李志林，劉啟亮，唐建波

1. 香港理工大學(xué)土地測(cè)量與地理資訊學(xué)系，香港 九龍； 2. 中南大學(xué)地理信息系，湖南 長(zhǎng)沙 410083； 3. 西南交通大學(xué)高鐵運(yùn)營(yíng)安全空間信息技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756

尺度驅(qū)動(dòng)的空間聚類理論

李志林1,3，劉啟亮1,2，唐建波2

1. 香港理工大學(xué)土地測(cè)量與地理資訊學(xué)系，香港 九龍； 2. 中南大學(xué)地理信息系，湖南 長(zhǎng)沙 410083； 3. 西南交通大學(xué)高鐵運(yùn)營(yíng)安全空間信息技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756

空間聚類是探索性空間數(shù)據(jù)分析的有力手段，不僅可以直接用于發(fā)現(xiàn)地理現(xiàn)象的分布格局與分布特征，亦可以為其他空間數(shù)據(jù)分析任務(wù)提供重要的預(yù)處理步驟?？臻g聚類有望成為大數(shù)據(jù)認(rèn)知的突破口?？臻g聚類研究雖然已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注，但是依然面臨兩大最根本的困境：“無(wú)中生有”和“無(wú)從理解”?！盁o(wú)中生有”指的是：絕大多數(shù)方法，即使針對(duì)不包含聚類結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)集，仍然會(huì)發(fā)現(xiàn)聚類；“無(wú)從理解”指的是：即使同一種聚類方法，采用不同的聚類參數(shù)就會(huì)獲得千變?nèi)f化的聚類結(jié)果，而這些結(jié)果的含義不明確。造成上述困境的根本原因在于：尺度沒(méi)有在聚類模型中被當(dāng)作重要參數(shù)而恰當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)。為此，筆者受到人類視覺(jué)多尺度認(rèn)知原理的啟發(fā)，根據(jù)多尺度表達(dá)的“自然法則”，建立了一套尺度驅(qū)動(dòng)的空間聚類理論。首先將尺度定量化建模為聚類模型的參數(shù)，然后將空間聚類的尺度依賴性建模為一種假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，最后通過(guò)控制尺度參數(shù)以自動(dòng)獲得統(tǒng)計(jì)顯著的多尺度聚類結(jié)果。在該理論指導(dǎo)下，可以構(gòu)建適用不同應(yīng)用需求的多尺度空間聚類模型，一方面降低了空間聚類過(guò)程中的主觀性，另一方面有利于對(duì)空間聚類模式進(jìn)行全面而深入的分析。

空間聚類；尺度；自然法則；視覺(jué)認(rèn)知；假設(shè)檢驗(yàn)

空間聚類是描述地理現(xiàn)象空間依賴性的重要手段?？臻g依賴性是地理現(xiàn)象的內(nèi)蘊(yùn)特征，其表現(xiàn)為鄰近空間數(shù)據(jù)間通常表現(xiàn)出較強(qiáng)的相似性[1]?？臻g依賴性的刻畫(huà)對(duì)于研究地理現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理、分布規(guī)律及發(fā)展變化趨勢(shì)具有重要的價(jià)值[2]。

空間聚類的核心目的在于依據(jù)空間數(shù)據(jù)間的相似性將空間數(shù)據(jù)劃分為一系列的空間簇，使得相同簇內(nèi)空間實(shí)體相似性盡可能高，而不同簇間空間實(shí)體的差異性盡可能大[3-4]?？臻g聚類在地學(xué)領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值，已經(jīng)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，以“空間聚類”為主題的SCI/SSCI論文數(shù)目在直線上升(圖1)。

空間聚類可以單獨(dú)作為一種空間依賴性的探索性數(shù)據(jù)分析工具。例如，在公共衛(wèi)生領(lǐng)域，空間聚類已經(jīng)被廣泛用于疾病暴發(fā)模式識(shí)別[5]；在犯罪學(xué)領(lǐng)域，空間分析已經(jīng)成為犯罪熱點(diǎn)探測(cè)的主要工具[6]；在氣候?qū)W領(lǐng)域，空間聚類是氣候帶識(shí)別的有力手段[7]；在地質(zhì)學(xué)領(lǐng)域，空間聚類已經(jīng)被成功應(yīng)用于地震分布規(guī)律的探測(cè)[8]；在生態(tài)學(xué)領(lǐng)域，空間聚類也是生態(tài)區(qū)域劃分與景觀模式識(shí)別的重要工具[9]。

空間聚類對(duì)空間依賴性的描述也可以作為其他空間數(shù)據(jù)分析任務(wù)的主要預(yù)處理步驟。例如，對(duì)于面向?qū)ο蟮母叻直媛蔬b感影像分割分類，空間聚類是對(duì)象生成的主要手段[10]；稀有事件(如癌癥)分析領(lǐng)域，空間聚類是解決小樣本問(wèn)題(small population problem)的有效工具[11]；在制圖自動(dòng)綜合研究中，空間聚類已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于群組識(shí)別[12]；在地理可視化等方面，空間聚類可以有效降低空間數(shù)據(jù)冗余[13]；在時(shí)空預(yù)測(cè)建模等方面，空間聚類也是處理空間異質(zhì)性的一種有效途徑[14]。

伴隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，空間聚類同樣是從大數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)價(jià)值必須面對(duì)的一個(gè)普遍性和基礎(chǔ)性的問(wèn)題，有望成為大數(shù)據(jù)認(rèn)知的突破口[15]。目前，空間聚類已近成為空間統(tǒng)計(jì)、空間數(shù)據(jù)挖掘、圖像模式識(shí)別等多個(gè)領(lǐng)域研究的核心研究?jī)?nèi)容，并已經(jīng)取得了一些代表性的研究成果。然而，由于空間聚類的尺度依賴特征建模能力的不足，導(dǎo)致聚類結(jié)果“無(wú)中生有”、“無(wú)從理解”的困境，已經(jīng)成為制約當(dāng)前空間聚類理論研究與實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵瓶頸問(wèn)題。為此，本文旨在模擬人類視覺(jué)多尺度認(rèn)知原理及多尺度表達(dá)的“自然法則”，建立了一套尺度驅(qū)動(dòng)的空間聚類理論，構(gòu)建適用不同應(yīng)用需求的多尺度空間聚類模型。

1 空間聚類的發(fā)展：研究進(jìn)展與方法形成

1.1 空間聚類研究的發(fā)展回顧

聚類是人類認(rèn)知自然最基本與最有效的技能之一，長(zhǎng)期以來(lái)聚類的思想一直以一種經(jīng)驗(yàn)的形式指導(dǎo)人類實(shí)踐。1939年，文獻(xiàn)[16]首次采用聚類的思想從相關(guān)矩陣中提取互相關(guān)的組，標(biāo)志著聚類作為專門研究學(xué)科的建立。隨后，聚類技術(shù)得到了迅速發(fā)展，一些沿用至今的經(jīng)典聚類方法(如k-means)在20世紀(jì)50、60年代被相繼提出[17]。自20世紀(jì)70、80年代以來(lái)，伴隨著空間數(shù)據(jù)采集與管理能力的突破性進(jìn)展，專門針對(duì)空間數(shù)據(jù)的空間聚類研究成為聚類研究的熱點(diǎn)?，F(xiàn)有空間聚類算法一類是直接移植于聚類早期的研究成果，如空間點(diǎn)事件的聚類問(wèn)題可以視為一種二維聚類問(wèn)題；另一類方法是依據(jù)空間數(shù)據(jù)的獨(dú)特性質(zhì)(如空間自相關(guān)、空間異質(zhì)性等)而對(duì)聚類研究成果的新發(fā)展，如自20世紀(jì)70年代，地理學(xué)與空間統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域便開(kāi)始了對(duì)空間聚類研究的探索，并發(fā)展了一些專門的空間聚類方法，如AZP(automated zoning procedure)[19]與地理分析機(jī)[20]等。到20世紀(jì)80年代，隨著空間數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的興起，空間聚類研究的關(guān)注度持續(xù)升溫，在理論方法與應(yīng)用研究方面均取得了重要的進(jìn)展[21]。下面將對(duì)空間聚類方法進(jìn)行梳理和分析。

1.2 空間聚類方法的形成

當(dāng)前，空間聚類算法的數(shù)目繁多，其主要原因有以下兩個(gè)：

1.2.1 空間簇的定義十分主觀[22-23]

在實(shí)際應(yīng)用中，3種類型空間簇的定義被廣為接受[24]：

(1) 基于中心的簇：即空間簇可以用其中心表示，且簇內(nèi)空間實(shí)體與簇的中心盡可能接近(或相似)，而盡可能遠(yuǎn)離(或異于)其他簇的中心，如圖2(a) 所示，基于中心的簇通常是近似球形的。

(2) 基于連接的簇：即空間簇是由鄰近(相似)的空間實(shí)體通過(guò)相互間的連接關(guān)系構(gòu)成的，如圖2(b) 所示，基于連接的簇形狀可能是不規(guī)則的。

(3) 基于密度的簇：即空間簇被定義為被低密度區(qū)域分隔的連通高密度區(qū)域，如圖2(c) 所示，基于密度的簇形狀可以是不規(guī)則的，且可以對(duì)簇和噪聲進(jìn)行區(qū)分。

圖2 空間簇的3種主要類型[24]Fig.2 Three types of spatial clusters [24]

1.2.2 不同類型的空間數(shù)據(jù)需要不同的聚類方法[25-26]

若不考慮空間數(shù)據(jù)本身的幾何形態(tài)，空間數(shù)據(jù)主要可以區(qū)分為4種類型[27-28]：

(1) 點(diǎn)事件：主要記錄了地理事件或空間設(shè)施的空間位置與時(shí)間標(biāo)簽，如犯罪事件、疾病病例、興趣點(diǎn)等，點(diǎn)事件構(gòu)成的簇一方面需要滿足點(diǎn)事件間空間或時(shí)空鄰近，同時(shí)簇的形態(tài)通常是不規(guī)則的且可能受到空間障礙(如河流、道路)的約束。

(2) 空間格數(shù)據(jù)：通常記錄了研究區(qū)域內(nèi)有限空間單元內(nèi)的計(jì)數(shù)值或平均度量值，如遙感影像數(shù)據(jù)、城市街區(qū)人口數(shù)據(jù)、區(qū)域疾病發(fā)病率等，空間格數(shù)據(jù)構(gòu)成的簇通常需要保證空間連續(xù)性。

(3) 地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：主要記錄了空間連續(xù)變量的點(diǎn)觀測(cè)值，如氣溫、降水、土壤重金屬含量等，地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的簇通常需要同時(shí)滿足專題屬性的相似性與時(shí)空鄰近性。

(4) 移動(dòng)軌跡：主要記錄了空間對(duì)象運(yùn)動(dòng)的位置、時(shí)間、狀態(tài)等信息，如人類活動(dòng)軌跡、動(dòng)物遷徙軌跡及車輛運(yùn)行軌跡等，軌跡數(shù)據(jù)構(gòu)成的簇需要滿足時(shí)空連續(xù)性的約束。

基于上述3種空間簇類型的定義，空間聚類算法主要可以分為3類：①基于中心簇定義的劃分聚類方法；②基于連接簇定義的層次聚類方法；③基于密度簇定義的密度聚類方法。

1.3 空間聚類算法

針對(duì)不同空間數(shù)據(jù)類型，每類聚類方法也衍生出一系列的變種。下面將對(duì)上述3類空間聚類算法作簡(jiǎn)要評(píng)述。

1.3.1 劃分聚類算法

其核心步驟在于通過(guò)不斷優(yōu)化基于簇內(nèi)距離定義的目標(biāo)函數(shù)，將空間數(shù)據(jù)劃分為給定數(shù)目的空間簇。k-means是最為典型的劃分聚類方法[29]，為了提高k-means的穩(wěn)健性與效率，一些改進(jìn)的方法被相繼提出，如ISODATA[30]、k-mediods[31]、FCM[32]、CLARANS[33]等。上述方法僅能直接應(yīng)用于空間點(diǎn)的聚類問(wèn)題，為了同時(shí)考慮空間鄰近與專題屬性相似性，一些劃分聚類的方法通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中添加空間懲罰算子來(lái)保證簇內(nèi)的空間一致性[34-35]；針對(duì)空間格數(shù)據(jù)聚類問(wèn)題，Openshaw同時(shí)考慮空間連通約束與簇內(nèi)均質(zhì)性構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，提出了一種AZP方法[19]，后續(xù)一些研究對(duì)AZP方法容易陷入局部最優(yōu)[36]、初始簇?cái)?shù)設(shè)定[37]等問(wèn)題進(jìn)行了一系列的改進(jìn)。

20世紀(jì)80年代以來(lái)，伴隨著人工智能的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法也被引入空間聚類，其中常用的SOM方法[38-39]實(shí)際上可以視為k-means的一種變種，但是其聚類的穩(wěn)定性和質(zhì)量得到提高，同時(shí)提供了聚類可視化的重要途徑。近年來(lái)，SOM方法同樣被拓展應(yīng)用于空間格數(shù)據(jù)與地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，代表性方法有GeoSOM[40]、HSOM[41]等。

1.3.2 層次聚類算法

層次聚類算法的核心內(nèi)容在于定義簇間距離，不斷凝聚或分裂獲得指定數(shù)目的空間簇。常用的簇間距離定義方法包括最近距離(單連接算法)、最遠(yuǎn)距離(全連接算法)、平均距離(平均連接算法)、最小方差距離(沃德法)等[31]。為了降低噪聲點(diǎn)干擾，CURE等方法也通過(guò)選取簇內(nèi)部分代表點(diǎn)的方法計(jì)算簇間距離[42]。

另一些方法也借助圖的邊長(zhǎng)來(lái)定義簇間的距離，通過(guò)合并短邊連接的空間實(shí)體或刪除長(zhǎng)邊連接的空間實(shí)體進(jìn)行層次聚類[43]，常用的圖包括最小生成樹(shù)[44-45]、K最近鄰圖[46]、Delaunay三角網(wǎng)[47-48]等。為了在層次聚類過(guò)程中考慮空間的連續(xù)性，可以直接在計(jì)算簇間距離時(shí)加入空間約束，即只計(jì)算空間鄰近實(shí)體間的距離[49-50]。為了能夠在層次聚類過(guò)程中動(dòng)態(tài)優(yōu)化聚類結(jié)果，一些方法進(jìn)一步在空間約束層次聚類結(jié)果的基礎(chǔ)上構(gòu)造基于簇內(nèi)均質(zhì)性的目標(biāo)函數(shù)，將層次聚類樹(shù)分割為指定數(shù)目空間簇[51-52]。

1.3.3 密度聚類算法

密度聚類算法的核心目的在于發(fā)現(xiàn)空間實(shí)體聚集的高密度區(qū)域。早期的一些方法采用掃描窗口在空間或時(shí)空域上進(jìn)行滑動(dòng)，旨在發(fā)現(xiàn)窗口內(nèi)實(shí)體數(shù)量或計(jì)數(shù)顯著高于窗口外的高密度窗口，代表性方法有地理分析機(jī)[20]與掃描統(tǒng)計(jì)量[53]。這類方法難以準(zhǔn)確描述空間簇的形態(tài)，雖然一些方法能夠發(fā)現(xiàn)不規(guī)則形狀的簇，但是計(jì)算效率過(guò)低[54-55]，且多僅能處理空間格數(shù)據(jù)[56]。

堤頂高程9.36～11.12m，平均高程不足10.5m。土體主要為粉土、砂壤土，土質(zhì)不均；干密度1.34～1.55g/cm3，密度偏小。黏粒含量0.3%～9.4%，塑性指數(shù)5.8～7.4， 垂向滲透系數(shù)多在1.4×10-4～1×10-3cm/s，各項(xiàng)指標(biāo)不滿足規(guī)程要求。建議對(duì)上述范圍堤身進(jìn)行必要的防滲和密實(shí)處理。

為了克服上述問(wèn)題，以DBSCAN[57]為代表的一系列方法首先對(duì)空間實(shí)體局部密度進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而將空間連續(xù)的高密度空間實(shí)體連接成簇，可以高效發(fā)現(xiàn)不同形狀的空間簇。在DBSCAN的基礎(chǔ)上后續(xù)改進(jìn)工作主要集中于兩方面：一類方法旨在克服DBSCAN難以發(fā)現(xiàn)密度差異較大空間簇的不足，代表方法有OPTICS[58]、SNN[59]、ADBSC[60]、DECODE[61]等方法；另一類，將DBSCAN方法拓展應(yīng)用于不同類型的空間數(shù)據(jù)，例如針對(duì)時(shí)空點(diǎn)事件聚類的WNN[62]、STSNN[63]，可以聚類空間格數(shù)據(jù)的GDBSCAN[64]、針對(duì)地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的ST-DBSCAN[65]、DBSC[66]以及一系列移動(dòng)軌跡聚類方法[67-69]。

2 空間聚類的瓶頸問(wèn)題：尺度依賴

2.1 空間聚類研究的兩大困惑

雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)空間聚類開(kāi)展了持續(xù)的研究，并且已經(jīng)取得了部分代表性的成果，但是空間聚類在實(shí)際應(yīng)用中依然面臨兩大困境：

2.1.1 無(wú)中生有問(wèn)題

絕大多數(shù)方法即使針對(duì)不包含聚類結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)集，仍然會(huì)發(fā)現(xiàn)聚類。如圖3所示，針對(duì)一個(gè)不包含聚類結(jié)果隨機(jī)點(diǎn)事件數(shù)據(jù)集，當(dāng)前3類空間聚類方法，即使是能區(qū)分噪聲的密度聚類方法仍然發(fā)現(xiàn)了空間簇，顯然這些聚類結(jié)果是無(wú)效的。

圖3 隨機(jī)點(diǎn)事件聚類結(jié)果Fig.3 Clusters discovered from random spatial points

2.1.2 無(wú)從理解問(wèn)題

即使同一種聚類方法，采用不同的聚類參數(shù)依然會(huì)獲得千變?nèi)f化的聚類結(jié)果。如圖4所示，針對(duì)同一點(diǎn)事件數(shù)據(jù)集，DBSCAN算法在不同參數(shù)下得到的聚類結(jié)果差異極大，在實(shí)際應(yīng)用中很難對(duì)這些聚類結(jié)果進(jìn)行解釋。

分析上述兩個(gè)問(wèn)題的產(chǎn)生根源，是由于空間聚類結(jié)構(gòu)(即空間簇)的尺度依賴特性的直接作用。空間聚類結(jié)構(gòu)作為一種典型的空間模式，其在不同尺度上的表現(xiàn)形式必然存在差異[70-72]，這也就可以解釋為何一個(gè)數(shù)據(jù)集會(huì)得到不同的聚類結(jié)果；而空間數(shù)據(jù)固有的尺度信息決定了從空間數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)空間模式(或信息)的種類、數(shù)量與可靠性[73-74]，因此可以推斷空間聚類結(jié)果的可靠性或顯著性直接受到數(shù)據(jù)尺度的影響。

2.2 空間聚類的尺度問(wèn)題

依據(jù)Goodhild和Quattrochi對(duì)建模尺度依賴問(wèn)題的總結(jié)[81]，空間聚類的尺度依賴性建模需要系統(tǒng)地考慮以下5個(gè)相互關(guān)聯(lián)的主要問(wèn)題：

(1) 空間聚類尺度的參數(shù)化表達(dá)：尺度本身的含義就是模糊的、容易混淆的，不同的應(yīng)用領(lǐng)域、不同的分類準(zhǔn)則下，尺度分類和含義通常都存在差異[82]?？臻g聚類模型中，尺度如何量化為一系列的參數(shù)？

(2) 度量尺度的影響：如何度量尺度對(duì)空間聚類結(jié)果的影響？

(3) 控制尺度的改變：如何控制尺度參數(shù)的改變獲得多尺度的空間聚類結(jié)果？

(4) 構(gòu)造多尺度的空間聚類模型：如何構(gòu)建可執(zhí)行的通用框架進(jìn)行多尺度空間聚類？

(5) 尺度不變性：空間聚類結(jié)果的何種特征不隨尺度的改變而產(chǎn)生變化？

本文嘗試從人類視覺(jué)多尺度認(rèn)知的生理學(xué)原理出發(fā)，根據(jù)“自然法則”來(lái)解決上述問(wèn)題。

3 尺度驅(qū)動(dòng)的空間聚類理論

3.1 人類認(rèn)知多尺度聚類結(jié)構(gòu)的生理基礎(chǔ)

空間聚類是人類基本的認(rèn)知能力，空間簇的定義從根本上植根于人類的主觀認(rèn)識(shí)[18,83-84]。在二維或三維空間，人類視覺(jué)可以輕易地發(fā)現(xiàn)一些小樣本數(shù)據(jù)中的聚類結(jié)構(gòu)，模擬人類這種本能的“聚類”(如格式塔準(zhǔn)則)一直是空間聚類算法設(shè)計(jì)的核心指導(dǎo)思想[44,75]?？臻g聚類的尺度依賴問(wèn)題也是建立在人類視覺(jué)認(rèn)知的基礎(chǔ)之上：在不同觀測(cè)距離下發(fā)現(xiàn)空間簇的數(shù)目和詳細(xì)程度不同，觀測(cè)距離越遠(yuǎn)識(shí)別的空間簇?cái)?shù)目越少、結(jié)構(gòu)越模糊[77,85]。為了模擬人類這種多尺度聚類的能力，首先需要對(duì)這種認(rèn)知能力背后的生理學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行必要的認(rèn)識(shí)。得益于神經(jīng)科學(xué)與腦認(rèn)知領(lǐng)域的研究進(jìn)展[86-88]，目前對(duì)人類視覺(jué)認(rèn)知的生理結(jié)構(gòu)已經(jīng)有了初步的了解，如圖6所示。

圖6 人類視覺(jué)認(rèn)知(腹部通道)的生理結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖(改自文獻(xiàn)[87])Fig.6 The sketch map of human visual system (ventral stream) (modified based on [87])

人類視覺(jué)形成的兩個(gè)核心生理結(jié)構(gòu)是視網(wǎng)膜與視皮層，前者將光信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，并送達(dá)大腦，后者負(fù)責(zé)對(duì)這些電信號(hào)進(jìn)行處理最后形成視覺(jué)認(rèn)知。為了分析人類多尺度視覺(jué)認(rèn)知的原理，我們需要解釋3個(gè)問(wèn)題：①人們?cè)谝欢ㄓ^測(cè)距離上看到的是什么？②人們?cè)诓煌^測(cè)距離上看到的是什么？③視覺(jué)認(rèn)知是否有尺度不變性？

視網(wǎng)膜結(jié)構(gòu)可以類比于一架特殊的照相機(jī)，而視網(wǎng)膜上的感受野結(jié)構(gòu)猶如這架照相機(jī)的鏡頭[89]。視覺(jué)通路上不同階段上，視神經(jīng)連接的感受野尺寸不斷增大、結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，因此視網(wǎng)膜上包含了不同尺寸和結(jié)構(gòu)的感受野，猶如一架裝配有不同焦距鏡頭的照相機(jī)[90]。感受野的尺寸與觀測(cè)距離一起決定了視網(wǎng)膜成像的分辨率，在一定觀測(cè)距離上，感受野尺寸越小分辨率越高，感受野尺寸越大分辨率越低。因此，即使在一定觀測(cè)距離上，視網(wǎng)膜對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的采樣是一系列不同分辨率的圖像(即尺度空間)，而且對(duì)不同分辨率圖像的采樣沒(méi)有偏向性[91]。視皮層對(duì)這些不同分辨率的圖像進(jìn)行進(jìn)一步分析，形成最后的視覺(jué)認(rèn)知。進(jìn)一步，當(dāng)觀測(cè)距離不斷增大時(shí)，由于感受野本身尺寸的限制，視網(wǎng)膜采樣圖像的最高分辨率將不斷降低，因此通過(guò)視皮層分析獲得的認(rèn)知圖像也將不斷模糊[86]，這也是多尺度表達(dá)的“自然法則”的基本原理[92]。雖然人類的大腦輸入的是現(xiàn)實(shí)世界多尺度的表達(dá)，但是認(rèn)識(shí)系統(tǒng)具有識(shí)別尺度不變結(jié)構(gòu)的天然能力，其生理學(xué)基礎(chǔ)在于每種結(jié)構(gòu)均通過(guò)相應(yīng)尺寸感受野引起視皮層神經(jīng)元的興奮，而能夠使得較多神經(jīng)元興奮的結(jié)構(gòu)將更穩(wěn)定地被感知，這種尺度不變性的特性已經(jīng)在心理測(cè)試中被驗(yàn)證[93-94]。

通過(guò)上述分析，可以發(fā)現(xiàn)人類的多尺度聚類認(rèn)知過(guò)程受到兩個(gè)關(guān)鍵因素的影響：觀測(cè)距離與感受野尺寸。這二者在人類多尺度視覺(jué)認(rèn)知中的功能是指導(dǎo)空間聚類中尺度定義與尺度參數(shù)化表達(dá)的重要參考。

3.2 空間聚類中的尺度表達(dá)

基于對(duì)人類多尺度認(rèn)知生理過(guò)程的剖析，發(fā)現(xiàn)空間聚類中主要可以定義兩類尺度[95]：

數(shù)據(jù)尺度：一般指用于空間數(shù)據(jù)采樣的尺度。一個(gè)數(shù)據(jù)集可以抽象為一幅特殊的圖像[75,77]，數(shù)據(jù)(或圖像)的尺度由采樣的最高分辨率決定。在人類視覺(jué)多尺度認(rèn)知中，視網(wǎng)膜可以視為一種空間數(shù)據(jù)的采樣框架，這個(gè)采樣框架最高分辨率的變化直接受到觀測(cè)距離的控制。在人類視覺(jué)認(rèn)知中，增大觀測(cè)距離實(shí)際上提供給大腦不同尺度的空間數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可以視為一種尺度上推的過(guò)程。

分析尺度：通常指給定數(shù)據(jù)中地理現(xiàn)象或空間模式分析的窗口?，F(xiàn)有研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，視網(wǎng)膜上的一些簡(jiǎn)單感受野可以從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格表達(dá)為一種核結(jié)構(gòu)(如墨西哥帽函數(shù))，而感受野的尺寸起到了帶寬的作用[89]。不同尺寸感受野獲得的尺度空間圖像，實(shí)際上類似于一種概率密度估計(jì)的過(guò)程，不同尺寸感受野獲得的概率密度圖像上發(fā)現(xiàn)的空間模式幅度也不相同[80]。

實(shí)際上，空間聚類的尺度依賴性主要體現(xiàn)在上述兩類尺度的改變，為了進(jìn)一步對(duì)空間聚類尺度依賴性進(jìn)行量化建模，需要對(duì)數(shù)據(jù)尺度與分析尺度的進(jìn)行參數(shù)化描述。

數(shù)據(jù)尺度的度量：雖然數(shù)據(jù)的尺度在不同領(lǐng)域具有不同的度量方式，但是其一般可以定義為研究范圍、分辨率和精度[96]。針對(duì)不同類型的空間數(shù)據(jù)，具體的度量指標(biāo)存在一定差異，例如針對(duì)點(diǎn)事件，數(shù)據(jù)分辨率可以定義為兩點(diǎn)間最短距離或比例尺；針對(duì)格數(shù)據(jù)，遙感影像的空間分辨率通常定義為最小可分辨實(shí)體尺寸，而對(duì)于社會(huì)經(jīng)濟(jì)等面狀數(shù)據(jù)而言，分辨率通常定義為單元的尺寸或數(shù)目。

分析尺度的度量：分析尺度的度量需要同時(shí)考慮空間簇的定義與空間數(shù)據(jù)的類型。對(duì)于劃分或?qū)哟尉垲惸Ｐ投?，分析尺度主要可以定義為空間簇的數(shù)目或簇內(nèi)均質(zhì)性；對(duì)于基于密度的聚類模型，分析尺度主要定義為鄰近范圍(空間鄰近、屬性相似)。

3.3 多尺度空間聚類模型的普適性表達(dá)

基于量化的尺度表達(dá)，可以建立一種以尺度為參數(shù)的多尺度空間聚類模型[95]

C=F(D,A)

(1)

式中，C表示聚類結(jié)果；F表示空間聚類模型；D表示數(shù)據(jù)尺度度量參數(shù)；A表示分析尺度度量參數(shù)。

多尺度聚類模型中，數(shù)據(jù)尺度對(duì)不同分析尺度結(jié)果可靠性的影響被建模為一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，如圖7所示。需要注意的是，由于分析尺度不唯一導(dǎo)致多個(gè)備擇假設(shè)同時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，這是一種多重假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，本文采用控制錯(cuò)誤發(fā)現(xiàn)率的方法(FDR)進(jìn)行校正[97]。由式(1)可見(jiàn)，通過(guò)控制數(shù)據(jù)尺度或分析尺度的參數(shù)，可以獲得具有明確含義的多尺度空間聚類結(jié)果。對(duì)于不同尺度的聚類結(jié)果，依據(jù)視覺(jué)認(rèn)知的尺度不變性原理，在一系列較長(zhǎng)尺度范圍內(nèi)保持穩(wěn)定的聚類結(jié)果，可以認(rèn)為是更為有效的聚類結(jié)果，可以采用“尺度生存期”對(duì)聚類結(jié)果的有效性進(jìn)行定量的度量[75]。下面將分別給出空間點(diǎn)事件與地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的多尺度空間聚類模型實(shí)現(xiàn)方法。

圖7 數(shù)據(jù)尺度與分析尺度的關(guān)系建模Fig.7 Construction of relationship between data and analysis scale

4 尺度驅(qū)動(dòng)的空間點(diǎn)事件聚類模型

4.1 數(shù)據(jù)尺度與分析尺度間關(guān)系統(tǒng)計(jì)建模

針對(duì)空間點(diǎn)事件，數(shù)據(jù)尺度可以用數(shù)據(jù)分辨率與數(shù)據(jù)范圍來(lái)衡量，其中數(shù)據(jù)分辨率具體可以量化為比例尺，而數(shù)據(jù)范圍可以量化為數(shù)據(jù)的外包多邊形及其面積。由于基于密度的簇定義可以同時(shí)描述球形與非球形的空間簇，因此可以被選為空間聚類模型，相應(yīng)地分析尺度可以量化為估計(jì)局部密度的空間鄰域尺寸，本文定義為圓形鄰域的半徑。在給定分析尺度上，局部密度的顯著性可以建模為一種多重假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題

H0：空間點(diǎn)事件隨機(jī)分布；

H1,H2,…,Hi,…,HN：第i個(gè)空間點(diǎn)事件的局部密度顯著高于隨機(jī)情況。

一般情況下，零假設(shè)下空間點(diǎn)事件的分布可以定義為一種完全空間隨機(jī)模式

(2)

(3)

式中,N(B)表示空間鄰域B內(nèi)包含空間點(diǎn)事件的個(gè)數(shù)；|B|表示空間鄰域B的支撐域(面積)；λ表示空間點(diǎn)過(guò)程的強(qiáng)度；|S|表示空間點(diǎn)事件數(shù)據(jù)集的支撐域(面積)；N表示空間點(diǎn)事件的數(shù)目。可見(jiàn)，零假設(shè)下空間點(diǎn)事件的分布參數(shù)完全由數(shù)據(jù)尺度的描述指標(biāo)所確定。進(jìn)一步，局部密度的顯著性可以計(jì)算為

(4)

式中，ni表示第i個(gè)空間點(diǎn)事件鄰域內(nèi)空間點(diǎn)事件的數(shù)目。進(jìn)一步采用FDR方法對(duì)多重檢驗(yàn)進(jìn)行校正，將由式(4)計(jì)算獲得的N個(gè)空間點(diǎn)事件的p-value值升序排列，尋找最大的k值滿足

(5)

式中，α表示顯著水平(一般設(shè)為0.05或0.01)。所有p-value值小于P(k)的空間點(diǎn)事件，其局部密度可以識(shí)別為顯著高于隨機(jī)分布，定義為高密度的核點(diǎn)。

4.2 基于Delaunay三角網(wǎng)的分析尺度自適應(yīng)選擇

分析尺度除了估計(jì)局部密度，還承擔(dān)了將高密度核點(diǎn)聚集成簇的任務(wù)。若不同空間簇密度高低不同，則需要自適應(yīng)地估計(jì)分析尺度，以確保不同密度的核點(diǎn)都可以聚集成簇。自適應(yīng)的分析尺度需要同時(shí)滿足在密度高的區(qū)域空間鄰域半徑相對(duì)較小，而在密度低的區(qū)域空間鄰域半徑相對(duì)較大。為了滿足這一要求，Delaunay三角網(wǎng)是一個(gè)合適的建模工具。Delaunay三角網(wǎng)的邊長(zhǎng)在密度高的區(qū)域相對(duì)較短，而在密度低的區(qū)域邊長(zhǎng)相對(duì)較長(zhǎng)?；谶@一特點(diǎn)，自適應(yīng)的分析尺度選擇可以通過(guò)提取Delaunay三角網(wǎng)邊長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)現(xiàn)[98]。針對(duì)任一空間實(shí)體pi，以pi為中心的空間圓形鄰域半徑可以定義為

(6)

式中，Mean2(pi)表示pi二階鄰域的平均邊長(zhǎng)；n(pi)表示pi二階鄰域內(nèi)空間點(diǎn)事件的數(shù)目；Local_Variation(pk)表示直接與pk連接邊長(zhǎng)的方差。若兩個(gè)高密度的核點(diǎn)pi和pj是空間連接的，則要同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①d(pi,pj)≤εi；②d(pi,pj)≤εj。d(pi,pj)表示空間點(diǎn)事件pi和pj間的距離。與DBSCAN算法類似，高密度的空間核點(diǎn)依據(jù)空間連接關(guān)系聚集成簇。

4.3 基于自然法則的數(shù)據(jù)尺度控制策略

數(shù)據(jù)尺度的控制旨在模擬不同觀測(cè)距離下，由于感受野尺寸的限制導(dǎo)致的視網(wǎng)膜采樣的模糊效應(yīng)。這種效應(yīng)可以采用自然法則[92]進(jìn)行形式化地描述：“對(duì)于一個(gè)給定的尺度,能表現(xiàn)的地理對(duì)象之空間變化細(xì)節(jié)是有局限性的。當(dāng)超越某種限度時(shí),所有的細(xì)節(jié)不能表現(xiàn)出來(lái),因此可以忽略不計(jì)”。

實(shí)際上這種限度即表示了人眼感受野尺寸的限制，其在實(shí)地距離上的約束(K)可以量化表達(dá)為

(7)

式中，SVS表示人眼的最小可分辨距離(或尺寸)；S表示空間數(shù)據(jù)展示的比例尺；Ss表示空間數(shù)據(jù)的源比例尺。

實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，人眼能區(qū)分的最小點(diǎn)符號(hào)的尺寸介于0.2 mm到1 mm之間[96]，據(jù)此可以將SVS經(jīng)驗(yàn)性地設(shè)為1 mm。在自然法則指導(dǎo)下，可以對(duì)空間聚類中數(shù)據(jù)尺度的影響進(jìn)行定義：

(1) 給定數(shù)據(jù)尺度上，如果兩個(gè)空間點(diǎn)事件間的距離小于等于K，則認(rèn)為二者不可區(qū)分；

(2) 給定數(shù)據(jù)尺度上，若一系列空間點(diǎn)事件可以通過(guò)K進(jìn)行連接(即能夠被Eps=K，MinPts=1的DBSCAN算法聚類)，則認(rèn)為這些空間點(diǎn)事件不能區(qū)分。

所有不能區(qū)分的空間點(diǎn)事件不參與式(2)—(4)的計(jì)算。圖8給出了圖4和5中空間點(diǎn)事件數(shù)據(jù)集在不同比例尺上的展示結(jié)果，并勾畫(huà)出其中人眼識(shí)別的聚集結(jié)構(gòu)。圖9給出了尺度驅(qū)動(dòng)的空間聚類模型通過(guò)自然法則控制數(shù)據(jù)尺度而獲得的多尺度聚類結(jié)果，直觀上可以發(fā)現(xiàn)圖8中人眼識(shí)別的聚類結(jié)果均被很好地發(fā)現(xiàn)(為節(jié)省空間，數(shù)據(jù)范圍沒(méi)有依比例尺設(shè)置)。采用Jaccard系數(shù)評(píng)價(jià)聚類結(jié)果與人眼識(shí)別結(jié)果的吻合度發(fā)現(xiàn)，平均精度超過(guò)0.95。

5 尺度驅(qū)動(dòng)的地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)聚類模型

地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)尺度一般從3個(gè)方面度量：研究范圍、數(shù)據(jù)分辨率和精度。數(shù)據(jù)分辨率不僅包括采樣單元的大小，同時(shí)也包括專題屬性的區(qū)分能力[74]。精度通常也包括采樣單元精度和專題屬性值的精度，需要注意的是精度受到數(shù)據(jù)分辨率的影響。地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中空間簇通常有兩種類型，一種是專題屬性值相似實(shí)體構(gòu)成的，另一種是專題屬性值的熱點(diǎn)或冷點(diǎn)?，F(xiàn)有的3種空間聚類模型都可以使用，但是其本質(zhì)上都是優(yōu)化簇內(nèi)的均質(zhì)性或“熱度”，因此分析尺度可以被定義為簇內(nèi)均質(zhì)性或“熱度”的度量。本文以發(fā)現(xiàn)專題屬性相似且空間鄰近實(shí)體所構(gòu)成空間簇為例，選用基于連接性的簇定義，闡述尺度驅(qū)動(dòng)的地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)聚類模型構(gòu)建：

H0：空間數(shù)據(jù)專題屬性隨機(jī)分布。

H1,H2,…,Hi,…,HN：第i個(gè)空間簇的內(nèi)部均質(zhì)性顯著高于隨機(jī)情況。

空間實(shí)體間的鄰近關(guān)系可以采用拓?fù)潢P(guān)系或約束Delaunay三角網(wǎng)的方法進(jìn)行構(gòu)建，簇內(nèi)的均質(zhì)性需要同時(shí)滿足兩條規(guī)則[99]：①每個(gè)空間實(shí)體與其鄰近空間實(shí)體間的專題屬性都是相似的；②每個(gè)空間實(shí)體與簇內(nèi)其他非空間鄰近實(shí)體的專題屬性也是相似的。

圖8 不同數(shù)據(jù)尺度(比例尺)上人眼識(shí)別的空間聚類結(jié)構(gòu)Fig.8 Spatial clusters identified by human at different data scales (or cartographic ratio)

圖9 尺度驅(qū)動(dòng)空間點(diǎn)事件聚類模型的多尺度聚類結(jié)果Fig.9 Multi-scale clustering results obtained by using the scale-driven model

依據(jù)以上兩個(gè)假設(shè)，數(shù)據(jù)尺度對(duì)分析尺度的影響，可以通過(guò)一種隨機(jī)重排檢驗(yàn)進(jìn)行建模[100]。

5.1 針對(duì)規(guī)則1

空間實(shí)體間的專題屬性相似性(或均質(zhì)性程度)可以采用方差進(jìn)行度量，則空間實(shí)體pi與其鄰近實(shí)體的專題屬性相似度的顯著性可以定義為

(8)

式中，m表示專題屬性隨機(jī)重排(即任意空間位置上的專題屬性不依賴于空間鄰近位置上的專題屬性值)的次數(shù)；Wij表示第j次隨機(jī)重排后，以pi為中心的空間鄰域內(nèi)的方差；LV(pi)表示以pi為中心的空間鄰域方差觀測(cè)值；I(·)表示指示函數(shù)。給定顯著水平α，采用FDR方法對(duì)每個(gè)空間實(shí)體的p-value進(jìn)行校正后，可以得到空間實(shí)體與其鄰近空間實(shí)體間的專題屬性相似性的統(tǒng)計(jì)閾值。

5.2 針對(duì)規(guī)則2

在每個(gè)空間簇C內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)重排，每個(gè)空間實(shí)體與簇內(nèi)其他非空間鄰近實(shí)體相似度的顯著水平可以定義為

(9)

式中，r表示簇內(nèi)專題屬性隨機(jī)重排的次數(shù)；第k次隨機(jī)重排后若每個(gè)空間實(shí)體與其鄰近實(shí)體的專題屬性相似度代入式(8)中均可以滿足顯著性水平α采用FDR方法的校正值，則I記為1，否則記為0。

在重排檢驗(yàn)中，空間數(shù)據(jù)隨機(jī)重排后構(gòu)建的統(tǒng)計(jì)量經(jīng)驗(yàn)概率密度分布是判斷某一分析尺度上空間簇顯著性的根本依據(jù)，而這個(gè)經(jīng)驗(yàn)概率密度分布的參數(shù)直接受到數(shù)據(jù)尺度的控制。圖10(a)中包含不同形態(tài)、密度的空間簇和噪聲，采用尺度驅(qū)動(dòng)的模型可以準(zhǔn)確識(shí)別其中包含的空間簇(顯著水平0.01，重排次數(shù)9999，聚類模型為空間約束的Ward法)，而采用尺度空間方法(Meanshift)難以準(zhǔn)確判斷空間簇的顯著性，得到的聚類結(jié)果包含大量的噪聲。

圖10 地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)聚類結(jié)果[100]Fig.10 Clustering results of the geostatistical data[100]

6 總結(jié)與展望

本文針對(duì)當(dāng)前空間聚類方法進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)尚存在兩大瓶頸問(wèn)題：空間簇的顯著性難以評(píng)價(jià)以及聚類結(jié)果的多樣性難以理解。針對(duì)這些問(wèn)題，從人類多尺度認(rèn)知的生理原理出發(fā)，根據(jù)多尺度表達(dá)的“自然法則”，提出了一種尺度驅(qū)動(dòng)的空間聚類理論。本文系統(tǒng)闡述了空間聚類中尺度的定義、度量以及參數(shù)化建模方法，并建立了針對(duì)不同類型空間數(shù)據(jù)的尺度驅(qū)動(dòng)聚類模型。筆者也作了大量的試驗(yàn)，驗(yàn)證了方法的可行性。

本文雖然為空間聚類的尺度依賴性建模提供了一個(gè)新的思路，但僅起到一個(gè)拋磚引玉的作用，未來(lái)依然需要開(kāi)展進(jìn)一步的工作：

(1) 空間聚類的尺度依賴性問(wèn)題還有一個(gè)重要的問(wèn)題是尺度的自適應(yīng)選擇問(wèn)題(或尺度不變性)，即多尺度的聚類結(jié)果哪些是更有效的?！俺叨壬嫫凇眱H是一種經(jīng)驗(yàn)性的建模方法。近年來(lái)，人類多尺度認(rèn)知中的“尺度不變性”深層次生理學(xué)原理的探究已經(jīng)引起了廣泛的重視，但是如何將其定量化建模，并移植到復(fù)雜的地學(xué)問(wèn)題中(非線性、非平穩(wěn)性等)還需要開(kāi)展進(jìn)一步的工作。

(2) 本文針對(duì)空間點(diǎn)事件與地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立的尺度驅(qū)動(dòng)聚類模型需要進(jìn)一步拓展到其他類型空間數(shù)據(jù)的聚類問(wèn)題中，如地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與空間格數(shù)據(jù)可以同樣視為一種空間與專題屬性耦合的聚類問(wèn)題，尺度驅(qū)動(dòng)的地統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)聚類模型可以較為容易地拓展于空間格數(shù)據(jù)；空間點(diǎn)事件的聚類模型向時(shí)空點(diǎn)事件、軌跡數(shù)據(jù)擴(kuò)展時(shí)則需要深入研究時(shí)空耦合問(wèn)題。如何針對(duì)不同的應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)當(dāng)前聚類模型的適用性進(jìn)行系統(tǒng)的歸納與分析對(duì)于提高空間聚類的應(yīng)用效果亦具有重要的價(jià)值。

(3) 多模態(tài)聚類問(wèn)題的尺度依賴性，在大數(shù)據(jù)時(shí)代地理對(duì)象普遍具有多模態(tài)的特點(diǎn)。綜合多模態(tài)的信息更能夠反映地理現(xiàn)象的發(fā)展變化特征，而這些多模態(tài)特征尺度依賴性建模將更加困難，不僅要考慮每種模態(tài)的尺度依賴性，還需考慮不同模態(tài)間的關(guān)系隨尺度的變化。

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(責(zé)任編輯：宋啟凡)

Towards a Scale-driven Theory for Spatial Clustering

LI Zhilin1,3，LIU Qiliang1,2，TANG Jianbo2

1. Department of Land Surveying and Geo-Informatics, The Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong, China； 2. Department of Geo-Informatics, Central South University, Changsha 410083, China； 3. State-Provincial Joint Engineering Laboratory of Spatial Information Technology for High-speed Railway Safety, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756，China

Spatial clustering plays a key role in exploratory geographical data analysis. It is important for investigating the distribution of geographical phenomena. Spatial clustering sometimes also serves as an important pre-processing for other geographical data analysis techniques. Although lots of attentions have been paid to spatial clustering, two serious obstacles remain to be tackled: ①clusters will always be discovered in any geographical dataset by spatial clustering algorithms, even if the input dataset is a random dataset; ②users feel difficult to interpret the various clustering results obtained by using different parameters. It is hypothesized that scale is not handled well in clustering process. As a result, a scale-driven theory for spatial clustering is introduced in this study, based on the human recognition theory and the natural principle of multi-scale representation. Scale is modeled as parameter of a clustering model, and the scale dependency in spatial clustering is handled by constructing a hypothesis testing, and multi-scale significant clusters can be easily discovered by controlling the scale parameters in an objective manner.

spatial clustering; scale; natural principle; visual cognition; hypothesis testing

The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41601410；41471383); The Natural Science Foundation of Hunan Province (No. 2017JJ3379)

LI Zhilin (1960—), male, professor, majors in cartography, GIS theory and remote sensing.

LIU Qiliang

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10.11947/j.AGCS.2017.20170275.

LI Zhilin,LIU Qiliang，TANG Jianbo.Towards a Scale-driven Theory for Spatial Clustering[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(10):1534-1548. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20170275.

P208

A

1001-1595(2017)10-1534-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(41601410；41471383)；湖南省自然科學(xué)基金(2017JJ3379)

2017-05-26

修回日期： 2017-09-04

李志林(1960—)，男，教授，研究方向?yàn)榈貓D學(xué)、地理信息理論及遙感信息提取等。

E-mail： lszlli@polyu.edu.hk

劉啟亮

E-mail： qiliang.liu@csu.edu.cn