包日東， 李珊珊

(沈陽化工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

傳遞矩陣法分析彈性支承裂紋管道的失穩(wěn)臨界流速

包日東， 李珊珊

(沈陽化工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

研究兩端線性彈簧支承且含有圓周非貫穿裂紋的輸流管道的失穩(wěn)臨界流速.根據(jù)梁模型模態(tài)函數(shù)的一般表達式和裂紋處的關(guān)聯(lián)式，采用傳遞矩陣法推導(dǎo)出含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)的特征方程具體探討了裂紋部位、裂紋徑向和周向尺寸參數(shù)對裂紋管道失穩(wěn)臨界流速的影響.數(shù)值仿真結(jié)果表明：由于管道裂紋的存在，系統(tǒng)的靜態(tài)失穩(wěn)和動態(tài)失穩(wěn)臨界流速將發(fā)生復(fù)雜的變化，管道失穩(wěn)形態(tài)將隨參數(shù)值的變化出現(xiàn)靜態(tài)屈曲失穩(wěn)和動態(tài)顫振失穩(wěn)，并將相互轉(zhuǎn)化.

裂紋輸流管道； 流固耦合； 傳遞矩陣法； 動力穩(wěn)定性； 臨界流速

輸流管道在制造、安裝和運行過程中，難免會由于各種原因而導(dǎo)致?lián)p傷產(chǎn)生裂紋.管道產(chǎn)生裂紋后，將會使結(jié)構(gòu)的剛度變小，結(jié)構(gòu)的阻尼和質(zhì)量也將發(fā)生改變，從而引起管道系統(tǒng)的動力學(xué)特性及穩(wěn)定性發(fā)生變化，系統(tǒng)的安全性也會受到影響，嚴重時將會導(dǎo)致嚴重的災(zāi)難性事故.所以，研究損傷裂紋管道的動力學(xué)特性和動力穩(wěn)定性具有較高的理論價值和重要的工程應(yīng)用意義.

目前，研究損傷裂紋輸流管道，特別是從流固耦合方面進行的研究還處在起步階段.Han-Ik Yoon[1-2]于2005年首次研究了懸臂輸流裂紋管道和簡支輸裂紋流管道在移動載荷作用下的動態(tài)特性；此后，蔡逢春等[3-5]在Han-Ik Yoon研究的基礎(chǔ)上，以梁模型的模態(tài)函數(shù)為基礎(chǔ)，加入分段3次多項式得到含裂紋管道的模態(tài)函數(shù)，并分析了懸臂輸流管道系統(tǒng)的穩(wěn)定性，討論了裂紋部位和裂紋徑向深度對系統(tǒng)固有頻率和顫振臨界流速的影響，研究了端部簡支輸流管道在內(nèi)部流體振蕩作用下的非線性動力學(xué)特性；胡家順等[6-8]推導(dǎo)并求解了管道裂紋處的局部柔度系數(shù)方程，采用有限元法研究了簡支裂紋管道和懸臂裂紋管道的固有振動特性和裂紋的識別.

本文主要以兩端受線性彈簧支承的輸流管道為研究對象，分析其含有圓周方向非貫穿裂紋時的靜態(tài)失穩(wěn)及動態(tài)失穩(wěn)臨界流速.依據(jù)梁的模態(tài)函數(shù)一般表達式和裂紋處的關(guān)聯(lián)式，采用傳遞矩陣法推導(dǎo)出含裂紋兩端彈性支承梁的模態(tài)函數(shù)，根據(jù)特征方程具體分析裂紋部位、裂紋徑向深度和裂紋周向的圓周角對流固耦合管道系統(tǒng)的失穩(wěn)臨界流速的影響.

1 系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)

1.1 模態(tài)函數(shù)的推導(dǎo)

端部線性彈簧支承的裂紋管道模型如圖1所示.兩端的彈性支承系數(shù)分別為K1、K2，管長為L，裂紋位于圖示坐標的xc處，按梁模型處理，其模態(tài)函數(shù)為：

φx=C1sinλx+C2cosλx+

C3sinhλx+C4coshλx

(1)

圖1 端部線性彈簧支承的裂紋管道模型

管段不含裂紋段時，必須滿足如下的關(guān)系式：

(2)

所以，有

(3)

(4)

不含裂紋管段的任意兩點(x2>x1)，有：

(5)

P=Tx2T-1x1

(6)

對于裂紋管道的左側(cè)有：

(7)

對于裂紋管道的右側(cè)有：

(8)

式中:

PL=TxcT-10，PR=TLT-1xc

(9)

管段裂紋處，根據(jù)Dimarogonas和Paipeties理論[9]，有：

(10)

式中:

(11)

C是由圓周方向的裂紋引起的局部柔度系數(shù)，計算式見式(21).

由此可得管道裂紋處的傳遞矩陣為：

(12)

式中:

(13)

得到總傳遞矩陣P：

P=PL·Pc·PR

(14)

參數(shù)傳遞關(guān)系：

(15)

兩端彈性支撐管道的邊界條件為：

(16)

將式(2)代入式(16)，并由式(15)可得：

(17)

式(17)有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式的值為零，即：

(18)

展開式(18)，可求出各階特征值λ.

此外，將式(1)代入式(16)，并令：

式中:k1和k2分別為線性彈簧剛度系數(shù)K1和K2的無量綱量，由此可得：

由此可解得：

(19)

式中:

得到模態(tài)函數(shù)為：

(20)

1.2 由裂紋引起的局部柔度系數(shù)

在純彎矩作用下，由管道外壁面的圓周方向裂紋引起的局部柔度系數(shù)C按下式計算：

(21)

式中:E是彈性模量;ν為泊松比;De為管道外徑;Di為內(nèi)徑;a為裂紋徑向深度.

可將局部柔度系數(shù)進一步化為無量綱形式：

(22)

2 系統(tǒng)運動方程

如圖1所示的輸流管道系統(tǒng)的線性運動方程為[10-11]：

(23)

式中:mf為管道單位長度的流體質(zhì)量;m為管道單位長度的總質(zhì)量;Af為管道過流截面積;v是管內(nèi)流體流速;p是管內(nèi)流體的壓強;ν為管材泊松比;μ是管材的Kelvin-Voigt黏彈性系數(shù)；E是管材的彈性模量；I是管道的截面模量；EI是管道的抗彎剛度；T為管道受到的軸向力；x是管截面位置坐標；y為管道橫向振動時位移.

引入下列無量綱參數(shù)：

(24)

可將方程(23)化為無量綱形式：

(25)

設(shè)方程(25)的解為：

(26)

將式(26)代入式(25)后兩邊同乘以模態(tài)函數(shù)φj(ξ),(j=1,2)，然后在區(qū)間[0，1]上進行積分，可得：

(27)

式中:質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K的計算式為：

C=αB1+2β0.5uB2

K=B1+u2+p-ΓB3

q=(q1,q2)T,(i,j=1,2)

令：

R=-M-1C,S=-M-1K

將式(27)簡化為：

(28)

(29)

式中：

這里rij、sij(i,j=1,2)為矩陣R、S的元素.

3 動力學(xué)特性

方程(29)中A的特征方程為

ω4+P1ω3+P2ω2+P3ω+P4=0

(30)

式中：

仿真計算參數(shù)設(shè)為：α=0.002，β=0.3，Γ=5，p=5，k1=k2=50，d=Di/De=0.925 9，θ=π/6，ξc=0.5.若某參數(shù)取變化的值(圖中的橫坐標)，則此時探討該參數(shù)對管道系統(tǒng)頻率或失穩(wěn)臨界流速的影響，其他有變化的參數(shù)將標注在圖中.通過仿真計算，得到圖2～圖4所示的結(jié)果，現(xiàn)分別作如下的分析和討論.

圖2顯示的曲線是不同徑向裂紋深度下系統(tǒng)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋位置變化的規(guī)律.

圖2 不同徑向裂紋深度下臨界流速隨裂紋位置的變化曲線

從圖2(a)和圖(b)可以看出：因裂紋的產(chǎn)生，靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速與無裂紋管道相比增大，隨裂紋出現(xiàn)的不同位置，其增大的幅值發(fā)生變化，當裂紋出現(xiàn)在管道中點時，靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速增大最多，且隨裂紋深度的增加其變化的幅值增大；動態(tài)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋位置和裂紋深度的變化較復(fù)雜，對于較小的裂紋深度，其動態(tài)失穩(wěn)臨界流速與無裂紋管道相比也增大，隨裂紋出現(xiàn)的不同位置，增大的幅值發(fā)生變化，當裂紋出現(xiàn)在管道中點時，動態(tài)失穩(wěn)臨界流速增大最多，且隨裂紋深度的增加其變化的幅值增大，對于較大的裂紋深度，當裂紋出現(xiàn)在管道中部時，動態(tài)失穩(wěn)臨界流速會發(fā)生突然下降，且下降幅值較大，甚至低于靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速值，并使得管道系統(tǒng)的失穩(wěn)形態(tài)發(fā)生相應(yīng)的變化，由靜態(tài)失穩(wěn)轉(zhuǎn)變到動態(tài)失穩(wěn)，而且隨著裂紋徑向尺寸的增加，出現(xiàn)低動態(tài)失穩(wěn)臨界流速值的中部裂紋位置區(qū)域增大、動態(tài)失穩(wěn)臨界流速值降低，即隨著裂紋深度的增大，管道出現(xiàn)動態(tài)失穩(wěn)的中部區(qū)域擴大.

圖3所示為管道中點處裂紋在3種徑向深度下的失穩(wěn)臨界流速隨裂紋圓周角的變化曲線.

圖3 不同徑向裂紋深度下臨界流速隨裂紋圓周角的變化曲線

由圖3(a)靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速曲線看出：管道靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋圓周角的增大而上升，裂紋深度越深其變化越大.從圖3(b)得出：管道動態(tài)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋圓周角的變化則還與裂紋的深度相關(guān)，裂紋深度較小時，動態(tài)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋圓周角的增大而上升；裂紋深度較大時，動態(tài)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋圓周角的增大先上升然后突然下降，且下降的幅值較大，爾后再緩慢降低.系統(tǒng)動態(tài)失穩(wěn)臨界流速發(fā)生突然下降使得其值小于靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速，即管道會先發(fā)生動態(tài)失穩(wěn)，這種變化與上述圖2所示的結(jié)果一致.

圖4所示是裂縫位于管道中點處時的失穩(wěn)臨界流速隨裂紋相對徑向深度的變化規(guī)律.從圖4中看出：靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋深度的增加變化很小，正如圖2(a)中的五種裂紋深度下ξc=0.5處的變化最大值只為0.07；然而，動態(tài)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋相對深度的變化則很大，先隨著裂紋徑向深度的增大而上升，然后在a/δ=0.44時系統(tǒng)動態(tài)失穩(wěn)臨界流速突然急降，使得管道的失穩(wěn)形態(tài)由靜態(tài)失穩(wěn)轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)失穩(wěn)，之后則隨裂紋徑向深度的增大，系統(tǒng)動態(tài)失穩(wěn)臨界流速值下降.

圖4 系統(tǒng)臨界流速隨裂紋徑向深度的變化曲線

4 結(jié) 論

運用傳遞矩陣法分析研究了兩端受線性彈簧支承的輸流管道含圓周非貫穿裂紋時的失穩(wěn)臨界流速，得出如下的結(jié)論.

(1) 與無裂紋管道相比，管道靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速增大，隨裂紋出現(xiàn)的位置不同，其增大的幅值發(fā)生變化.當裂紋出現(xiàn)在管道中點時，靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速增大最多，且隨裂紋深度的增加其變化的幅值增大，但上升的總量很小；管道靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速隨裂紋圓周角的增大而上升，裂紋深度越大其變化的幅度就越大.

(2) 系統(tǒng)的動態(tài)失穩(wěn)臨界流速與所討論的包括裂紋部位、裂紋圓周角(周向?qū)挾?和裂紋徑向深度等參數(shù)相關(guān)聯(lián)，且隨這三參數(shù)的變化較復(fù)雜，都出現(xiàn)不連續(xù)的突變現(xiàn)象，裂紋深度和圓周角足夠大或者裂紋發(fā)生在管道中部位置時，系統(tǒng)的動態(tài)失穩(wěn)臨界流速可能引起突然下降到小于靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速，也即是管道的失穩(wěn)形態(tài)將從靜態(tài)失穩(wěn)轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)失穩(wěn).

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Abstract: The critical instability flow velocity of fluid conveying pipe,whose ends were supported by linear springs and surface contained a circumferentialpart-through crack,was investigated.The modal function of the cracked pipe has been obtained by using transfer matrix method on the basis of general expression of modal function and the relationship at the cracked sectionof beam.The influences of these parameters such as crack location,crack depth and circumferential angle of crack on critical instability flow velocity were investigated on the basis of eigenequation of the piping system.The numerical results showed that system critical instability flow velocity changed complexlydue to the existing cracks on the surface of pipe and was synthetically related with crack location,crack depth and circumferential angle of crack.As a result,the instability pattern may transfer from static divergence to dynamic flutter.

Keywords: cracked pipe of conveying fluid; FSI; transfermatrix method; dynamic instability; critical flow velocity

StudyonCriticalInstabilityFlowVelocityofCrackedPipeConveyingFluidElasticallySupportedatEndsUsingTransferMatrixMethod

BAO Ri-dong, LI Shan-shan

(Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

10.3969/j.issn.2095-2198.2017.03.009

O322

A

2015-09-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(51275315)

包日東(1967-)，男，福建上杭人，教授，博士，主要從事輸流管道流固耦合動力學(xué)、油氣管道輸送技術(shù)等研究.

2095-2198(2017)03-0240-06