張彥林，肖建斌，高智娟

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

Cn中加權(quán)解析Lipschitz空間上復(fù)合算子的有界性

張彥林，肖建斌，高智娟

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

單位圓盤上的加權(quán)Lipschitz空間中復(fù)合算子的有界性與緊性問題已有文獻探究，并給出了復(fù)合算子的有界與緊性的充要條件；但一直未見文獻討論Cn中加權(quán)解析Lipschitz空間上復(fù)合算子的有界性問題，刻畫了Cn中加權(quán)解析Lipschitz空間的特性，并利用空間中誘導(dǎo)距離的性質(zhì)給出了復(fù)合算子Cφ在加權(quán)解析Lipschitz空間上為有界算子的充要條件.

單位球；加權(quán)Lipschitz空間；復(fù)合算子；有界性

0 引 言

復(fù)合算子有界性的問題給函數(shù)論中的古老課題賦予了新的方法，為函數(shù)論算子代數(shù)的研究帶來了重要的契機.1968年，Eric N.開始將復(fù)合算子作為解析函數(shù)空間上的線性算子進行研究，近幾十年來，對于復(fù)合算子有界性問題已得到廣泛研究.其中，Konstantin M.D.等[1]對單位圓盤上的Lipschitz空間中復(fù)合算子的有界性與緊性問題進行了探究，并給出了復(fù)合算子有界與緊算子的充要條件；戴濟能[2]對單位球體中Lipschitz空間上的加權(quán)復(fù)合算子也進行了研究，并給出了加權(quán)復(fù)合算子有界性與緊性的充要條件.本文研究加權(quán)解析Lipschitz空間上復(fù)合算子的有界性問題.

1 預(yù)備知識及相關(guān)引理

1)?t>0，ω(t)單調(diào)上升；

仿照文獻[5]中的定理1和文獻[6]中的定義4中的證明方法，得到如下命題.

引理2設(shè)ω是一個權(quán)函數(shù)，f∈A(B),則

其中，“≈”表示等價號，在本文中，X≈Y表示存在一個常數(shù)C(ω)>0，使得C-1(ω)X≤T≤C(ω)X成立，這里的C(ω)是與權(quán)函數(shù)ω有關(guān)的常數(shù).引理2由文獻[1]引理6和定理1可知.

2 主要成果

文獻[5]是關(guān)于加權(quán)復(fù)合算子在Cn中的Lipschitz空間上的有界性和緊性問題，但是一直未見有文獻討論Cn中的加權(quán)Lipschitz空間以及復(fù)合算子在此空間上的有界性問題.本文在此基礎(chǔ)上通過空間中的誘導(dǎo)距離探究了Cn中加權(quán)Lipschitz空間的復(fù)合算子的有界性問題，得到了加權(quán)解析Lipschitz空間上的復(fù)合算子的有界性的充要條件：

定理1設(shè)Cφ為加權(quán)Lipschitz空間上的復(fù)合算子，則下列條件是等價的：

(i)Cφ為有界算子；

證明(i)?(ii).設(shè)Cφ有界，則

其中，

為φ在點z的導(dǎo)數(shù).

證明設(shè)Cφ∶Cφf=f·φ有界，讓φ=1，則Cφf=f∈Λω.再讓φ=zi(i=1,…,n),則有Cφ∶Cφf=f·φi,故

(Cφf)(z)=(f·φi)(z)=φi(z)f(z)+f(z)φi(z)≤C.

又因f∈Λω，所以φi(z)f(z)≤C,從而∞.

3 結(jié)束語

研究加權(quán)解析Lipschitz空間上復(fù)合算子的有界性和緊性有著實用性的意義，它被廣泛的應(yīng)用在動力系統(tǒng)中的各個應(yīng)用領(lǐng)域.本文利用加權(quán)解析Lipschitz空間中的函數(shù)在Cn中的誘導(dǎo)距離給出了該空間上復(fù)合算子有界性的充要條件.

[1] DYAKONOV K M. Equivalent norms on lipschitz-type spaces of holomorphic functions[J]. Acta Mathematica, 1997,178(2):143-167.

[2] 戴濟能.單位球上Lipschitz空間及其空間上的加權(quán)復(fù)合算子[J].武漢大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2012,58(2):95-99.

[3] JINENG D A I, OUYANG C. Composition operators between Bloch type spaces in the unit ball[J]. Acta Mathematica Scientia, 2014,34(1):73-81.

[4] BLASCO O.Operators on Weighted Bergman Spaces(0

[5] 羅羅.某些多復(fù)變函數(shù)全體函數(shù)上的復(fù)合算子和一類推廣的Hankel算子[D].合肥:中國科技大學(xué),1998.

[6] 任全玉,黃玲娣.加權(quán)解析Lipschitz空間的復(fù)合算子[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2006,34(1):136-138.

TheBoundednessofCompositionOperatorontheWeightedLipschitzSpaceinCn

ZHANG Yanlin, XIAO Jianbin, GAO Zhijuan

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

On the unit disc, the boundedness and compactness of the composition operator in the weighted Lipschitz spaces have been investigated, besides the necessary and sufficient conditions of the composition operatorCφare obtained. However, there is no discussion about the boundedness of the composition operator on weighted analytic Lipschitz spaces inCn. by describing the properties of weighted analytic Lipschitz space inCn, and combine with the properties of the induced distances in Lipschitz space, the necessary and sufficient conditions of the composition operatorCφin weighted analytic Lipschitz space are obtained.

unit ball; weighted Lipschitz space; composition operator; boundedness

O177.2

A

1001-9146(2017)05-0100-03

10.13954/j.cnki.hdu.2017.05.019

2016-12-01

國家自然科學(xué)基金資助項目(11571104)

張彥林(1988-)，女，甘肅武威人，碩士研究生，復(fù)分析及其應(yīng)用.通信作者：肖建斌教授，E-mail：xjb@hdu.edu.cn.