余德民, 方春華, 王春輝

(1.湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414000;2.岳陽市第十三中學(xué),湖南 岳陽 414000)

帶雙參數(shù)的a,b無限維李代數(shù)W(a,b)的性質(zhì)

余德民1, 方春華1, 王春輝2

(1.湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414000;2.岳陽市第十三中學(xué),湖南 岳陽 414000)

研究了帶雙參數(shù)的a,b的無限維W(a,b)型李代數(shù),這類李代數(shù)是Virasoro李代數(shù)的推廣.本文研究了這類李代數(shù)的兩類子代數(shù),一類子代數(shù)同構(gòu)無中心的Virasoro李代數(shù),另一類子代數(shù)是交換李子代數(shù),并且是理想.研究了這類李代數(shù)同構(gòu)和同態(tài),證明了g不是單李代數(shù).

李代數(shù);同構(gòu);同態(tài)

1 引言

vir為單李代數(shù).本文研究一類單帶雙參數(shù)的 a,b無限維 W(a,b)型李代數(shù)g,這類李代數(shù)是Virasoro李代數(shù)的推廣,g為C上線性空間,其基向量為Li,Wj(?i,j∈Z),張成的復(fù)數(shù)域C上的線性空間，李運(yùn)算定義如下：

此運(yùn)算在基向量上線性擴(kuò)張,其中 a,b為復(fù)數(shù),并滿足反對稱性和Jacobi不等式,稱 g為帶雙參數(shù)的a,b無限維李代數(shù)W(a,b),蘇育才教授研究了無限維李代數(shù) W(a,b)的中間系列模(文獻(xiàn)[1]),許螢博士研究了雙參數(shù)的a,b無限維李代數(shù) W(a,b)的表示 (文獻(xiàn) [2]).本文作者曾研究了Virasoro李代數(shù)及其推廣的Virasoro李代數(shù)(文獻(xiàn)[3-7]),夏春光博士研究了推廣的Virasoro李代數(shù)的結(jié)構(gòu)分類,導(dǎo)子和自同構(gòu)和最高權(quán)模(文獻(xiàn)[8-10]).本文研究了這類李代數(shù)的子代數(shù),同構(gòu)和同態(tài).

2 主要結(jié)果

設(shè)由 Li(?i∈Z)張成的子空間為g1.

定理 2.1g1是g的無限維非交換子代數(shù).

證明?i,j∈Z,可驗(yàn)證

從而,g1是g的子代數(shù),g1也是g的無限維非交換子代數(shù).構(gòu)造g1到映射如下:φ1在g1的基向量Li上線性擴(kuò)張.

定理 2 .2φ1是 g1到的同構(gòu).

證明從構(gòu)造知φ1是g1到同構(gòu)的線性映射,且既是單射.可驗(yàn)證

從而 φ1是 g1到的同構(gòu).

從同構(gòu)的意義上說,無中心的Virasoro李代數(shù)(以后簡化為),是無限維李代數(shù)W(a,b)的子代數(shù),也可以說無限維李代數(shù)W(a,b)的子代數(shù)是無中心的Virasoro李代數(shù)(以后簡化為)的推廣.

設(shè)由 Wi(?i∈Z)張成的子空間為g2.

定理 2 .3g2是g的無限維交換子代數(shù),并且是g2是g的理想,從而g不是單李代數(shù).

證明?i,j∈ Z ,由于

從而,g2是g的無限維交換子代數(shù),?i,j∈Z,由于

從而g2是g的理想,從而g不是單李代數(shù).

構(gòu)造g到g映射如下:

φ2在g的基向量Wj,Li上線性擴(kuò)張.

定理2.4φ2是 g到 g的同構(gòu).

證明從構(gòu)造知φ2是g到g同構(gòu)的線性映射,且既是單射.可驗(yàn)證

從而 ?u,v∈g,

則φ3是g到g的同構(gòu).當(dāng)參數(shù)

構(gòu)造g到g映射如下:

φ3在g的基向量Wj,Li上線性擴(kuò)張.

定理2.5當(dāng)參數(shù)φ3是g到g的單同態(tài),其中當(dāng) n=?1,φ3是 g到 g的同構(gòu).

證明從構(gòu)造知φ3是g到g同構(gòu)的線性映射,且既是單射.可驗(yàn)證

從而 ?u,v∈g,

則φ3是g到g的單同態(tài).當(dāng)n=?1,φ3是g到g的同構(gòu).

3 結(jié)論

本文首先定義了帶雙參數(shù)的a,b的無限維W(a,b)李代數(shù),證明了g2是g的無限維交換子代數(shù),并且是g2是g的理想,并用比較強(qiáng)的技巧構(gòu)造φ2是g到g的同構(gòu),以后將研究無限維李代數(shù)W(a,b)的表示理論.

[1]Yucai Su,Ying Xu,Xiaoqing Yue.Indecomposable module of the immediate series over W(a,b)algebra[J].Science China Mathematics 2014,57(2):276-291.

[2]許螢.擴(kuò)張仿射李代數(shù)的雙代數(shù)結(jié)構(gòu)和W(a,b)李代數(shù)的表示[D].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2012.

[3]余德民,梅超群.一類無限維半單李代數(shù)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué):中文版,2008,28(9):1101-1108.

[4]余德民,盧才輝.李代數(shù)L(Z,f,δ)的特殊性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2006,35(6):707-711.

[5]余德民,盧才輝.Virasoro李代數(shù)的子代數(shù)若干結(jié)果[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào):中文版,2006,49(3):633-638.

[6]余德民,盧才輝.Virasoro李代數(shù)的子代數(shù)的同構(gòu)及生成元[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué):中文版,2008,28(1):24-29.

[7]余德民,梅超群,郭晉云.一些特殊項(xiàng)鏈李代數(shù)的同態(tài)[J].數(shù)學(xué)年刊:中文版,2009,30(4):551-562.

[8]Xia C,You T,Zhou L.Structure of a class of Lie algebra of Block type[J].Comm.Algebra,2012,40:3113-3126.

[9]Xia C,Wang W.Derations and automorphisms of a Lie algebra of Block type[J].Algebra Colloq.,2013,20:173-180.

[10]Xia C,Zhang R.Unitary quasi fi niti high weight modules over Block type Lie algebra B(q)[J].J.Lie algebra,2013,23:159-176.

Property of an new in fi nite dimensional W(a,b)Lie algebra with parameter a,b

Yu Deming1,Fang Chunhua1,Wang Chunhui2
(1.College of Mathematics,Hunnan Institute of Science and Technology,Yueyang 414000,China;2.Thirteen Middle School in Yueyang,Yueyang 414000,China)

In this paper,In fi nite dimensional Lie algebra W(a,b)with two parameter a,b is constructed and the in fi nite dimensional lie algebra is a generalization of Virasoro-like Lie algebra.Two Subalgebra are studied.One is isomorphic to Virasoro Lie algebra with no central.The other is abelian and the other is ideal.Isomorphisms and homomorphism of the in fi nite dimensional Lie algebra are studied.We prove that it is not a simple Lie algebra.

Lie algebra,isomorphisms,homomorphisms

O152.5

A

1008-5513(2017)05-0462-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.003

2017-03-10.

國家自然科學(xué)基金(11771135);湖南省社科基金教育學(xué)專項(xiàng)課題(XSJ17B16);湖南省省級(jí)教研教改項(xiàng)目(緗教通(2016)400)).

余德民(1975-),博士,副教授,研究方向：李代數(shù).

方春華(1979-),博士,副教授,研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué).

2010 MSC:17B05,17B40