朱 楓，鄭 松，葛文鋒，葛 銘

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

一種自適應(yīng)的協(xié)同優(yōu)化算法及其仿真

朱 楓，鄭 松，葛文鋒，葛 銘

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

針對(duì)協(xié)同優(yōu)化算法對(duì)初始點(diǎn)敏感，易收斂于局部最優(yōu)值的問題，提出了一種自適應(yīng)的協(xié)同優(yōu)化算法.在系統(tǒng)級(jí)模型中，引入?yún)f(xié)同不一致性，改進(jìn)動(dòng)態(tài)松弛因子使優(yōu)化設(shè)計(jì)點(diǎn)快速收斂于極值點(diǎn)；在學(xué)科級(jí)模型中，改造子學(xué)科目標(biāo)，將一致性目標(biāo)函數(shù)與子學(xué)科最大以動(dòng)態(tài)的權(quán)重相加，考慮一致性同時(shí)又兼顧子學(xué)科獨(dú)立性；采用二階段優(yōu)化過程，在迭代后期去除動(dòng)態(tài)松弛因子與子學(xué)科最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，防止收斂過程震蕩.仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，自適應(yīng)的協(xié)同優(yōu)化算法對(duì)初始點(diǎn)不敏感，其優(yōu)化效率得到了顯著提升，且具有較強(qiáng)的魯棒性.

協(xié)同優(yōu)化；一致性；自適應(yīng)

0 引 言

在現(xiàn)代工業(yè)場景中，工程控制復(fù)雜化的趨勢已無可避免，應(yīng)對(duì)龐雜問題的優(yōu)化求解傳統(tǒng)方法不再適用.對(duì)此，多學(xué)科綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)(Multidisciplinary Design Optimization，MDO)[1]充分利用學(xué)科間的耦合關(guān)系，通過并行設(shè)計(jì)縮短了設(shè)計(jì)周期，已成為學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn).1994年，Ilan K.等[2]首次提出了協(xié)同優(yōu)化(Collaborative Optimization，CO)，CO算法將MDO問題分解為層次式的兩級(jí)優(yōu)化結(jié)構(gòu)，各學(xué)科的優(yōu)化過程有很強(qiáng)的自主性，可自主選擇分析模型和優(yōu)化算法[3-4].作為一種新興優(yōu)化算法，CO算法較傳統(tǒng)優(yōu)化算法在效率方面有很大的提高，但仍不夠完善，比如：系統(tǒng)級(jí)模型中采用的一致性等式約束過強(qiáng)，縮小最優(yōu)解搜索范圍，甚至使可行域不存在[5]；優(yōu)化結(jié)果對(duì)初始點(diǎn)的選取敏感，選取不當(dāng)則易收斂于局部最優(yōu).為解決上述問題，文獻(xiàn)[6]提出了松弛因子法，將系統(tǒng)級(jí)中的等式約束松弛為不等式約束，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]利用學(xué)科間不一致性將松弛因子優(yōu)化為動(dòng)態(tài)松弛因子.文獻(xiàn)[8]利用凝聚約束處理方法將系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的多個(gè)等式約束凝聚成一個(gè)單約束，結(jié)合懲罰函數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題.文獻(xiàn)[9]引入自適應(yīng)松弛因子的同時(shí)建立混合懲罰函數(shù)，提高了收斂效率.文獻(xiàn)[10]利用系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)間的不一致性改進(jìn)了系統(tǒng)級(jí)的自適應(yīng)松弛因子.

上述方法集中于系統(tǒng)級(jí)模型的改進(jìn)，雖然降低了一致性約束對(duì)全局收斂的負(fù)面影響，使算法的搜索域擴(kuò)大而不易限于局部最優(yōu)，但在學(xué)科級(jí)模型對(duì)于算法效率的貢獻(xiàn)仍有待進(jìn)一步深入研究.學(xué)科級(jí)模型僅僅是提供學(xué)科約束，未考慮與自身學(xué)科相關(guān)的子目標(biāo)函數(shù)，缺乏對(duì)目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)能力.為此，本文以提升學(xué)科級(jí)模型的尋優(yōu)能力為目標(biāo)，兼顧系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)模型兩方面進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)后的算法在迭代初期的優(yōu)化效率與收斂速度上有了較大的提高.

1 標(biāo)準(zhǔn)CO算法

CO算法采用二層模型優(yōu)化，分別構(gòu)建了系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)模型.系統(tǒng)級(jí)模型負(fù)責(zé)消除學(xué)科間不一致性并在此基礎(chǔ)上尋找整體最優(yōu)解；學(xué)科級(jí)模型接收系統(tǒng)級(jí)傳遞來的目標(biāo)，在保證各自約束的前提下，向系統(tǒng)級(jí)分配的期望值靠近.系統(tǒng)級(jí)和子學(xué)科級(jí)相互循環(huán)迭代，最終得到優(yōu)化解.CO算法的表達(dá)形式如下[11]：

1)系統(tǒng)級(jí)模型

(1)

2)學(xué)科級(jí)模型

(2)

1.1 系統(tǒng)級(jí)模型的不足

圖1 松弛因子法幾何解釋

面對(duì)標(biāo)準(zhǔn)CO算法系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化可行域不存在問題，松弛因子法將系統(tǒng)級(jí)等式約束化為不等式約束：Ji≤εi.系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的可行域變?yōu)橐訶i為圓心εi為半徑的高緯球交集.幾何解釋如圖1所示.

1.2 學(xué)科級(jí)模型的不足

標(biāo)準(zhǔn)CO算法將目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化全部放在系統(tǒng)級(jí)模型，學(xué)科級(jí)模型在每次迭代中的主要作用是提供學(xué)科約束，在優(yōu)化方向上并未體現(xiàn)出原優(yōu)化問題目標(biāo)，缺乏對(duì)目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)能力.同時(shí)，由于子學(xué)科最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)一直處于學(xué)科約束的邊緣，當(dāng)初值點(diǎn)遠(yuǎn)離約束邊緣需要更多的迭代次數(shù)來拉近子學(xué)科最優(yōu)點(diǎn)與系統(tǒng)級(jí)最優(yōu)點(diǎn)，優(yōu)化效率降低.

2 改進(jìn)的SCO算法

針對(duì)系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)模型的不足，本文提出了一種自適應(yīng)的協(xié)同優(yōu)化算法(Self-adapting Collaborative Optimization, SCO)，并引入了協(xié)同不一致性因子.

2.1 協(xié)同不一致性因子

利用兩次迭代間學(xué)科級(jí)與系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化所得最優(yōu)點(diǎn)的距離大小，定義協(xié)同不一致性因子：

(3)

2.2 系統(tǒng)級(jí)模型的改進(jìn)

(4)

(5)

根據(jù)式(3)—(5)，構(gòu)造松弛因子：

εi=(λid)2

(6)

2.3 學(xué)科級(jí)模型的改進(jìn)

F=f1+f2+…+fn

(7)

系統(tǒng)級(jí)模型的目標(biāo)函數(shù)F可以分解成i個(gè)子學(xué)科的子目標(biāo)函數(shù)fi.為了充分利用學(xué)科級(jí)模型的優(yōu)化能力，同時(shí)在優(yōu)化方向上對(duì)系統(tǒng)級(jí)進(jìn)行指導(dǎo)，將子目標(biāo)函數(shù)按一定權(quán)重加入學(xué)科級(jí)模型的目標(biāo)函數(shù).改進(jìn)后的學(xué)科級(jí)模型如下：

(8)

其中，ω1,ω2為自適應(yīng)加權(quán)因子：

(9)

改進(jìn)后的學(xué)科級(jí)模型在保留了一致性等式約束的基礎(chǔ)上，利用自適應(yīng)加權(quán)因子ω1,ω2動(dòng)態(tài)加入了子學(xué)科目標(biāo)函數(shù)fi.在迭代初期，對(duì)于一致性的要求較低，此時(shí)應(yīng)較多的引入子學(xué)科的目標(biāo)函數(shù)fi，學(xué)科級(jí)模型盡可能的尋找自己的理想值以此加快優(yōu)化速度.當(dāng)ρi不斷減小，系統(tǒng)級(jí)最優(yōu)點(diǎn)與學(xué)科級(jí)最優(yōu)點(diǎn)的距離越來越短，此時(shí)應(yīng)增加一致性目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，確保學(xué)科級(jí)約束的作用.

2.4 二階段優(yōu)化過程

當(dāng)?shù)M(jìn)入末期，尋優(yōu)點(diǎn)進(jìn)入各學(xué)科的交叉可行域?qū)е聦W(xué)科間不一致性d為零，松弛因子εi亦為零對(duì)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化不再起作用.而在學(xué)科級(jí)模型，由于系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)的差距始終存在，fi的影響無法消除.學(xué)科級(jí)目標(biāo)函數(shù)與系統(tǒng)級(jí)一致性等式約束的不一致阻礙了優(yōu)化后期的收斂，優(yōu)化過程出現(xiàn)震蕩.

2.5 算法的實(shí)現(xiàn)步驟

算法的流程如下：

1)確定初始參數(shù)a，b，c；

4)設(shè)置初始點(diǎn)，并分配給子學(xué)科，子學(xué)科分別進(jìn)行優(yōu)化；

5)學(xué)科級(jí)模型將優(yōu)化結(jié)果傳遞給系統(tǒng)級(jí)模型，系統(tǒng)級(jí)采用改進(jìn)松弛因子εi進(jìn)行優(yōu)化；

7)進(jìn)入第二階段的迭代，使用帶松弛因子的標(biāo)準(zhǔn)CO算法繼續(xù)優(yōu)化直至滿足收斂條件.

3 仿真案例

為測試SCO算法性能，本文對(duì)松弛CO算法(取松弛因子ε=10-4)和SCO算法進(jìn)行對(duì)比，分別求解經(jīng)典數(shù)值案例和齒輪減速器案例.本文算例均在MATLAB R2014b下的環(huán)境進(jìn)行仿真計(jì)算，學(xué)科級(jí)和系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化均采用MATLAB非線性規(guī)劃求解函數(shù)fmincon.

3.1 經(jīng)典數(shù)值案例

經(jīng)典數(shù)值案例數(shù)學(xué)模型如下：

(10)

通過SCO算法分解后得到系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)模型：

1)系統(tǒng)級(jí)模型

(11)

2)學(xué)科級(jí)模型

(12)

(13)

表1 經(jīng)典數(shù)值案例下，優(yōu)化結(jié)果比較

圖2 各初始點(diǎn)在SCO算法下的迭代

分析表1可知，各初始點(diǎn)均能收斂于全局最優(yōu)解附近.但是對(duì)于初始點(diǎn)1—4，采用松弛CO算法迭代次數(shù)非常高，運(yùn)用SCO算法后迭代次數(shù)大幅下降，分別由原來的1 148次、986次、1 004次、1 069次下降至18次、19次、23次、21次.對(duì)于子學(xué)科理想點(diǎn)，在兩種算法下均能快速收斂.

分析圖2可知，運(yùn)用SCO算法迭代曲線光滑，在迭代初期對(duì)目標(biāo)函數(shù)保持了較大的前進(jìn)速度，在迭代后期未出現(xiàn)震蕩反復(fù).SCO算法在經(jīng)典數(shù)值算例真實(shí)可行，取得了良好的優(yōu)化效果.

3.2 齒輪減速器案例

齒輪減速器優(yōu)化案例是用來測試MDO優(yōu)化設(shè)計(jì)方法性能的標(biāo)準(zhǔn)算例[12]，其特點(diǎn)是變量眾多且包含了大量的約束條件.數(shù)學(xué)模型如下：

(14)

SCO算法求解需要對(duì)問題進(jìn)行分解，按問題特征拆分為1個(gè)系統(tǒng)級(jí)和3個(gè)學(xué)科級(jí).系統(tǒng)級(jí)及各學(xué)科的設(shè)計(jì)變量劃分為：系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量Z={x1,x2,x3}，子學(xué)科1設(shè)計(jì)變量X1={x1,x2,x3}，子學(xué)科2設(shè)計(jì)變量X2={x1,x2,x3,x4,x6}，子學(xué)科3設(shè)計(jì)變量X3={x1,x2,x3,x5,x7}.各學(xué)科優(yōu)化模型如下：

(15)

(16)

(17)

(18)

表2 減速器案例下，優(yōu)化結(jié)果比較

圖3 減速器案例下，各初始點(diǎn)在SCO算法下的迭代

對(duì)表2的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，松弛CO算法對(duì)初始點(diǎn)較為敏感.其中初始點(diǎn)1由于距離全局最優(yōu)點(diǎn)較遠(yuǎn)而陷入了局部最優(yōu)，其余初始點(diǎn)雖然均可優(yōu)化至全局最優(yōu)點(diǎn)附近，但迭代速度差異明顯.初始點(diǎn)2迭代次數(shù)達(dá)到1 104次，遠(yuǎn)高于初始點(diǎn)3與初始點(diǎn)4.

對(duì)比表2的優(yōu)化結(jié)果，在改進(jìn)算法下各初始點(diǎn)的收斂效率均有不同程度的提高.初始點(diǎn)1擺脫了局部最優(yōu)且迭代次數(shù)減少為15次.初始點(diǎn)2初始點(diǎn)3初始點(diǎn)4的迭代次數(shù)大幅度下降，分別從松弛CO算法的1 104，469，647次減小至13，8，9次，各點(diǎn)之間差異較小.目標(biāo)函數(shù)值與參考值2994.3548十分接近且約束最大值保持在一個(gè)較小的區(qū)間，說明優(yōu)化結(jié)果與實(shí)際相符.通過以上分析可知，自適應(yīng)協(xié)同優(yōu)化算法較松弛CO算法對(duì)初始點(diǎn)不敏感，迭代效率得到大幅提升.

分析圖3的收斂過程，在迭代初期目標(biāo)函數(shù)值向全局最優(yōu)方向快速靠近，這是由于子學(xué)科目標(biāo)函數(shù)在優(yōu)化方向上的指導(dǎo)作用加速了收斂速度.在迭代后期收斂曲線平滑并未出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，說明二階段優(yōu)化模型起到了作用.

綜上所述，自適應(yīng)的協(xié)同優(yōu)化算法高效可行，較松弛CO算法優(yōu)化效率得到很大提升，具有一定的收斂性和魯棒性.

4 結(jié)束語

本文針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)CO算法尚存的缺點(diǎn)分別從系統(tǒng)級(jí)和學(xué)科級(jí)模型進(jìn)行分析，并提出了與之對(duì)應(yīng)的改進(jìn)策略.在系統(tǒng)級(jí)模型中，采用改進(jìn)的包含協(xié)同不一致性的動(dòng)態(tài)松弛因子；在學(xué)科級(jí)模型中，改造子學(xué)科目標(biāo)，將一致性目標(biāo)函數(shù)與子學(xué)科最大以動(dòng)態(tài)的權(quán)重相加，提升了對(duì)目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)能力.同時(shí)采用二階段優(yōu)化過程解決了學(xué)科級(jí)目標(biāo)函數(shù)與系統(tǒng)級(jí)約束不一致帶來的負(fù)面影響.改進(jìn)算法同時(shí)解決了系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)模型的不足，提高了自身的可行性和收斂速度，且對(duì)初始點(diǎn)不敏感.經(jīng)典數(shù)值案例和齒輪減速器案例的優(yōu)化結(jié)果表明，SCO算法對(duì)于不同初始點(diǎn)均可優(yōu)化到全局最優(yōu)點(diǎn)，且具有較好的魯棒性，收斂速度較松弛CO算法有很大的提高.

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ASelf-adaptiveCollaborativeOptimizationandItsSimulation

ZHU Feng, ZHENG Song, GE Wenfeng, GE Ming

(SchoolofAutomation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Collaborative optimization algorithms are sensitive to the choice of initial point and are prone to converge on a local optimum. A self-adaptive collaborative optimization algorithm is proposed with a view to overcoming such inconveniences. A collaborative non-uniformity is introduced at the system level to improve the dynamic slack factor such that the optimization design point converges rapidly on the extreme point. At the disciplinary level, the uniformity objective function and the sub-disciplinary optimal objective function are added up, by use of dynamic weightings, and the sum is treated as the sub-disciplinary objective function, hence giving allowance for uniformity as well as sub-discipline independence. A two-stage optimization process is utilized, and in the final phase of iteration, both the dynamic slack factor and the sub-disciplinary optimal objective function are removed to prevent excessive oscillation in the convergence process. A simulation was performed on classical cases, and the optimization results attested to the insensitivity of the proposed algorithm to the choice of initial point, its significant optimization efficiency improvement, and its good robustness.

collaborative optimization; uniformity; self-adaptation

TP301.6

A

1001-9146(2017)05-0061-07

2016-10-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61304211，61375078)

朱楓(1990-)，男，陜西銅川人，碩士研究生，協(xié)同優(yōu)化生產(chǎn)調(diào)度.通信作者：鄭松副教授，E-mail：zhs@hdu.edu.cn.

10.13954/j.cnki.hdu.2017.05.012