李東升，陳春曉，王章立，楊俊豪

（南京航空航天大學生物醫(yī)學工程系，南京 211106）

1 引 言

圖像復原是利用圖像處理的知識，從降質(zhì)圖像恢復得到接近真實圖像的方法。圖像復原的優(yōu)劣在一定程度上影響后續(xù)圖像的處理和分析［1］。因此，圖像復原在醫(yī)學影像、天文觀測、刑事偵查等領域有廣泛的應用。

常用的圖像復原方法有維納濾波、最小二乘法、最大似然估計等。其中維納濾波器是基于最小均方差準則的復原方法，可以使逆濾波和噪聲平滑過程中的均方差最小化，適用于抑制加性或乘性噪聲［2］。維納濾波將退化圖像與噪聲統(tǒng)計特性一并納入復原過程，因而可以在消除加性噪聲的同時恢復模糊圖像［3］。作為一種經(jīng)典的復原算法，維納濾波也在不斷地被改進。Lahmiri等提出了混合維納和偏微分方程濾波方法，在圖像復原中取得了良好的結(jié)果［4］；Aouinti等將遺傳算法應用到迭代維納濾波器中，提出了可迭代的維納濾波方法［5］；張紅民、陳新平等使用局部方差替代維納濾波中固定的K值，提出了自適應變參數(shù)維納濾波方法［6-7］；劉曉輝等使用噪聲方差代替維納濾波中的噪聲功率，對退化圖像進行二次維納濾波，獲得了較好的處理效果［8］。然而以上算法仍存在不穩(wěn)定、易失真的問題，本研究提出了基于全局方差和誤差估計的維納濾波方法。實驗證明，該方法可以保持圖像復原過程的穩(wěn)定性，通過設置合適的修正參數(shù)可以獲得較高質(zhì)量的復原結(jié)果。

2 維納濾波

圖像在傳輸過程中受到噪聲等因素的干擾，會導致圖像退化失真，圖像退化過程可表示為：

其中，f表示未退化的清晰圖像，h表示觀測系統(tǒng)的點擴散函數(shù)，n表示圖像獲取過程中的噪聲，g為降質(zhì)退化圖像。圖像復原即根據(jù)已知條件通過一定方法獲得未退化清晰圖像。將公式（1）變換到頻域，圖像退化模型轉(zhuǎn)化為：

其中 G（u，v）、F（u，v）、H（u，v）、N（u，v）分別為g（x，y）、f（x，y）、h（x，y）、n（x，y）的傅里葉變換。若忽略噪聲的影響，可進一步得到：

因此，通過構(gòu)造一個理想的濾波器W（u，v）與已知的退化圖像頻譜G（u，v）點乘，可以得到理想的原圖像頻譜F（u，v），進而恢復原圖像：

然而，由于使圖像模糊的系統(tǒng)點擴散函數(shù)往往是一個低通濾波器，其在高頻部分的值很小，甚至接近于零，造成其倒數(shù)在高頻部分的值過大，這種逆濾波器會過分放大圖像的細節(jié)，容易造成復原結(jié)果失真［1］，不能有效地復原圖像。為解決這一問題，工程上常在公式（4）的分母上加入一個合適的正則項r，則濾波器的表達式可以寫成：

其中，H*（u，v）是 H（u，v）的共軛。對于公式（5），當H較大時，正則項r幾乎不起作用，濾波器近似于理想的逆濾波器；當H較小時，由于r的存在濾波器對高頻部分過分放大的作用將會受到抑制，保證復原結(jié)果不會失真。

維納濾波的目的是使原始清晰圖像f（x，y）與復原得到的估計圖像（x，y）之間的均方差最小，即滿足：

其中E［·］代表數(shù)學期望算子。求解方程（6），可得：

其中 Pn（u，v）為噪聲功率，Pf（u，v）為原始清晰圖像功率。W（u，v）即為維納濾波器的傳遞函數(shù)。然而在實際工程中，原始清晰圖像和噪聲類型往往未知，因此常使用公式（8）來近似維納濾波器的傳遞函數(shù)：

其中K是一個合適大小的常數(shù)。對于不同圖像，常數(shù)K的選取需要根據(jù)實驗決定，不能夠充分利用圖像信息，難以得到理想的復原結(jié)果，這種方法通常只適合在圖像要求不高的情況下使用［9］。針對該問題，可以使用頻域矩陣K（u，v）或空域矩陣K（x，y）來代替常數(shù)K，以獲得自適應的參數(shù)，代替固定的 K值［10］。

因此，如何利用先驗知識獲得原始清晰圖像和噪聲的估計成為重要的研究內(nèi)容。劉曉輝等人提出了改進的二次維納濾波方法［8］。該方法利用公式（8）對退化圖像進行第一次復原，獲得原始清晰圖像功率譜Pf（u，v）的近似估計，進而利用第一次維納濾波前后兩幅圖像的差值得到噪聲的估計。

實驗表明，在高信噪比下，該方法可以獲得細節(jié)豐富的圖像，但低信噪比下往往會產(chǎn)生失真。針對上述問題，本研究提出了一種基于全局方差和噪聲估計的維納濾波新方法。

3 基于全局方差和誤差估計的維納濾波

針對文獻［8］中的方法在低信噪比情況下復原效果差的問題，本研究將噪聲功率譜引入維納濾波算法，以增強算法穩(wěn)定性，并結(jié)合全局方差，對維納濾波方法進行了如下改進：

實際工程中，噪聲的估計可分為基于塊和濾波的兩類方法［11］。本研究使用3×3的均值濾波算子對退化圖像進行平滑，并將處理前后圖片的差值作為噪聲的估計。由于全局方差在強噪聲時數(shù)值較小，不能很好地起到修正的作用。本研究引入修正參數(shù)γ來獲得更好的修正能力。選取γ＝min（M，N），其中M，N為圖片的長度與寬度。

4 實驗結(jié)果和分析

選取Lenna圖像進行實驗，采用模糊核尺寸為，標準差為3的高斯型點擴散函數(shù)，對圖像進行模糊，并分別加入方差為 10-i，i＝2，4，6，8，10的高斯型噪聲。使用文獻［6-7］中固定K值的維納濾波方法（K＝0.1），文獻［8］提出的改進的二次維納濾波方法，與本研究提出的方法對模糊加噪圖像進行復原，復原結(jié)果見圖1。

圖1 模糊加噪圖像及其復原結(jié)果。（a1）-（a5）：噪聲方差分別為10-i；i＝2，4，6，8，10的模糊加噪圖像，（b1）-（b5）：固定 K值維納濾波復原結(jié)果；（c1）-（c5）：改進的二次維納濾波復原結(jié)果；（d1）-（d5）：本研究提出方法復原結(jié)果Fig 1 Blurred and degraded images and results of recovery.（a1）-（a5）：Blurred and degraded images corrupted by noises with variances 10-i，i＝2，4，6，8，10；（b1）-（b5）：The recovery results of Wiener filter with fixed K；（c1）-（c5）：The recovery results of improved Wiener filter；（d1）-（d5）：The recovery results of method proposed in this article

為了客觀地評價圖像復原的質(zhì)量，本研究使用三個指標對圖像復原結(jié)果進行評價，即峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR），均方誤差（mean square error，MSE）和結(jié)構(gòu)相似性（structural similarity index，SSIM）。其中 PSNR越大、MSE越小，表示圖像復原質(zhì)量越好，SSIM的數(shù)值越接近1，表示兩幅圖像相似度越高。表1給出了各種方法進行圖像復原后的性能指標。

從圖1及表1可以看出，在強噪聲下，本研究提出的方法明顯優(yōu)于固定K值和文獻［8］提出的改進二次維納濾波算法。在噪聲較弱時，本研究提出的算法復原能力與文獻提出的改進二維維納濾波方法差別不大。此外，實驗發(fā)現(xiàn)，由于噪聲估計方法能力有限，隨著噪聲強度減弱該方法對噪聲方差的估計結(jié)果最終趨于某定值。因此在弱噪聲情況下，使用γ＝min（M，N）作為修正參數(shù)時，如果γ數(shù)值過大，會導致復原圖像質(zhì)量下降，此時作為補充，可考慮使用γ＝1作為修正參數(shù)，以獲得較小的數(shù)值。圖2給出了模糊核尺寸為10×10，標準差為3的高斯型點擴散函數(shù)模糊圖像后，分別加入方差為10-i，i＝2，4，6，8，10的高斯噪聲的情況下，使用 γ＝min（M，N）和γ＝1兩種方法復原圖像的結(jié)果。從表2可以看出，當噪聲強時，使用γ＝min（M，N）作為修正參數(shù)復原結(jié)果很好，而在噪聲較弱時，為獲得更多的圖像細節(jié)信息，取γ＝1時，圖像復原的質(zhì)量更好。

圖2 改變值圖像復原結(jié)果。其中（a1）-（a5）：取 γ＝min（M，N），噪聲方差分別為10-i，i＝2，4，6，8，10圖像復原的結(jié)果；（b1）-（b5）：取 γ＝1，噪聲方差分別為10-i，i＝2，4，6，8，10圖像復原的結(jié)果Fig 2 The recovery results by changing the value of.（a1）-（a5）：The recovery results of images corrupted by noises with variances10-i，i＝2，4，6，8，10 whenγ＝min（M，N）；（b1）-（b5）：The recovery results of images corrupted by noises with variances10-i，i＝2，4，6，8，10 whenγ＝1.

表1 模糊加噪圖像復原結(jié)果的性能指標Table 1 The performances of recovery results of the blurred and degraded images

表2 模糊加噪圖像復原結(jié)果的性能指標Table 2 The performances of recovery results of the blurred and degraded images

根據(jù)Lenna圖像的復原結(jié)果及性能指標對比，可以看出，根據(jù)噪聲強弱程度調(diào)整修正參數(shù)γ，算法對圖像的復原能力優(yōu)于固定K值的維納濾波算法和文獻中提出的二次維納濾波算法。此外，當工程上獲得的圖片受噪聲干擾嚴重時，可選用γ＝min（M，N）作為修正參數(shù)對圖像進行復原；而當圖像受噪聲干擾較弱時，可使用γ＝1作為修正量對圖像進行復原處理。利用本研究提出的方法對實驗中獲得的顯微切片圖像進行復原，復原結(jié)果見圖3。從圖3中分別利用修正參數(shù)為γ＝min（M，N）和γ＝1的本研究方法對顯微切片圖像進行復原，進一步驗證，根據(jù)圖像中的噪聲強度調(diào)節(jié)參數(shù)γ可以更好地提高圖像復原的質(zhì)量，恢復圖像原本的細節(jié)信息。

圖3 病理切片圖像復原。其中，（a1）強噪聲病理切片圖像，（b1）γ＝min（M，N）時（a1）的復原結(jié)果，（c1）γ＝1時（a1）的復原結(jié)果；（a2）弱噪聲病理切片圖像，（b2）γ＝min（M，N）時（a2）的復原結(jié)果，（c2）γ＝1時（a2）的復原結(jié)果。Fig 3 The recovery results of pathological images.（a1）Pathological section with strong noise；（b1）The recovery results of（a1）when（b1）γ＝min（M，N）；（a2）Pathological section with week noise；（b1）The recovery results of（a1）whenγ＝1

5 結(jié)論

本研究充分利用已知圖像的先驗知識，結(jié)合噪聲估計及全局方差，對維納濾波的圖像復原方法進行了改進。實驗表明，本研究提出的算法復原質(zhì)量較高，性能穩(wěn)定，抗噪能力強，失真小，在圖像復原方面具有一定的實用價值。