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        一類基于波利亞分布的修正的Lupas-Durrmeyer型算子

        2017-11-01 14:37:13連博勇蔡清波
        關(guān)鍵詞:定義數(shù)學(xué)

        連博勇, 蔡清波

        (1.仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系,福建 泉州 362014;2.泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362000)

        一類基于波利亞分布的修正的Lupas-Durrmeyer型算子

        連博勇1, 蔡清波2

        (1.仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系,福建 泉州 362014;2.泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362000)

        引入了一類基于波利亞分布的修正Lupas-Durrmeyer型算子,它具有常數(shù)保持與線性保持性質(zhì).利用連續(xù)模,光滑模,K-泛函,Lipschitz函數(shù)類,討論了該算子的某些逼近性質(zhì),在區(qū)間上該算子具有更好的收斂結(jié)果.最后還給出了該算子的Voronvskaya型漸近展開公式.

        Lupas-Durrmeyer型算子;K-泛函;光滑模;Voronvskaya型漸近展開公式

        1 引言

        Aral等在文獻(xiàn)[1]中定義了一類Lupas-Durrmeyer型算子:

        這里f∈C[0,1],

        其中

        最近,在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上Gupta[2]引入了另一類Lupas-Durrmeyer型算子,

        自2003年King[6]引入修正的Bernstein算子以來,近十多年來修正型的算子成為逼近論領(lǐng)域的一個研究熱點.在這些研究中,有關(guān)于算子線性保持的[7-8],有關(guān)于算子平方保持的[6,9],甚至推廣到修正的q算子中[10-11].

        設(shè)

        定義

        首先給出一些基本定義.

        設(shè)

        定義:

        一階連續(xù)模

        二階光滑模

        對應(yīng)的K-泛函是

        其中

        對應(yīng)的K-泛函是

        其中

        AC[0,1]表示區(qū)間[0,1]上的絕對連續(xù)函數(shù).Lipschitz函數(shù)類

        其中

        2 若干引理

        為了得到算子的逼近性質(zhì),需要如下引理:

        引理2.1[2]令ei=ti,i=0,1,2,有

        注2.1由引理2.1,得

        類似于引理2.1的計算方法,可以得到

        引理2.2令時,有

        注 2.2由引理2.2,得

        注2.3經(jīng)過簡單的計算,有

        注2.4由遞推關(guān)系,得

        引理2.3設(shè)f∈C[0,1],當(dāng)時,有

        證明由算子的定義及引理2.2,得

        引理2.4[13]設(shè)f(x)∈C[0,1],則存在常數(shù)C>0,使得

        引理 2.5[14]設(shè)f(x)∈C[0,1],則存在常數(shù)C>0,使得

        3 主要結(jié)果

        定理3.1設(shè)f∈C[0,1],當(dāng)時,有

        證明由引理2.2,可得

        應(yīng)用Korovkin定理,即得定理3.1.

        定理3.2設(shè)f∈C[0,1],則當(dāng)時,有

        證明由的單調(diào)性可知,對任意的λ>0,有

        結(jié)合引理2.2及注2.3,可得定理3.2.

        定理 3.3設(shè)f∈C[0,1],則當(dāng)時,存在常數(shù)C>0,使得

        證明令g∈W2,由Taylor展開式,得

        根據(jù)引理2.2,可知

        從而有

        所以

        對所有的g∈W2,上式取下確界,得

        由引理2.4,可得

        定理3.4設(shè)f∈C[0,1],則當(dāng)時,存在常數(shù)C>0,使得

        證明由Taylor展開式,得

        因此

        任意的x,t∈(0,1),有

        應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式,得

        從而有

        對所有的g∈W?[0,1],上式取下確界,得

        由引理2.5,立即得定理3.4.

        定理 3.5設(shè) f∈LipM(β),則當(dāng)時,有

        證明取

        根據(jù) H?lder不等式,引理 2.2及注 2.3,有

        定理 3.6設(shè)時,有

        證明由Taylor公式,得

        其中 ?(t;x)是 Peano余項,滿足 ?(t;x)∈C[0,1],且從而有

        由Cauchy-Schwartz不等式,得

        注意到 ?2(x;x)=0及 ?2(t;x)∈C[0,1],由定理 3.1,得

        由注2.2,(6),(10),(11),立即得到

        由(9)-(14)式得定理3.6.

        [1]Aral A,Gupta V.Direct estimates for Lupas-Durrmeyer operators[J].Filomat,2016,30(1):191-199.

        [2]Gupta V,Soybas D.Convergence of integral operators based on di ff erent distributions[J].Filomat,2016,30(8):2277-2287.

        [3]Neer T,Acu A M,Agrawal P N.B′ezier variant of genuine-durrmeyer type operators based on polya distribution[J].Carpathian J.Math.,2016,33(1):73-86.

        [4]Neer T,Agrawal P N.A genuine family of Bernstein–Durrmeyer type operators based on polya basis functions[J].Filomat,2017,31(9):2611-2623.

        [5]Agrawal P N,Ispir N,Kajla A.Approximation properties of Lupas–Kantorovich operators based on polya distribution[J].Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2,2016,65(2):185-208.

        [6]King J P.Positive linear operators which preserve x2[J].Acta.Math.Hungar,2003,99(3):203-208.

        [7]Duman O,Ozarslan M A,Vecchia B D.Modi fi ed Szasz-Mirakjan-Kantorovich operators preserving linear functions[J].Turkish J.Math.,2009,33(2):151-158.

        [8]Deo N,Bhardwaj N.Some approximation results for Durrmeyer operators[J].Appl.Math.Comput.,2011,217(12):5531-5536.

        [9]Rempulska L,Tomczak K.On approximation of functions by certain operators preserving x2[J].Comment.Math.Univ.Carolin,2008,49(4):579-593.

        [10]Aral A,Gupta V,Agarwal R P.Applications of q-Calculus in Operator Theory[M].New York:Springer,2013.

        [11]蔡清波.一類修正的Durrmeyer型q-Baskakov算子的統(tǒng)計收斂性質(zhì)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,27(3):351-358.

        [12]鄧雪莉,吳嘎日迪.關(guān)于 Bernstein-Durrmeyer-B′ezier算子在 Orlicz空間內(nèi)的逼近 [J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2015,31(3):307-317.

        [13]Devore R A,Lorentz G G.Construtive Approximation[M].Berlin:Springer-Verlag,1993.

        [14]Ditzian Z,Totik V.Moduli of Smoothness[M].New York:Springer-Verlag,1987.

        Some modi fi ed Lupas-Durrmeyer type operators based on Polya distribution

        Lian Boyong1,Cai Qingbo2
        (1.Department of Mathematics,Yang′en University,Quanzhou 362014,China;2.School of Mathematics and Computer Science,Quanzhou Normal University,Quanzhou 362000,China)

        In this paper,the authors introduce a class of modi fi ed Lupas-Durrmeyer type operators based on Polya distribution which preserve constant and linear functions.By using modulus of continuity,modulus of smooth,K-functional and Lipschitz class,the rate of convergence of these operators are derived.The modi fi ed Lupas-Durrmeyer type operators have better error estimatin on the intervalthan the classical Lupas-Durrmeyer type operators.Finally,the authors present a Voronovskaya-type asymptotic formula.

        Lupas-Durrmeyer type operators,K-functional,modulus of smoothness,Voronovskaya-type asymptotic formula

        O174.41

        A

        1008-5513(2017)05-0466-09

        10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.004

        2017-08-09.

        國家自然科學(xué)基金(11601266);福建省自然科學(xué)基金(2016J05017);2016年福建省高校杰出青年科研人才培育計劃.

        連博勇(1982-),碩士,副教授,研究方向:函數(shù)逼近論.

        2010 MSC:41A25,41A35

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