胡晶地

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院， 浙江 東陽 322100)

貝努利型方程組初值問題的整體解

胡晶地

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院， 浙江 東陽 322100)

常微分方程； 貝努利型方程組； 初值問題； 整體解

MSC2010:34A30

0 引 言

王高雄等在文獻(xiàn)[1]中討論了常微分方程初值問題

(1)

的積分曲線.其通解為:

(2)

由(2)式可知：

① 當(dāng)A>0,B>0時，若y0<0，則解必在有限時刻趨于無窮大，若y0≥0，則解對一切t≥0存在；

定義1 若常微分方程初值問題的解對一切t≥0存在，則稱其為常微分方程初值問題的整體解.

研究常微分方程初值問題的整體解[2-4]，對常微分方程理論和擬線性雙曲型方程柯西問題的整體解研究有重要意義[5-7].

下面研究一般的初值問題:

(3)

其通解為:

(4)

若a(t),b(t)∈c[0,+),y0b(t)<0,則由(4)式可知，通解中的分母對一切t≥0有意義，且恒不為零，于是對一切t≥0，(3)式的解均存在，即有唯一的整體解.這可表述為如下定理:

定理1 初值問題(3)式有唯一整體解的充分條件是：

①a(t),b(t)∈c[0,+);

②y0b(t)≤0.

定理1中的條件①起到使(3)式存在唯一局部解的作用，條件②對整體解的存在起決定性作用.

1 主要結(jié)論

定義2 形如

(5)

初值條件

(6)

的方程組稱為貝努利型方程組.

命題初值問題(5)式、(6)式有唯一整體解的充分條件是:

①a1(t),a2(t),b1(t),b2(t)∈c[0,+);

證明由命題中的條件①知，a1(t),b1(t),a2(t),b2(t)∈c[0,+)，所以(5)式的右端函數(shù)不但是t≥0半空間的t,x1,x2的連續(xù)函數(shù)，而且關(guān)于x1,x2滿足李普希茲條件，根據(jù)常微分方程初值問題的局部解存在定理，存在t1>0，在[0,t1]上有唯一的局部解.這個局部解還可以向t的增加方向延拓，由于(5)式的右端函數(shù)定義在t≥0的半空間上，是一個無界區(qū)域，根據(jù)解的延拓定理可能出現(xiàn)兩種情況：一種是解可一直延拓下去，直到t→+；一種是存在有限時刻t*>0，當(dāng)t→t*時，x1(t),x2(t)中至少有一個趨于無窮大.前一種情形就是整體解.由此可見，為證明整體解的存在性，只需證明如下的定理:

定理2 對任意時刻0

下面用幾個引理和證法來證明這個定理.

設(shè)方程組(5)式、(6)式的解經(jīng)過延拓，已在[0,t*)上有定義，在這個區(qū)間上，x1(t),x2(t)是t的已知函數(shù).在(5)式的第一式中可以將x1(t)看作未知函數(shù)，將a1(t)x2(t),b2(t)看作系數(shù)，這樣它就是貝努利方程，解得：

(7)

同理

(8)

引理1 若存在有限時刻t*>0，使x1(t*),x2(t*)中至少有一個取值無窮大，則

(i) 當(dāng)t→t*時，x1(t),x2(t)同時趨于無窮大，且均趨于+;

(9)

(10)

(11)

證明(i) 采用反證法.不失一般性，可設(shè)t→t*時，x1(t*)為有限.則由(8)式知，當(dāng)t→t*時，x2(t*)也為有限，與引理條件矛盾.而且由(7)式、(8)式知，此時x1(t*),x2(t*)均取值+.

(ii) 由(i)知，x1(t*)=+,x2(t*)=+.采用反證法.不失一般性，可設(shè)a2(t)x1(t)dt為有限或為-，則由(8)式得知x2(t*)為有限，與引理假設(shè)矛盾.而且不難看出a1(t*),a2(t*)均取正值.

(iii) 證明略.

(iv) 由(iii)知，當(dāng)b1(t)b2(t)≠0時，

(12)

(13)

所以(11)式成立.

引理2 若存在有限時刻t*>0，使x1(t*),x2(t*)中至少有一個取值無窮大，則(11)式不能成立.

證明將積分曲線x1(t),x2(t)在t=t*處的斜率方程(5)式結(jié)合起來討論，以期得到與(11)式矛盾的結(jié)果.

令

(14)

當(dāng)t→t*時，方程組(5)式、(6)式解的積分曲線的斜率由(5)式和(14)式確定，分別為：

(15)

由(i)知，當(dāng)t→t*時，x1(t),x2(t)均趨于+，因而t=t*為它們的垂直漸近線，所以當(dāng)t→t*時，

故由(15)式可知，必需

即

也即

(16)

由此可見，若(11)式成立，則(16)式不能成立.

2 應(yīng)用舉例

作為應(yīng)用，下面研究一階擬線性方程的初值問題：

(17)

其中λ(u)為u的一階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且λu>0，A>0，p≥1，φ∈c1(R).

令

(18)

的解為:

x=x(t,α),α=x(0,x),

(19)

則(17)式可改寫為:

(20)

解得:

(21)

顯然，只要

A(p-1)φp-1(α)≥0,

(22)

(21)式對一切t≥0有意義.

為了得到(17)式的整體解，還必須估計ux，為此將(17)式關(guān)于x求導(dǎo)，得：

(23)

由于λu，u均是t的已知函數(shù)，所以(23)式是貝努利方程的初值問題.由命題知，只要

(24)

ux對一切t≥0有解，從而ut對一切t≥0有意義，故得:

定理3 初值問題(17)式有整體解的充分條件是(22)式、(24)式成立.

(24)式等價于φ′(α)≥0.(19)式、(24)式還是初值問題(17)式有整體解的必要條件，證明略.

[1] 王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2] 王仲平.含有間斷項的常微分方程初值問題解的存在唯一性[J].蘭州交通大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2004,23(1):124-128.

[3] 汪璇.Banach空間常微分方程初值問題的廣義整體解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2003,39(4):9-12.

[4] 羅環(huán)環(huán),范勝君.常微分方程初值問題解的存在唯一性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2015,53(2):166-172.

[5] 宋孌孌.擬線性雙曲型方程組解的整體存在性[J].高師理科學(xué)刊,2014,34(6):1-6.

[6] LI S M.Cauchy problem for general first order inhomogeneous quasilinear hyperbolic system[J].Journal of Partial Differential Equations,2002,15:46-68.

[7] 李才中,肖玲.一類擬線性雙曲型方程組的整體解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1976,19(4):263-275.

MSC2010:34A30

GlobalSolutionsofInitialValueProblemsforBernoulliTypeEquations

HU Jingdi

(Information and Control Engineering School, Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang 322100, China)

ordinary differential equation; Bernoulli type equations; initial value problem; global solutions

2017-06-10

胡晶地，教授,研究方向：微分方程.E-mail：hjd6637300@163.com

O175.1

A

1009-1734(2017)08-0001-05

[責(zé)任編輯高俊娥]