賀天龍，陳憲麥，徐磊

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基于輪軌時變接觸剛度的車輛?軌道系統(tǒng)垂向振動分析

賀天龍1, 2，陳憲麥1, 2，徐磊3

(1. 中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075；2. 高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南長沙，410075；3. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都，610031)

采用輪軌時變接觸剛度代替輪軌非線性接觸力的動力效應，模擬輪軌之間的自然接觸狀態(tài)，將有限元理論和能量變分法用于建立車輛?軌道系統(tǒng)垂向統(tǒng)一方程。通過輸入脈沖型短波及中、長波不平順激勵，計算系統(tǒng)的動力響應，驗證本文模型的正確性，并與國內常用的輪軌密貼模型進行比較分析。研究結果表明：輪軌密貼模型在分析中、長波不平順激勵工況下的系統(tǒng)動力響應是可行的；但在短波不平順激勵工況下，輪軌之間的剛性處理方法將放大短波激勵效應，車輪“跳軌”處理方法尚需改進。

車輛?軌道耦合系統(tǒng)；時變接觸剛度；垂向振動；能量變分法；統(tǒng)一方程

車輛?軌道系統(tǒng)的耦合振動分析是鐵路動力學領域非常重要的研究內容，國內的車/軌系統(tǒng)動力學建模工作以車輛?軌道耦合動力學[1]為基本理論指導，已日趨完善。針對車輛?軌道系統(tǒng)的橫向相互作用，應該考慮非線性蠕滑力及輪軌橫向相對位移。然而，對于車輛?軌道系統(tǒng)的垂向相互作用，國內主要采用輪軌密貼[2?4]和輪軌彈性接觸(基于Hertz非線性接觸理論)[1]這2種建模方法。由于鐵路鋼軌存在的磨耗、扣件失效、軌道板離縫及路基沉降等一系列鐵路軌道基礎結構動態(tài)性能演變問題都與車/軌系統(tǒng)的垂向動力作用密切相關，所以，有必要對這2種垂向輪軌關系作用下的系統(tǒng)動力響應進行比較分析。為此，本文作者基于有限元方法對不同鐵路線路工況的強模擬性能及求解軌道結構任意位置的動力響應，采用有限元方法，同時考慮輪軌之間的彈性接觸剛度(即考慮輪軌相對位移)，以板式軌道結構為例，對這2種垂向輪軌關系進行計算。實際上，人們對軌道的有限元動力進行了大量研究，如：羅震等[5]基于多剛體系統(tǒng)動力學原理建立了車輛動力學計算模型，以梁?板?板有限元模擬板式軌道，通過輪軌界面形成車/軌系統(tǒng)的動態(tài)耦合，分別采用新型快速顯示積分方法[6]和Newmark-β法[7]求解了車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)的動力響應；向俊等[8]采用橫向有限條和板段單元模型分析了車/軌垂向動力響應，在正常行車時為輪軌密貼，而在車輪跳軌時，考慮輪軌相對位移。此外，人們在考慮輪軌接觸彈性時，常將輪軌非線性接觸彈簧時不變等效成線性化處理[9?12]。這些方法均沒有在輪軌接觸非線性、有限元方法及動力系統(tǒng)方程的統(tǒng)一求解上達到統(tǒng)一。本文作者采用輪/軌時變接觸剛度的方法模擬輪軌之間的自然接觸狀態(tài)，通過能量變分和有限元建立車輛?軌道系統(tǒng)的統(tǒng)一方程，驗證模型的正確性。建立能考慮車輪“跳軌”的輪軌密貼模型，比較本文模型與輪軌密貼模型在脈沖型短波及中、長波不平順激勵下的系統(tǒng)動力響應。

1 垂向耦合動力學模型

將車輛?板式軌道作為一個整體，建立如圖1所示的車輛?板式軌道垂向耦合動力學模型。高速車輛模型采用具有二系懸掛的車輛模型。板式軌道因其結構左右對稱，可取一股軌道進行研究，以鋼軌模擬無限長且離散黏彈性點支承的Bernoulli?Euler梁，彈性支承在鋼軌扣件處的軌下襯墊上；將軌道板模擬成連續(xù)黏彈性支承的有限長Bernoulli-Euler梁，CA砂漿等效為連續(xù)分布線性彈簧和阻尼器。

圖1 車輛?板式軌道垂向耦合動力學模型

2 垂向耦合振動方程的建立

對于車/軌系統(tǒng)的垂向或橫向振動，輪軌相互作用力確是車輛?軌道系統(tǒng)的內力，翟婉明[1]將每一積分步的輪軌力“顯示”表達，分別將其作用于車輛系統(tǒng)與軌道系統(tǒng)，獲得了與實測值接近的結果，得到廣泛應用。曾慶元[2]認為輪軌相互作用力是“隱式”的，由于輪軌作用力與輪軌相對位移存在強非線性關系，對輪軌作用力在相對位移上的做功無法有效地進行一階變分，只能采用輪軌密貼及線性蠕滑的假定。

在車?軌(橋)系統(tǒng)的數值積分步長內，所有的力及動力參數是基本不變的。本文假定輪軌之間存在1個輪/軌接觸彈簧，隨著積分步變化，其接觸彈簧剛度是時變的，但在1個積分步長內，認為此彈簧接觸剛度為定值，這符合輪軌之間的真實接觸狀態(tài)。

2.1 輪軌接觸關系的處理方法

2.1.1 輪軌時變接觸剛度模型

根據Hertz非線性彈性接觸理論，可以確定輪軌之間的相互作用力()為

式中：為輪軌接觸常數(m/N2/3)；δ()為輪軌間的彈性壓縮量(m)。采用磨耗型踏面車輪，則

圖2 輪軌時變接觸剛度與輪軌相對位移kwr(t)的關系

輪軌時變接觸剛度的計算基于Hertz非線性接觸理論，這種方法完全將車輛系統(tǒng)與軌道系統(tǒng)耦合成一個整體，輪軌之間的彈性變形能可由輪軌接觸剛度和輪軌相對位移計算獲得。這是一種輪軌力“隱式”表達的方法，輪軌力作為輪軌之間的相互作用力是車輛?軌道系統(tǒng)的1個內力。當采用能量原理建立系統(tǒng)的平衡方程時，只需將輪軌變形能計入系統(tǒng)總能量即可，這兼顧了輪軌非線性接觸本質和振動方程解適定性的要求[13]。

2.1.2 輪軌密貼模型

曾慶元等[2?3]采用的模型均為輪軌密貼模型。曾慶元[2]認為軌道不平順不是時間的函數，軌道不平順附加速度及加速度均為0 m/s2；婁平等[3]采用較復雜的輪軌約束方程，不僅考慮了軌道不平順的附加速度及加速度項，而且加入了形函數矩陣的時間求導項。本文在文獻[3]的基礎上，采用簡化的輪軌約束方程：

輪軌密貼模型在時域數值積分過程中，輪軌力是不計算和代入系統(tǒng)動力方程荷載列陣的。其輪軌力可根據每一步的計算結果，基于達朗貝爾原理進行計算：

式中：w1，w2，w3和w4分別為第1~4輪/軌接觸力；1，2，3和4分別為第1~4輪對的靜輪載；其他變量含義見文獻[1]。

2.2 車輛和軌道系統(tǒng)矩陣的建立

2.2.1 Hamilton原理

Hamilton原理是力學中應用最廣泛和最重要的積分形式的變分原理，提供了從所有可能運動中找出真實運動的1個準則。對于完整的保守系統(tǒng)，Hamilton最小作用量原理定義為[14]

式中：為拉格朗日泛函。實際上，從Hamilton最小作用量原理成立的基本條件來說，由于車/軌系統(tǒng)存在黏滯阻尼力、庫侖摩擦力及干擾力等非有勢力，不再符合上述Hamilton完整保守系統(tǒng)的定義。但當積分時間足夠小(1→0)時，進行瞬時處理。在某一瞬時，所有的內外力及應力是不變的，只產生滿足勢能駐值原理[15]的位移及應變，此時，非有勢力(黏滯阻尼力、摩擦力及干擾力)可近似作有勢力處理。曾慶元[16]基于這種瞬時狀態(tài)的理想化處理，建立了彈性系統(tǒng)動力學總勢能不變值原理，在車輛?軌道(橋梁)振動分析領域獲得了廣泛應用。這里的拉格朗日泛函可為

式中：M為系統(tǒng)的動能；I為系統(tǒng)的彈性勢能；C為系統(tǒng)的阻尼力勢能；F為外力勢能。

由式(3)可得

根據式(9)的基本表達形式及“對號入座”法則[2]，可以建立車輛和軌道的系統(tǒng)矩陣。

2.2.2 車輛系統(tǒng)矩陣

車輛系統(tǒng)的動力矩陣可參考文獻[17]中的方法獲得。這里以車輛系統(tǒng)剛度矩陣為例，簡單說明其形成過程。在車輛－軌道系統(tǒng)的時域數值積分過程中，將輪軌之間的接觸彈性變形能在車輛系統(tǒng)矩陣的分析過程中予以考慮。

車輛系統(tǒng)的初始振動位移參數列陣如下：

式中：c，gq和gh分別為車體、前構架、后構架的沉浮自由度；c，gq和gh分別為車體、前構架、后構架的點頭自由度；w1，w2，w3和w4為第1~4輪對的沉浮自由度；r1，r2，r3和r4為第1~4輪對對應的鋼軌振動位移；irr1，irr2，irr3和irr4為第1~4輪對對應的軌道垂向不平順。

需指出的是：鋼軌振動位移及軌道不平順在原則上是屬于軌道系統(tǒng)的振動位移參數，本文為編制程序方便，將輪軌接觸點處對應輪對位移、鋼軌位移及鋼軌不平順均納入車輛系統(tǒng)中。

對于多剛體的車輛系統(tǒng)，其剛度矩陣的形成主要通過彈簧單元變形能的位移變分獲得，故本文的車輛系統(tǒng)共10彈簧變形單元，如車體與前構架、前構架與第1輪對、第1輪/軌接觸彈簧的彈性變形能(以彈簧受壓為正)分別為

式中：s1，gq1和wr1分別為車體與前構架、前構架與第1輪對、第1輪/軌接觸點之間的彈簧剛度；c和t分別為車輛二構架中心距之一半、同一構架所屬二輪對軸距之一半。對式(18)進行位移變分，得

前構架與第1輪對之間的彈簧剛度矩陣和第1輪軌接觸對的彈簧剛度矩陣可按類似方法獲得。

仿照上述方法，根據位移參數在矩陣中的位置，可以組裝車輛系統(tǒng)的總剛度矩陣。質量矩陣與阻尼矩陣的形成與此類似。

2.2.3 軌道系統(tǒng)矩陣

取2個扣件之間的軌段為軌道系統(tǒng)的1個有限單元，若不考慮軌道板與軌道板之間的縫隙，則無論多長的軌道系統(tǒng)矩陣，均可以基于此有限單元的質量、剛度、阻尼矩陣快速組裝形成整個軌道系統(tǒng)的動力矩陣。

由于考慮輪軌之間的時變接觸剛度，在整個數值積分計算過程中，車/軌系統(tǒng)矩陣是非線性變化的，此時，有限單元劃分長度需要滿足一定的精細化要求，否則將得不到正確的計算結果。

梁單元彎曲形函數采用Hermitian三次插值函數，梁單元內任意一點的豎向位移都可以通過節(jié)點的豎向位移和轉角位移表示：

軌道系統(tǒng)矩陣的形成見文獻[18?19]。

2.2.4 車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)的耦合

與文獻[1]中每一步顯示求解輪軌力的方法不同，本文的車輛系統(tǒng)與軌道系統(tǒng)的垂向耦合通過輪/軌之間的時變剛度系數分配的方法實現。通過對第1~4輪軌接觸彈簧變形能的位移變分，可獲得輪軌之間彈簧剛度矩陣。如第1輪軌接觸對的彈性變形能變分為

經過重分配后的第1輪軌接觸剛度矩陣為

通過式(23)~(25)實現了輪對垂向振動位移、輪對所在的鋼軌接觸單元節(jié)點位移及輪/軌接觸點的軌道不平順等位移參數的銜接。其余3個輪/軌接觸對的剛度矩陣可按類似方法獲得。這樣，便解決了車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)的垂向耦合問題。

需要注意的是：式(26)并非最終的車輛?軌道耦合振動方程，因為耦合系統(tǒng)的剛度矩陣中含有非獨立位移參數的彈性變形能，如式(17)中的后8個振動位移參數。應將軌道不平順實測或反演值代入式(26)，形成車輛?軌道系統(tǒng)的內部激勵，然后劃去非獨立矩陣方程，形成最終的耦合振動方程，其具體原理見文獻[2]。本文采用wilson?法求解此振動方程，積分步長為0.05 ms。

采用較小的積分步長及輪軌密貼的方法，相當于給定了輪軌之間的約束條件，在較大的時間步長(如0.001~0.010 s)[2?3]時也能得到收斂解。而采用輪軌時變接觸剛度完全模擬輪軌之間的自然接觸狀態(tài)，在時域數值積分時，每一積分步內所有的力素是不變的，而實際上此步長內的輪軌力是非線性變化的，時間步長越長，與實際的輪軌接觸狀態(tài)差別越大。通過仿真計算，認為采用輪軌時變接觸剛度時，積分時間0.05 ms較合理。

3 模型驗證結果與計算結果比較

3.1 脈沖型短波不平順激勵

為驗證基于輪軌接觸時變剛度系數的車輛?軌道耦合振動分析模型的正確性，采用與文獻[18]中相同的計算條件，以長鋼軌焊接區(qū)軌面短波不平順(短波波長為0.1 m，長波和短波波幅分別為0.3 mm和0.2 mm)為軌道不平順激勵波形，見圖3。跟蹤計算第1輪對及其對應軌道結構的動力響應時程(如輪軌垂向作用力、鋼軌加速度、軌道板加速度和鋼軌位移等)，計算結果見圖4。

圖3 鋼軌焊接區(qū)軌面短波不平順激勵波形

從圖4及文獻[21]中計算結果可知：本文計算所獲得的輪軌作用力、鋼軌加速度響應波幅及鋼軌位移響應波形幾乎一致，但軌道板振動加速度及鋼軌位移響應幅值與文獻[21]中結果存在較大差別，這與本文有限元模型劃分精度及積分步長有一定的關系?？偟膩碚f，本文的計算模型是正確的。

同時，比較本文模型與輪軌密貼模型的計算結果(圖5，積分步長0.5 ms)可知輪軌密貼模型的計算結果與文獻[21]中結果和本文模型計算結果均存在較大差異，其輪軌作用力產生的振動響應遠比輪軌彈性接觸模型的的振動響應大。其原因在于輪軌密貼是一種輪軌剛性接觸的處理方法。同時，由式(3)~(5)所示的輪軌約束方程可知，脈沖型短波不平順的附加速度及加速度(見圖6)對輪軌之間的相互作用產生很大的影響，而實際的輪軌彈性接觸狀態(tài)能極大地弱化這種作用。雖然輪軌密貼模型計算結果表明存在跳軌現象，但其跳軌持續(xù)時間及響應幅值沒有得到正確反映。

3.2 軌道隨機不平順中波和長波激勵

這里仍然采用與3.1節(jié)中相同的系統(tǒng)動力參數。通過統(tǒng)計、歸納武廣高速鐵路2013年近9月的軌道高低不平順譜，采用逆傅里葉變換方法[22]，反演獲得軌道高低隨機不平順，波長范圍為1~60 m，可作為中波和長波不平順激勵源，見圖7。2種模型的積分時間均取為0.05 ms。

(a) 輪軌作用力響應；(b) 鋼軌加速度響應；(c) 軌道板加速度響應；(d) 鋼軌位移響應

(a) 輪軌作用力響應；(b) 鋼軌加速度響應；(c) 軌道板加速度響應；(d) 鋼軌位移響應

圖6 脈沖短波不平順的附加加速度

圖7 軌道高低不平順波形

3.2.1 車輛系統(tǒng)振動響應

車體和前構架的振動位移及振動加速度計算波形及幅值見圖8。由于輪軌時變接觸剛度系數模型和輪軌密貼模型對輪對位移參數的考慮完全不同，這里不進行不同車輛振動系統(tǒng)之間的比較。

從圖8可知：2種模型在中、長波不平順激勵下產生的車輛系統(tǒng)振動響應基本一致。這說明在鐵路線路狀態(tài)較緩和、無短波高頻激勵時，輪軌的彈性或剛性接觸對車輛系統(tǒng)的振動響應影響不大。

3.2.2 軌道系統(tǒng)振動響應

某里程處鋼軌及軌道板單元中點的振動位移及加速度響應波形與幅值比較見圖9。

從圖9可知：2種模型獲得的軌道系統(tǒng)計算結果相差不大。但作為輪軌系統(tǒng)的直接接觸單元，輪軌密貼模型的鋼軌位移及加速度響應比輪軌彈性接觸模型的稍大。

3.2.3 輪軌力響應

輪軌力是車輛?軌道系統(tǒng)振動特征最顯著和最直接的表達參數，這里對2種模型第1輪對的輪軌力時域及頻域特征進行比較分析，見圖10。

從圖10可知：2種模型的頻率特征分布基本一致；在輪軌力的時域分布上，輪軌時變剛度模型的輪軌力基本在輪對軸重附近波動；但由式(6)~(9)計算獲得的輪軌密貼模型輪軌力的整體波動均值比輪軌時變剛度系數模型的大(這與鋼軌振動響應較大的計算結果一致)，改變積分步長及運行速度，仍得到類似結果，并且運行速度越快，積分步長越短，這種差別越明顯。

(a) 車體振動位移；(b) 前構架振動位移；(c) 車體振動加速度；(d) 前構架振動加速度

(a) 鋼軌中點振動位移；(b) 軌道板振動位移；(c) 鋼軌中點振動加速度；(d) 軌道板振動加速度

(a) 輪軌力； (b) 輪軌力頻譜幅值

需要指出的是：基于達朗貝爾原理，采用式(6)~(9)計算輪軌力是正確的。本文采用輪軌時變接觸剛度模型，根據每一積分步獲得的車輛系統(tǒng)振動響應用式(6)~(9)計算相應的輪軌力，并與按赫茲接觸理論計算結果進行比較，見圖11。

從圖11可知：基于赫茲接觸理論和基于達朗貝爾原理的輪軌力計算值基本一致，由此表明式(6)~(9)用于輪軌力計算的正確性。另一方面，圖11所示計算結果表明了力學原理的統(tǒng)一性，無論輪軌之間的相互作用多么復雜，若單獨隔離車輛系統(tǒng)或軌道系統(tǒng)，則在某一瞬時，它必定處在動力平衡狀態(tài)。文獻[2]采用達朗貝爾原理計算的輪軸橫向搖擺力與實測結果接近，說明車輛?軌道系統(tǒng)的垂向、橫向振動均滿足這一基本原理。

(a) 第1輪對輪軌力時程；(b) 第3輪軌輪軌力時程

4 結論

1) 對于輪軌非線性接觸問題，采用“局部線性?整體非線性”的方法是可行的，解決了輪軌接觸位移函數的選取問題，便于用能量變分法建立統(tǒng)一的車輛?軌道耦合振動方程。

2) 取輪軌相互作用力為內力，軌道(橋梁)的邊界條件為車?軌(橋)系統(tǒng)的邊界條件。將輪軌力“隱式”處理為輪軌時變接觸剛度系數的動力分析方法是可行的。

3) 輪軌時變剛度模型與輪軌密貼模型在中、長波不平順激勵下，產生的系統(tǒng)動力響應基本一致，但當輪軌密貼模型在積分步長較小時，其剛性接觸的假設將逐漸脫離輪軌實際的彈性接觸狀態(tài)，并且動力響應較大。

4) 輪軌密貼模型中所采用輪軌剛性接觸方法不適合線路短波不平順激勵工況。

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(編輯 陳燦華)

Vehicle-track system vertical vibration analysis based on wheel-railtime-varying contact stiffness

HE Tianlong1, 2, CHEN Xianmai1, 2, XU Lei3

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Changsha 410075, China;3. Track Power State Key Laboratory, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

A vertical and unified equation of the vehicle-track system was established with finite element theory and energy variation method, and wheel-rail time-varying contact stiffness replaced wheel-track nonlinear contact force on dynamic effects to simulate the natural contact between wheel and rail. The validity of the model was verified by inputting the long and medium-wave irregularity of track and pulsed shortwave in this model and the dynamic response was calculated. The tight contact model between wheel and rail, which was popular in China was compared and analyzed.The results show that analyzing dynamic response of the vehicle-track system at the tight contact model for the long and medium-wave irregularity of track is feasible. However, the rigid method between wheel and track will amplify the incentive effect of shortwave for the shortwave irregularity of track, the treatment method about jumping rail should be improved.

vehicle-track coupling system; time-varying contact stiffness; vertical vibration; energy variation method; unified equation

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.08.023

U213.2；U211.5

A

1672?7207(2017)08?2142?10

2016?08?23；

2016?10?22

國家自然科學基金資助項目(51478482)；中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計劃項目(Z2013-G006)；武漢鐵路局科技發(fā)展計劃項目(13G04)(Project(51478482) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(Z2013-G006) supported by the Science and Technology Research and Development of China Railway Corporation; Project(13G04) supported by the Science and Technology Development Plan of Wuhan Railway Administration)

陳憲麥，副教授，從事軌道動力學、線路評估及養(yǎng)護維修等研究；E-mail：xianmaichen@aliyun.com