魏長(zhǎng)城，林 記

（1.銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 銅陵 244000；2.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

“一類功能反應(yīng)的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析”一文的注記

魏長(zhǎng)城1，林 記2

（1.銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 銅陵 244000；2.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

本文對(duì)“一類功能反應(yīng)的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析”中功能反應(yīng)的食餌-捕食者系統(tǒng)重新進(jìn)行了分析，構(gòu)造了Dulac函數(shù)，利用Bendixson-Dulac定理，給出了系統(tǒng)極限環(huán)不存在性的結(jié)論，糾正了其中關(guān)于極限環(huán)存在定理。同時(shí)分析了系統(tǒng)在第一象限內(nèi)軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

捕食系統(tǒng)；Dulac函數(shù)；極限環(huán)；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

2002年，文[1]對(duì)如下的系統(tǒng)

做了定性分析。經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)其中有些處理方法和結(jié)論值得商榷。

這里b＞0,A0＞0,A1＞0。同時(shí)文[1]依據(jù)系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)（0,0）為鞍點(diǎn)，自然誘導(dǎo)出系統(tǒng)（1）的奇點(diǎn)是鞍點(diǎn)，進(jìn)一步構(gòu)造外境界線，利用Bendixson定理給出了系統(tǒng)極限環(huán)存在定理。但是忽略了在x=0處是不可導(dǎo)的。因此系統(tǒng)（1）和（2）僅在區(qū)域D={(x,y)|x＞0,y∈R}上是等價(jià)的。因此，考慮到系統(tǒng)(1)的生物意義，本文限在區(qū)域上內(nèi)研究，對(duì)文[1]反應(yīng)的食餌-捕食者系統(tǒng)重新進(jìn)行了分析，構(gòu)造了Dulac函數(shù)，利用Bendixson-Dulac定理，給出了系統(tǒng)極限環(huán)不存在性的結(jié)論，糾正了文[1]中關(guān)于極限環(huán)存在定理。同時(shí)分析了系統(tǒng)在第一象限內(nèi)軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

1 系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)及性態(tài)

（1）有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)分析

基于文[1]，經(jīng)過計(jì)算在上有奇點(diǎn)，當(dāng)A1≥b時(shí)，在上有奇點(diǎn)。

引理1 當(dāng)A1＞b時(shí)，點(diǎn)為系統(tǒng)(2)的鞍點(diǎn)；當(dāng)A1＜b時(shí)，點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；當(dāng)A1=b時(shí)，點(diǎn)為高階奇點(diǎn)，且為鞍結(jié)點(diǎn)；當(dāng)A1＞2b時(shí)，點(diǎn)為不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)（或焦點(diǎn)）；當(dāng)b＜A1＜2b時(shí)，點(diǎn)為穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)（或焦點(diǎn)）；當(dāng)A1=2b時(shí)，點(diǎn)為中心。

證明 經(jīng)計(jì)算，有

于是,當(dāng)A1＞b時(shí)，B1為鞍點(diǎn)；當(dāng)A1＜b時(shí)，有detJ1＞0,trJ1＜0和

當(dāng)A1=b時(shí)，此時(shí)detJ1=0，于是為高階奇點(diǎn)。此時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(2)做變換。變換以后的仍用x,y記之，于是模型變?yōu)?/p>

令上式的三次項(xiàng)為零，即

（2）無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)分析

令z=0,有u=0。故只有奇點(diǎn)C(0,0)。

所以C(0,0)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

研究奇點(diǎn)D(0,0)：

做變換T:ξ=v,η=y+P2(x+y)，由隱函數(shù)存在定理，在D(0,0)的充分小領(lǐng)域內(nèi)，存在逆變換

計(jì)算得

為了簡(jiǎn)單起見，將(4)式寫為

易知k=2,bn≠0,n＜m，故是D(0,0)鞍結(jié)點(diǎn)。

2 極限環(huán)的不存在性定理

考慮方程

這里P,Q∈C1(G)。

定理 系統(tǒng)（2）在={(x,y)|x＞0,y≥0}上不存在極限環(huán)。

證明 由于y=0是系統(tǒng)（2）的積分直線，所以僅需在={(x,y)|x＞0,y＞0}上考慮極限環(huán)的存在和不存在問題。

構(gòu)造Dulac函數(shù)，令B(x,y)=xαyβ(x＞0,y＞0)，這里待定α,β。計(jì)算

考慮線性代數(shù)方程

有唯一解。進(jìn)一步當(dāng)A1≠2b時(shí)，有α≠0，于是有

利用引理2知系統(tǒng)（2）在上不存在極限環(huán)。

定理得證。

3 旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng)

考慮系統(tǒng)(2)，易見只有參數(shù)A0變動(dòng)時(shí)向量場(chǎng)(X(x,y,A0),Y(x,y,A0))的奇點(diǎn)不變。

于是對(duì)任意點(diǎn)P(x,y)∈,并不能保證上式恒大于0或恒小于0。故系統(tǒng)(2)不是廣義旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng)。

4 系統(tǒng)（2）的全局結(jié)構(gòu)

基于前面結(jié)論，給出了系統(tǒng)（2）的全局結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)（2）的全局結(jié)構(gòu)

5 結(jié)束語

本文對(duì)文[1]中的功能反應(yīng)的食餌-捕食者系統(tǒng)重新進(jìn)行了分析，構(gòu)造了Dulac函數(shù)，利用Bendixson-Dulac定理，給出了系統(tǒng)極限環(huán)不存在性的結(jié)論，糾正了文[1]中關(guān)于極限環(huán)存在定理。得出了較為有意義的結(jié)果。

[1]程容福,蔡淑文.一類具功能反應(yīng)的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2002,17(4)：406-410.

[2]陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法[M].北京：科學(xué)出版社，1988：174-198.

[3]張芷芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論[M].北京：科學(xué)出版社，1985：106-110.

[4]張錦炎，馮貝葉.常微分方程幾何理論與分支問題[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000：194-197.

[5]岳宗敏，胡志興.一類具功能反應(yīng)的食餌-捕食者兩種群模型的極限環(huán)的唯一性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，20（2）：169-172.

[6]吳承強(qiáng).一類具功能反應(yīng)的捕食-食餌系統(tǒng)的極限環(huán)[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，32（4）：410-412.

[7]顏向平，張存華.一類具功能反應(yīng)的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，19（3）：323-327.

A note on the paper“A qualitative of a kind of food with functional response-two group types of predators”

WEI Chang-cheng1,LIN Ji2
(1.School of Mathematics and Computer Science,Tongling University,Tongling Anhui244000,China;2.School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037，China)

In this paper,we consider the kind of food with functional response two-group types of predators again,which has already been studied by article“A qualitative analysis of a food with functional response-two group types of predators”.By structuring Dulac function and using Bendixson-Dulac theorem,we give nonexistence of limit cycles on system(1)and correct the existence of limit cycle of(1).Moreover,we analyze the topological structure of the system(2)in first quadrant.

predator-prey system;Dulac function;limit cycle;topology structure

O175

A

1004-4329（2017）03-018-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-018-05

2017-05-05

2017年度高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（gxyq2017081）；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目（2015jyxm225）資助。

魏長(zhǎng)城（1984- ），男，碩士，講師，研究方向：微分方程穩(wěn)定性。