心，北京，100076；2. 西北工業(yè)大學機電學院，西安，710072）

彈簧鋼板是航天伺服機構負載臺的重要組成部分，決定了負載臺的負載特性。提出了一種伺服機構模擬負載臺多彈簧鋼板統(tǒng)一設計方法。相較傳統(tǒng)方法，該方法可用于多鋼板設計并拓展了其設計域。首先，以彈性力學矩形截面桿扭轉的解析解為基礎，定義了鋼板扭轉模型并提出修正系數(shù)的指數(shù)衰減函數(shù)形式的近似表達式；其次，提出多彈簧鋼板設計的優(yōu)化模型并給出確定優(yōu)化初值的方法，該優(yōu)化模型使目標函數(shù)和約束函數(shù)在全設計域二階連續(xù)可微；最后，提出簡化的鋼板負載特性有限元校核方法，該方法可對不同寬厚比鋼板扭轉進行有限元建模和分析。分析結果表明：用工程案例對伺服機構模擬負載臺多彈簧鋼板統(tǒng)一設計方法進行檢驗，有效性得以驗證。

伺服機構；負載臺；彈簧鋼板；負載特性；優(yōu)化；有限元

0 引 言

彈簧鋼板式負載臺具有結構簡單、成本低、加載無延時、操作方便等特點，目前廣泛應用于模擬飛行器飛行過程中舵面氣動載荷的施加。典型的彈簧鋼板式負載臺結構如圖1所示[1]。彈簧鋼板是彈簧鋼板式負載臺的關鍵零件，其材料性質和幾何尺寸直接決定了負載臺的負載特性。文獻[2]提出以材料力學公式定義目標函數(shù)、以DOE+SQP為優(yōu)化策略、以ANSYS作為校核工具的伺服機構負載臺彈簧鋼板設計優(yōu)化方法。該方法較好地適應了航天器負載臺鋼板設計的需要，使負載臺滿足扭角大、力矩梯度高、線性度好等負載特性要求，目前已在工程中得到廣泛應用。但在工程應用中發(fā)現(xiàn)了該方法的局限性，主要體現(xiàn)在：a）設計域不足：該方法在應用狹長矩形截面桿扭轉公式時，限定了寬厚比大于10，使寬厚比在1和10之間的設計空間不能得到利用，人為地減小了設計域，可能會因方法原因增加負載臺尺寸；b）不適用于多鋼板設計。新型負載臺要求能提供多種負載，而且負載差異可達10倍，這就需要在負載臺設計過程中同時確定多塊鋼板尺寸。

工程上常把彈簧鋼板扭轉簡化為矩形截面桿扭轉問題。材料力學中一般給出包含修正系數(shù)的簡化公式，并以表格形式給出修正系數(shù)[3]。工程應用中，修正系數(shù)可用插值方法或擬合方法進行近似處理。插值方法能保證函數(shù)的連續(xù)但是不能保證函數(shù)的可微。文獻[4]給出寬厚比小于10的矩形截面桿扭轉的冪函數(shù)分段表達式，該方法由于進行了分段處理，不能保證全局可微。以序列二次規(guī)劃（Sequential Quadratic Programming，SQP）為代表的經(jīng)典優(yōu)化方法具有收斂速度快、精度高等特點，但同時要求目標函數(shù)和約束函數(shù)二階連續(xù)可微[5]，以及提供的優(yōu)化初值較準確。插值方法和分段擬合方法都不滿足目標函數(shù)和約束函數(shù)二階連續(xù)可微的要求。彈性力學中用艾里應力函數(shù)方法給出矩形截面桿扭轉的雙曲函數(shù)表示的無窮級數(shù)形式解析解[6]。文獻[7]給出了矩形截面桿扭轉的三角函數(shù)表示的無窮級數(shù)形式解析解。

本文以彈性力學矩形截面桿扭轉表達式為基礎，定義了鋼板扭轉模型并提出了修正系數(shù)的指數(shù)衰減函數(shù)形式的近似表達式，進而給出了多鋼板設計的優(yōu)化模型，并使目標函數(shù)和約束函數(shù)在全設計域二階連續(xù)可微，解決了傳統(tǒng)設計方法設計域不足、不適用于多鋼板設計問題。最后給出了簡化的有限元校核方法和工程案例。

1 鋼板扭轉模型

1.1 扭轉模型的彈性力學表達式

彈簧鋼板的受力示意如圖2所示，矩形截面桿扭轉的最大剪應力maxτ、扭矩T、扭矩誤差δT、長寬比l_h、寬厚比 h_b、鋼的剪切模量G按下列公式計算：

其中：

式中 E為鋼的彈性模量；ν為泊松比；h，b分別為鋼板的寬度和厚度并滿足_1hb≥；L為鋼板的長度；0Φ為鋼板的設計扭角；0T為設計扭矩； ， 為和鋼板橫截面寬厚比相關的修正系數(shù)。

1.2 修正系數(shù)的指數(shù)衰減函數(shù)擬合

由于修正系數(shù)-寬厚比曲線都是單調且有漸近線，可用指數(shù)衰減函數(shù)對 ，β進行擬合，擬合方法參見文獻[8]。式（6）、式（7）中m的上限取19 999，得到了級數(shù)前10 000項的和作為 ， 的基準數(shù)據(jù)，如表1所示。根據(jù)計算結果，m的上限取21就可達到相對誤差小于 10-6的精度，為此鋼板設計中可以取級數(shù)的前 11項。擬合結果如式（10）、式（11）所示，擬合結果的相關系數(shù)平方如表2所示。由表2可以看出，其值都在0.98以上。曲線擬合和原始數(shù)據(jù)對比如圖3所示。圖3中B，D分別為 的級數(shù)解和擬合數(shù)值，C，E分別為 的級數(shù)解和擬合數(shù)值。

表1 α，β的基準數(shù)據(jù)

表2 曲線擬合的相關系數(shù)平方R2

2 多鋼板設計的優(yōu)化模型

2.1 優(yōu)化模型的定義

受負載臺安裝接口限制，同時為了適應多負載的需要，同一負載臺配備的多塊鋼板寬度一般取相同值，并通過更換不同厚度鋼板和調節(jié)鋼板長度實現(xiàn)不同負載的模擬。根據(jù)式（1）～（8）可定義鋼板扭轉模型，其輸入為h，bi，Li，Φ0，T0，E和 ；輸出為Ti，δTi，τmaxi，h_bi和 l_hi。剪應力的大小決定了彈簧鋼板的強度和壽命，因此把最大剪應力最小作為優(yōu)化目標。優(yōu)化方法一般選用SQP。優(yōu)化問題的定義如下：

優(yōu)化目標：

約束條件：

式中 n為鋼板數(shù)；maxL ，maxb 和maxh 的值受安裝空間的限制；minb 的值受鋼板尺寸規(guī)格限制； _lh較小，可能引起鋼板負載特性的非線性；min_lh 的值一般取在8～12之間，按彈性力學假設，min_hb 取1。

2.2 優(yōu)化的初值

由于經(jīng)典優(yōu)化方法對初值的要求較高，所以優(yōu)化的初值應較精確地給出。令δ Ti= 0，則由式（4）、式（8）可得：

由表1可知，在寬厚比大于2時，βα≈1，根據(jù)式（9）可近似認為可以利用此規(guī)律直接取鋼板長度上限 Lmax、長寬比下限 l _hmin，可得鋼板長度和寬度的初值由式（1）、式（3）、式（11）和式（19）得鋼板長度和寬度到鋼板厚度的非線性方程，解此方程可得鋼板厚度的初值 bi0。

3 負載特性的有限元簡化建模

文獻[2]用實體單元模擬壓塊，用實體殼單元模擬鋼板。在寬厚比較小時，鋼板用殼單元模擬會導致誤差較大。在鋼板設計中發(fā)現(xiàn)，鋼板端部的應力小于中部，因此對端部壓塊的建模可以省略。本文在ANSYS中建立鋼板的三維幾何模型，用實體186單元劃分鋼板，并且寬度方向有10層單元，厚度方向有2層單元。負載臺設計中，為了消除鋼板扭轉過程中的附加軸向力，一般讓上壓塊和鋼板之間有一定的間隙，從而釋放了軸向自由度[1]。為此，有限元模型中，左端面定義位移約束，右端面定義圓柱副，并在圓柱副上施加軸向角位移。約束和載荷定義如圖4所示。

為了能反映鋼板扭轉幾何非線性的影響，在求解設置中打開大變形選項，并設置求解步數(shù)為10。

4 鋼板設計工程案例

4.1 彈簧鋼板尺寸的優(yōu)化設計

某伺服負載臺負載特性要求如表 3所示。須對 2塊鋼板尺寸進行設計，定義設計變量及約束的上下限如表4所示。材料特性如表5所示。2塊鋼板的設計初值都按2.2節(jié)方法得到經(jīng)過優(yōu)化，得到各參數(shù)的值，如表6所示。

表3 負載臺負載特性要求

表4 設計變量及約束的上下限

表5 60Si2MnA材料特性

密度/(kg·m-3) 7900彈性模量/Pa 2.06×1011泊松比 0.3

表6 優(yōu)化得到的鋼板參數(shù)結果

4.2 彈簧鋼板負載特性的有限元校核

在ANSYS中，鋼板材料選用60Si2MnA，其材料特性如表4所示。單元尺寸取12 mm，共得到單元2 000個，節(jié)點11 885個。在圓柱副Z方向施加幅值為35°的角位移。求解得到的鋼板 2的剪切應力、變形結果如圖5、6所示。由式（4）和ANSYS分別得到的鋼板負載曲線如圖7所示，其中C為鋼板1公式解，D為鋼板1有限元解，E為鋼板2公式解，F(xiàn)為鋼板2有限元解。ANSYS和彈性力學公式解的最大扭矩和剪切應力的對比如表7所示。

表7 公式和ANSYS計算得到的結果對比

由表7和圖6可以看出，2條負載曲線有較好的一致性，線性度也較好，ANSYS得到的結果比公式解明顯偏大，且隨著扭角的增大這種趨勢越明顯。其中鋼板2的誤差均在5%以內；鋼板1最大負載誤差接近7%，最大剪應力誤差接近15%。兩者誤差產生的原因是 ANSYS考慮了幾何非線性的影響，公式解則未考慮。實例表明，公式解負載特性的誤差能控制在 10%以內，也說明本文提出以解析解為基礎的統(tǒng)一設計方法誤差可控，有效性得到驗證。

5 結 論

本文以彈性力學矩形截面桿扭轉的解析表達式為基礎，定義了鋼板扭轉模型并提出了修正系數(shù)的指數(shù)衰減函數(shù)形式的近似表達式，進而給出了多鋼板設計的優(yōu)化模型和有限元校核方法。工程案例表明，本文提出的伺服機構模擬負載臺多彈簧鋼板統(tǒng)一設計方法能很好地滿足伺服機構負載臺多塊彈簧鋼板同時設計的需求，可以在鋼板寬厚比大于1的全設計域得到設計結果。同時，由于彈性力學矩形截面桿扭轉的解析表達式未考慮幾何非線性的影響，導致利用公式得到的優(yōu)化設計結果和有限元結果有10%以內的誤差，但是以解析解為基礎的統(tǒng)一設計方法具有方便、快速、便于設計的優(yōu)勢。另外，工程上考慮到材料性能偏差和尺寸公差的影響，也具有一定的誤差，鋼板的厚度一般取優(yōu)化值作為尺寸公差上限，并通過調整彈簧鋼板夾持長度（如圖1壓塊位置）對負載特性進行試驗標定，以達到負載臺負載特性滿足表3所示指標要求的目的。

[1] 周蓓, 黃玉平, 蔡昱. 一種彈簧鋼板式舵機負載模擬系統(tǒng)結構設計[J].機械工程師, 2015 (7): 103-105.

[2] 郭愛民, 趙國平, 黃玉平. 伺服機構負載臺彈簧鋼板設計優(yōu)化[J]. 導彈與航天運載技術, 2011 (3): 47-50.

[3] 單輝祖. 材料力學(Ⅰ)第3版[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

[4] 潘致順. 矩形截面桿扭轉時應力和轉角的近似計算法[J]. 機床與液壓,2001(4): 121.

[5] 趙瑞安, 吳方. 非線性最優(yōu)化理論和方法[M]. 杭州: 浙江科學技術出版社, 1992.

[6] 徐芝綸. 彈性力學（上冊）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[7] Jan F, et al. Torsion of a non-circular bar[J]. Engineering Mechanics, 2012,19(1): 45-60.

[8] 熊峻江, 郭愛民, 邱華勇. 疲勞裂紋擴展曲線的正交多項式與三參數(shù)指數(shù)函數(shù)擬合法[J]. 應用力學學報, 2002 (2): 110-112.

A Uniform Design Method of Spring Steel Multi-plates of the Torque-loading Simulator for a Servo System

Guo Ai-min1, Zhang Tao1,2, Liu Wei-wei1, Xiao Kai1, Yao Shi-dong1
(1. R&D Center, China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076;2. School of Mechanic Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an, 710072)

The spring steel plate is an important part of the torque-loading simulator of the spacecraft servo system and it determines the loading features. In this paper, it is presented that a uniform design method of spring steel multi-plates of the torque-loading simulator for a Servo system. Compared with traditional methods, it can be used for design of the spring steel multi-plates at one time and the design domain is expanded. Firstly, based on strain-stress analysis of torsion of a rectangular bar of elasticity, the torsion equations of steel plate are proposed and correction coefficients are fitted by functions of exponential decay.Secondly, the optimization model of the multi- plates is built and the method to determine the initial value of optimization is proposed,which enables objective and constraint functions to be continuous and to have continuous first and second derivatives in the global design domain simultaneously. Thirdly, the simplified Finite Element (FE) verification method for loading features of the steel plate is established to build FE models of the steel plate with different ratio of width and thickness. Fourthly, the validity of the uniform design method of spring steel multi-plates is verified by an engineering case. In the end of the paper, the applications of the uniform design me-thod are discussed.

Servo system; Torque-loading simulator; Spring steel plate; Loading features; Optimization; Finite element method

V415

A

1004-7182(2017)05-0062-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170515

2016-10-25；

2016-12-26

郭愛民（1976-），男，高級工程師，主要研究方向為飛行器結構強度設計