蘇旭

[摘 要] 數(shù)學(xué)實驗成為新的促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的方式，經(jīng)驗與研究表明，數(shù)學(xué)實驗不能只是“指令性操作”，數(shù)學(xué)實驗需要學(xué)生在思維的牽引下去“做”，數(shù)學(xué)實驗的過程與結(jié)果需要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言去“說”. 只有經(jīng)歷了由“做”向“說”的演繹，才能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)實驗有深刻的認(rèn)識，才能真正達(dá)到數(shù)學(xué)理解的境界.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實驗；做；說

這是一個注重體驗的時代，因為只有體驗才能讓學(xué)生形成深刻的經(jīng)驗，也只有經(jīng)驗才能支撐起學(xué)生有效的學(xué)習(xí)（其實對于成人來講，體驗也是讓人擁有更豐富知識與能力的重要途徑），所謂的“不經(jīng)一事，不長一智”的說法就是這個意思. 因此，教師從關(guān)注自身能力形成及學(xué)生有效學(xué)習(xí)的角度來看，注重體驗是一個重要的選擇. 對于教學(xué)來說，由于其需要在短時間內(nèi)將人類長期積淀的文化知識進(jìn)行傳遞，因此真正的體驗機(jī)會并不是很多，而對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說，由于學(xué)科特點(diǎn)與知識特征，能夠直接體驗的內(nèi)容更是很少. 為了改變這一現(xiàn)狀，人們將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式投向了實驗的方式，取得了不錯的成果. 在對數(shù)學(xué)實驗進(jìn)行觀察的過程中，筆者注意到數(shù)學(xué)實驗在高中數(shù)學(xué)課堂上的存在還顯得有些初步，很多時候因為沒有把握好實驗的實質(zhì)與目的，而使得實驗僅僅是“做”了一下，并沒有讓學(xué)生形成真正的數(shù)學(xué)理解，“經(jīng)事”而不“長智”的情形在數(shù)學(xué)實驗中并不少見. 而要改變這一現(xiàn)狀，在筆者看來并不需要太“高大上”的招式，只要遵循不僅要“做”還要“說”的思路，就可以讓數(shù)學(xué)實驗向有效的方向再進(jìn)一步.

用“做”構(gòu)建數(shù)學(xué)實驗的基礎(chǔ)

既是實驗，那肯定是要做的，但在對自然科學(xué)及其教學(xué)的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)很多研究者都持一個觀點(diǎn)，那就是實驗不能是學(xué)生照著實驗步驟亦步亦趨地做，因為那只是像機(jī)器人一樣“指令性地操作”，而不是真正的“做”. 真正的做，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在自身思考的驅(qū)動下生成的一種肢體性動作. 在真正做實驗的過程中，“做”只是一種外在行為，學(xué)生大腦中的思考才是最需要關(guān)注的地方.

例如，在“橢圓”知識的教學(xué)中，筆者注意到不少課堂甚至高級別的公開課堂上，教師都會給學(xué)生一些器材，如一個木板上釘著兩顆釘子，一根長度超過兩顆釘子距離的低韌性細(xì)線，一支記號筆等. 而在課堂上，教師則會明確讓學(xué)生“將細(xì)線兩端系在釘子上，然后用記號筆將細(xì)線拉直，并在木板上轉(zhuǎn)動，留下轉(zhuǎn)動的軌跡”. 學(xué)生在一番操作之后，教師便向?qū)W生提問：“我們得到了一個圖形，大家說這個圖形是什么??？”在這種情況下，只要智力正常的學(xué)生都會猜測到教師的意圖，于是便異口同聲地說出“橢圓”也就是自然而然的事了. 這樣的課堂，學(xué)生沒有多余的行為，也不會出現(xiàn)錯誤的行為，而正確結(jié)果之后的異口同聲還可以將課堂氣氛推向高潮，于是教師、學(xué)生、聽課者面前出現(xiàn)了一番熱鬧的場景. 課后有人評課，持“這個教學(xué)環(huán)節(jié)高效高能，沒有浪費(fèi)時間，是值得贊賞的”評價. 但筆者在想，這個過程中學(xué)生“做”了什么呢？他們又獲得了什么呢？只要將這兩個問題擺出來，這個教學(xué)環(huán)節(jié)的問題也就出現(xiàn)了.

因此，數(shù)學(xué)實驗的“做”是需要深刻理解的，只有“做”能夠為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定理解基礎(chǔ)的時候，這個“做”才是有意義的. 同樣，如在橢圓概念的教學(xué)中，筆者進(jìn)行了這樣的設(shè)計：第一步，只給出一個小木板和鉛筆，讓學(xué)生在上面畫出自己所理解的橢圓的樣子. 這是讓學(xué)生利用自己的經(jīng)驗去構(gòu)造對橢圓的初步理解，此時學(xué)生的生活經(jīng)驗會得到一定程度的改造，因為他們原來只認(rèn)為只要把圓壓扁了就可以得到橢圓，而真正要動手畫的時候，他們會思考“多扁的圓才是橢圓”等問題，這樣的思考奠定了興趣基礎(chǔ)與思維基礎(chǔ). 第二步，用視頻播放木工師傅是如何用土辦法得到橢圓的（具體如上例，不贅述）. 第三步，一個小組給出學(xué)生兩顆釘子和一根細(xì)線，讓學(xué)生確定好位置之后教師幫他們固定，然后讓他們?nèi)ツ７乱曨l中的方法得到橢圓. 在實際教學(xué)中，學(xué)生會思考兩個問題：一是釘子之間的距離是多少；二是細(xì)線該用多長. 而學(xué)生的選擇往往是隨機(jī)確定的（請注意，這里的隨機(jī)是思考之后沒有辦法的隨機(jī)，實際上是一種試錯心理的運(yùn)用）. 而實踐之后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不同的釘子間距與不同的線長，會得到不同的橢圓，于是他們會自發(fā)地與別的小組進(jìn)行比較，還會自發(fā)地嘗試第二次構(gòu)造橢圓. 最后，當(dāng)他們將兩次構(gòu)造的橢圓進(jìn)行比較，并與最初用鉛筆畫出來的橢圓（其實這個時候已經(jīng)知道它未必是橢圓）進(jìn)行比較時，他們對橢圓的印象無疑深刻了許多.

在這個過程中，學(xué)生的“做”不是機(jī)械的“做”，而是在自己的思考下進(jìn)行的探究式的“做”，進(jìn)行的試錯式的“做”. 在這個過程中，由于有了思維的參與，“做”也就有了更豐富的意義，從而為后面數(shù)學(xué)概念的形成奠定了堅實的基礎(chǔ).

用“說”升華數(shù)學(xué)實驗的意蘊(yùn)

在筆者的教學(xué)觀念中，每一個數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的得出，都應(yīng)當(dāng)是一個高貴而莊重的過程，因為數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)概念的形成本就有這樣的意味，在數(shù)學(xué)課堂上如果讓學(xué)生感覺到一個數(shù)學(xué)概念的來之不易，如果讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)概念得出之后有著巨大的作用，那這個過程自然是有意義的. 如果說數(shù)學(xué)實驗為學(xué)生的“做”提供了機(jī)會，為學(xué)生的思維開拓了空間的話，那進(jìn)一步的“說”就為學(xué)生從經(jīng)驗走向數(shù)學(xué)理論提供了寬闊的通道.

這里的“說”是指用數(shù)學(xué)語言來說，是指用數(shù)學(xué)語言去描述自己在數(shù)學(xué)實驗中的所思、所想. 數(shù)學(xué)語言最大的特點(diǎn)就是概括性、精確性及簡潔性，其用最少的字表達(dá)出最豐富的內(nèi)涵，這是其他學(xué)科的語言所難以達(dá)到的一種境界. 在上面的“橢圓”實驗中，學(xué)生經(jīng)過“做”，已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，但這個時候的經(jīng)驗還是比較初步的，他們知道橢圓的得出方式，但是他們肯定也知道，不能用“在兩顆固定的釘子上系上一根細(xì)線，用記號筆繃緊后畫出的圖形就是橢圓”來定義橢圓. 教師應(yīng)當(dāng)知道，學(xué)生此時是已經(jīng)有了這樣的認(rèn)識的，只是這應(yīng)當(dāng)界定為學(xué)生的生活語言而已. 要從生活語言向數(shù)學(xué)語言過渡，就需要學(xué)生形成運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的意識與能力.

關(guān)于運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的意識，教師可以作適當(dāng)?shù)闹敢涸趧偛诺膶嶒炦^程中，我們已經(jīng)親身經(jīng)歷了一個得到橢圓的過程，那么大家不妨來嘗試一下，如何將我們剛才的有形的數(shù)學(xué)實驗抽象（加重語氣）成一個簡潔的數(shù)學(xué)過程呢？由于強(qiáng)調(diào)了要抽象，那很顯然，下面的工作就是將數(shù)學(xué)實驗中的釘子、細(xì)線等抽象成兩個固定點(diǎn)、一個不變的距離，而所得到的橢圓就應(yīng)當(dāng)視作點(diǎn)的集合了. 到了這個時候，橢圓的定義就呼之欲出了.

需要指出的是，經(jīng)過剛才的一段學(xué)習(xí)歷程，學(xué)生思維中的印象就有兩點(diǎn)比較深刻：一是自己的操作過程，也就是“做”的過程，這里教師要幫學(xué)生總結(jié)兩個“做”的環(huán)節(jié)都比較重要，其一是徒手畫橢圓（這個時候?qū)W生已經(jīng)知道未必是橢圓了），其二是用標(biāo)準(zhǔn)方法畫橢圓. 讓學(xué)生對這兩個“做”形成深刻的印象，有利于后面橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程知識的學(xué)習(xí). 二是用數(shù)學(xué)語言來定義橢圓. 由于不僅“做”了，而且“說”了，因此學(xué)生的思維就完成了動作技能向言語知識的過渡，就實現(xiàn)了操作經(jīng)驗向數(shù)學(xué)經(jīng)驗的升華. 這不僅讓學(xué)生對橢圓的定義有了純粹的數(shù)學(xué)的認(rèn)識，還讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)得到了提高，最起碼的學(xué)生更清晰地認(rèn)識到了只有用數(shù)學(xué)語言描述的內(nèi)容才是真正屬于數(shù)學(xué)的.

從“做”到“說”促進(jìn)數(shù)學(xué)理解形成

從“做”到“說”，不僅是一個教學(xué)選擇的問題，更是一個教學(xué)理念的問題. 為什么有教師只重視“做”，因為他們認(rèn)為只要“做”了學(xué)生自然就會“說”了. 但事實上并非如此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們都是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理解的，數(shù)學(xué)理解如何形成？不是教師的想當(dāng)然，而是要經(jīng)過學(xué)生縝密地思考.數(shù)學(xué)實驗作為一種重要的學(xué)習(xí)方式，其“做”必須具有思考的意味，其“說”必須成為促進(jìn)學(xué)生思考的一種方式. 每一次“做”都應(yīng)當(dāng)是學(xué)生思考進(jìn)一步深入的機(jī)會，每一次“說”都應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生進(jìn)一步熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的機(jī)會，只有這樣才能達(dá)成數(shù)學(xué)理解.

如果在數(shù)學(xué)實驗中多一點(diǎn)整體意識，還可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的“做”與“說”可以為下次學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 比如說上面的橢圓概念教學(xué)，就可以為橢圓的定義之后橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)提供契機(jī). 在研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，筆者幫學(xué)生回憶曾經(jīng)的數(shù)學(xué)實驗，然后提問：自己徒手畫的那個扁圓是不是標(biāo)準(zhǔn)的橢圓呢？于是這就涉及一個橢圓的判定問題，而由于前面已經(jīng)有了其他圓錐曲線的學(xué)習(xí)，學(xué)生自然知道橢圓也應(yīng)當(dāng)存在一個標(biāo)準(zhǔn)方程. 在本知識的學(xué)習(xí)過程中，會發(fā)現(xiàn)此前的“說”與“做”，為學(xué)生建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)揮了多大的作用，當(dāng)學(xué)生將“做”與“說”的結(jié)果遷移到標(biāo)準(zhǔn)方程形成的過程中時，那種殊途同歸的數(shù)學(xué)理解過程，就是一段難得的高峰體驗.

因此，數(shù)學(xué)實驗是必須“做”的，但要形成數(shù)學(xué)理解，也要必須“說”的. 以“做”促“說”，以“說”引“做”，應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)實驗的基本思路.endprint