文︳王 飛

知其然還要知其所以然
——“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)實踐與思考

文︳王 飛

前段時間我上了一次三角形的內(nèi)角和的教研課。在試教過程中，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180度這一結(jié)論，并且對這一結(jié)論深信不疑。在用量一量的方法驗證的過程中，別的學(xué)生在匯報測量數(shù)據(jù)時，其他學(xué)生就會插嘴，報出最后一個角的度數(shù)，問他沒有測量怎么知道別人測量的度數(shù)呢？他答道：“我是算出來的，因為三角形的內(nèi)角和是180度?！边€有的學(xué)生只是為了迎合結(jié)論，在測量的過程中會反復(fù)調(diào)整數(shù)據(jù)，將測量的結(jié)果湊成180度，導(dǎo)致課堂上的探究活動流于形式，達不到應(yīng)有的教學(xué)目的。學(xué)生的表現(xiàn)讓我反思：如果學(xué)生已經(jīng)知道這個結(jié)論，我們的教學(xué)該如何設(shè)計，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而引導(dǎo)他們由質(zhì)疑走向真探究，切實發(fā)展思維呢？

我和數(shù)學(xué)組的同事一起討論，形成了如下的教學(xué)對策：準確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，通過數(shù)學(xué)家的探索精神激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生進行一次科學(xué)的驗證之旅，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷由直觀到抽象、由淺入深的過程，更好地滿足學(xué)生“數(shù)學(xué)家”的科學(xué)探索愿望，感受數(shù)學(xué)的魅力。

教學(xué)片段

師：你們知道三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？

生（齊答）：180度。

師：你們都認為是180度，（所有學(xué)生點頭）現(xiàn)在大家都知道了這個結(jié)論，是不是這節(jié)課我們就不用上了，老師直接給點題目讓你們做就可以？（大部分學(xué)生點頭，有學(xué)生提出測量可能會有誤差，不準確）是的，老師懷疑這個結(jié)論，那我們這節(jié)課還要干點什么？

生：那就要想辦法驗證這個結(jié)論，說服老師。

師：這個孩子具有數(shù)學(xué)家的天賦。對于這樣一個結(jié)論，有的同學(xué)愿意相信結(jié)論再做些習(xí)題，有的同學(xué)有數(shù)學(xué)家的天賦，為什么呢？因為他還想知道來歷，用科學(xué)的方法驗證三角形的內(nèi)角和到底是不是180度，設(shè)法讓老師相信這個結(jié)論。今天讓我們當回一數(shù)學(xué)家，大家有沒有興趣？

學(xué)生紛紛點頭，然后開始想點子、找辦法驗證這個結(jié)論，整節(jié)課就這樣進入到驗證結(jié)論的重心上來。

學(xué)生討論后，分享自己的想法，得到以下幾種思路：量一量、折拼、剪拼等。教師將學(xué)生分成幾個學(xué)習(xí)小組，各選一種思路進行活動，提出活動建議：（1）選擇合適的材料；（2）做好操作的準備：將要操作的三角形的內(nèi)角標注好序號；（3）在測量過程中一定要實事求是，不要調(diào)整數(shù)據(jù)；（4）做好匯報準備。

量一量的方法。生1匯報：記錄好組內(nèi)4位同學(xué)測量后得到的數(shù)據(jù)，分別是 179°、181°、180°、180°，得出結(jié)論：三角形的內(nèi)角和接近180度。教師表揚學(xué)生具備數(shù)學(xué)家實事求是的品質(zhì)，強調(diào)這個結(jié)論對我們研究三角形的內(nèi)角和非常有價值。

剪拼的方法。生2上臺進行剪拼操作：先將3個內(nèi)角標注好，再剪下來，拿出直尺，將3個內(nèi)角沿直尺邊進行拼接，最后3個內(nèi)角拼在一起與直尺邊重合。學(xué)生自信地說：“通過這樣的操作，我們得到的結(jié)論是三角形的內(nèi)角和是180度。”

折拼的方法。生3通過找三角形邊的中點，將三角形的3個內(nèi)角折在一起，近似地拼成一個平角。

生4：我這兒有一種不同的方法：用正方形沿對角線對折，兩個部分完全重合，而且是兩個完全一樣的等腰直角三角形。一個等腰直角三角形的內(nèi)角和是正方形內(nèi)角和的一半，正方形的內(nèi)角和是90°×4=360°,所以一個等腰直角三角形內(nèi)角和是正方形內(nèi)角和的一半，也就是180度。

師：這位孩子的發(fā)現(xiàn)真了不起，能夠從不同的方面找到解決問題的方法，盡管在邏輯上還存在不足，但是看起來也有道理，通過我們的觀察和直覺能夠說明等腰直角三角形的內(nèi)角和是180度。那我們怎么知道一般直角三角形的內(nèi)角和呢？現(xiàn)在你們有辦法了嗎？

學(xué)生紛紛點頭，拿出學(xué)具袋中的學(xué)具進行探索。很多學(xué)生拿到長方形在思考，尋找驗證方法。

生5：一般直角三角形可以通過長方形得到，沿長方形對角線剪開就變成了兩個直角三角形，我發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的角能夠完全重合，是兩個完全一樣的直角三角形。長方形的內(nèi)角和是360度，沿對角線剪開后，長方形就被平均分成了兩半，所以一個直角三角形的內(nèi)角和就是180度。（教師用課件輔助說明這一驗證過程，如圖所示）

師：在驗證直角三角形的內(nèi)角和是180度的基礎(chǔ)上，你能用它來驗證其他三角形的內(nèi)角和是180度嗎？

生6：老師，任何一個銳角三角形都可以沿高剪開，分為兩個直角三角形。兩個直角三角形的和是180度+180度=360度，而其中有兩個直角拼在一起成了一條直線，可以看作是一個平角，所以原來銳角三角形的3個內(nèi)角的和就是360度-180度=180度。（同樣的道理可以說明鈍角三角形內(nèi)角和也是180度）

師：你們能化未知為已知，用不同的方法驗證三角形的內(nèi)角和是180度，真會想辦法。盡管有些方法還有不足，但你們的大膽思考、勇于表達是數(shù)學(xué)家最可貴的品質(zhì)，我們進入中學(xué)以后，還會有更加嚴謹科學(xué)的方法來驗證它，大家敬請期待吧！

課后反思：三角形的內(nèi)角和是多少？大部分學(xué)生已經(jīng)知道這一知識點，所以回答起來很容易，但是只知其然而不知其所以然，因此本節(jié)課的重點是引導(dǎo)學(xué)生知其所以然，用科學(xué)的方法驗證三角形的內(nèi)角和是180度，經(jīng)歷一個“相信—質(zhì)疑—確信”的探究過程。課堂上，學(xué)生的操作方法并不單一、測量也不是在湊數(shù)據(jù)，而是自然而然地出現(xiàn)了操作驗證環(huán)節(jié)中的誤差。這一切源于給學(xué)生提供了探究的機會，讓學(xué)生在獨立思考和探究的基礎(chǔ)上，真正當了一回數(shù)學(xué)家，獨立完成知識的建構(gòu)。學(xué)生的方法是多種多樣的，學(xué)生的思考也是多方位的。學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，采用量、剪、拼、折的方法進行驗證，這些都是符合學(xué)生現(xiàn)階段認知水平的。在測量和剪拼過程中會有誤差，學(xué)生難以獲得“三角形內(nèi)角和是180度”的精確感知。正是因為誤差的存在，有學(xué)生想到了用正方形分成兩個等腰直角三角形，根據(jù)正方形的內(nèi)角和是360度，推導(dǎo)出等腰直角三角形的內(nèi)角和是180度。還有學(xué)生想到把長方形沿對角線分成兩個直角三角形，通過操作直觀感知對應(yīng)的角完全重合，從而得出其中一個直角三角形的內(nèi)角和是180度的結(jié)論，并由此推導(dǎo)出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和。盡管驗證過程存在不足，利用長方形、正方形沿對角線剪開，得到的兩個三角形完全重合，是學(xué)生在操作層面得到的“看起來是這樣”的現(xiàn)實，是基于這一現(xiàn)實基礎(chǔ)上的驗證與說理。嚴格地說，這是在已經(jīng)承認三角形的內(nèi)角和是180度的基礎(chǔ)上進行驗證的，從邏輯上來講是錯誤的。教師深知這一階段學(xué)生思維的特點，沒有直接指出學(xué)生具體的邏輯錯誤（實際上，學(xué)生也糾纏不清這中間的邏輯關(guān)系與前提），而是對學(xué)生這種直覺思維、大膽表達予以肯定和保護，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。最后教師指出在中學(xué)里將有一種更科學(xué)嚴謹?shù)倪壿嬐评矸椒炞C三角形的內(nèi)角和是180度，為數(shù)學(xué)的科學(xué)與嚴謹指明了方向。

（作者單位：湘潭市教育科學(xué)研究院）