梁鳳超，譚爽，黃剛，康建兵，林喆，康曉軍

（北京空間機電研究所，北京 100094）

基于ADAMS與MATLAB的Stewart次鏡平臺聯(lián)合仿真

梁鳳超，譚爽，黃剛，康建兵，林喆，康曉軍

（北京空間機電研究所，北京 100094）

Stewart平臺調整次鏡位姿補償像差，是提高空間相機成像質量的有效方法。為驗證Stewart次鏡平臺機械及控制系統(tǒng)的可行性、正確性、提高設計效率，基于ADAMS與MATLAB接口技術，建立了Stewart平臺機械與控制系統(tǒng)機電混合模型，進行了機電聯(lián)合仿真研究。首先，對Stewart次鏡平臺進行了運動學理論分析，建立了運動學數(shù)學模型；然后，在ADAMS中建立了Stewart平臺虛擬樣機并進行運動學仿真，ADAMS中仿真結果與理論計算一致；再將ADAMS中Stewart平臺動力學模型導出并嵌入MATLAB中，建立了機電聯(lián)合系統(tǒng)模型；最后，以典型的階躍和正弦位姿軌跡信號，對Stewart平臺的位姿調整性能進行了仿真研究。仿真結果表明，Stewart次鏡平臺具有較高的穩(wěn)態(tài)精度和較好的動態(tài)性能，仿真參數(shù)和數(shù)據(jù)為Stewart平臺的研制提供了必要的設計依據(jù)。

ADAMS；Stewart；次鏡；并聯(lián)機構；運動學；動力學；虛擬樣機

空間相機受發(fā)射沖擊、振動及在軌溫度環(huán)境變化、應力釋放等因素影響，可能會引起主次鏡相對位置的誤差及次鏡傾斜，造成相機的成像質量下降。為保證主次鏡光路的精確重合與對準，需要對次鏡的位置與姿態(tài)做實時調整。六自由度Stewart并聯(lián)機構作為次鏡調整機構，具有高精度、高剛度、高穩(wěn)定性，誤差小、摩擦小、動態(tài)性能好等優(yōu)點［1-6］。但并聯(lián)機構是一個多輸入、多輸出系統(tǒng)，桿間耦合性強，控制過程復雜。在制造Stewart次鏡平臺的實物之前，須對并聯(lián)機構機械系統(tǒng)和控制系統(tǒng)進行仿真研究，為其結構優(yōu)化、控制器設計、模擬運動提供理論依據(jù)和主要參數(shù)。

傳統(tǒng)的機電系統(tǒng)設計是分別設計機械和控制系統(tǒng)，在物理樣機測試時第一次將兩個設計結果結合起來，容易發(fā)生機械和控制系統(tǒng)不匹配問題，設計修改量大，設計效率低。因此，急需一種從設計伊始就同時考慮機械、控制系統(tǒng)，將二者建立在同一仿真模型中進行機電聯(lián)合仿真的設計方法。聯(lián)合仿真就是不同的仿真程序在同一步長時刻下交換參數(shù)和數(shù)據(jù)，然后各自進行求解計算的方法。這種方法能夠有效結合多種軟件的優(yōu)點，實現(xiàn)并聯(lián)機構的設計要求，提高設計的效率和質量。ADAMS可以與MATLAB之間進行控制數(shù)據(jù)交換，本文通過ADAMS/Control模塊和MATLAB的接口來實現(xiàn)Stewart次鏡平臺的機電聯(lián)合仿真。

1 Stewart并聯(lián)機構運動學分析

并聯(lián)機構運動學分析是求解并聯(lián)機構的輸入與輸出構件之間的位置、速度、加速度之間的關系。運動學分析是進行動力學分析、結構優(yōu)化設計、控制策略研究的基礎。

1.1 理論基礎

如圖1所示，Stewart并聯(lián)機構由上下兩個平臺和6個并聯(lián)的、可獨立自由伸縮的桿件組成。六根支桿和平臺之間通過虎克鉸Ai和球鉸Bi連接，通過控制六根支桿長度來實現(xiàn)動平臺（上平臺）的位姿調整。為了定量地表示動平臺各處的坐標，在靜平臺的綜合質心處建立慣性坐標系（靜坐標系）O-xyz，坐標原點為O，在上平臺的綜合質心處建立連體坐標系（動坐標系）P-XYZ，坐標原點為P，各坐標系的方向如圖1所示。將歐拉定理中提到的剛體繞某一軸的有限轉動分解為依一定順序繞連體坐標軸的3次有限轉動，則每次轉過的角度可定義為確定剛體轉動前后相對位置的3個廣義坐標［7］。本文選取繞X→Y→Z坐標軸的順序旋轉，轉動的歐拉角分別為U、V、W。經(jīng)過三次旋轉之后，由旋轉矩陣的性質可以得到公式（1）所示的旋轉變換矩陣：

其 中 ，cU=cos(U),cV=cos(V),cW=cos(W)，sU=sin(U),sV=sin(V),sW=sin(W)。動平臺姿態(tài)廣義坐標為q=[X,Y,Z,U,V,W]T時，各支桿的長度如公式（2）所示：

其中，矢量li為圖1所示的支桿矢量AiBi，li為桿長，i=1，2，…，6。至此，建立了并聯(lián)機構運動學逆解數(shù)學模型。

圖1 Stewart并聯(lián)機構坐標系

1.2 運動學仿真

為在ADAMS中對Stewart次鏡平臺進行運動學仿真研究，須在ADAMS中建立Stewart次鏡平臺的虛擬樣機模型。ADAMS提供了參數(shù)化建模功能，即將所建立模型的特征值都用ADAMS中的設計參數(shù)表示，這樣，模型就會隨著設計參數(shù)的修改而自動改變，大大簡化了人工修改過程，特別利于機械結構的優(yōu)化設計。

圖2 Stewart并聯(lián)機構參數(shù)化虛擬樣機

在ADAMS/View中，將上鉸點Bi、下鉸點Ai的坐標及平臺半徑等設置為變量，建立了如圖2所示的參數(shù)化虛擬樣機模型。為模擬并聯(lián)機構的運動，還需要給各個部件之間添加正確的約束。靜平臺與大地之間采用固定副約束，使靜平臺固定于大地；鉸點Ai處以T型鉸約束，使支桿的靜桿與靜平臺之間只具有2個轉動自由度；鉸點Bi處以球型鉸約束，使支桿的動桿與動平臺之間只具有3個轉動自由度；支桿的動桿與靜桿之間以移動副約束，使二者之間只具有1個平移自由度，實現(xiàn)支桿的伸縮。這樣，可以以此虛擬樣機為基礎，對Stewart次鏡平臺進行運動學仿真研究。

在動平臺中心處同時施加六個自由度的一般點運動激勵，使動平臺實現(xiàn)沿X、Y、Z軸的移動以及沿X、Y、Z軸的旋轉，以此來模擬動平臺在實際工作中的一般運動。進行運動仿真后得到了如圖3所示的各支桿的長度變化曲線，此即運動學逆解。再根據(jù)公式（1）、（2），應用MATLAB編程計算運動學逆解，即各支桿的實時長度。經(jīng)比較，MATLAB計算支桿實時長度曲線與ADAMS仿真得到的曲線誤差在10-5mm量級，說明兩種模型在同一時刻，支桿的伸縮量一致，理論模型和ADAMS虛擬樣機是正確的，可用此虛擬樣機進行機電聯(lián)合仿真。

圖3 ADAMS中運動學逆解

2 Stewart次鏡平臺機電聯(lián)合仿真

ADAMS/Control模塊與MATLAB控制程序之間的聯(lián)合仿真，實際上是ADAMS提供模型系統(tǒng)方程的參數(shù)接口，由MATLAB控制程序提供控制方案、求解控制方程；ADAMS軟件可自動建立求解動力學方程［8］，由ADAMS的求解器求解系統(tǒng)方程，在求解過程中，每經(jīng)過一定時間間隔，二者進行一次數(shù)據(jù)交換。

2.1 控制策略

并聯(lián)機構是個多輸入多輸出、高度非線性、強耦合系統(tǒng)，其控制問題一直是個難題。并聯(lián)機構平臺依靠合理并且實用的控制策略來充分發(fā)揮其性能潛力，控制策略將直接決定系統(tǒng)最終達到的性能指標。在實踐中得到廣泛應用的還是傳統(tǒng)的PID控制算法［9］，六自由度Stewart并聯(lián)平臺最常用的控制策略是基于鉸點空間的PID控制。這種控制方法對Stewart平臺的各個單通道系統(tǒng)分別設計PID控制器，即分別控制六個支桿完成各自既定動作來控制動平臺位姿。鉸點空間PID控制能夠充分發(fā)揮其結構簡單、調試方便的特點，使六自由度平臺迅速地運行起來，因此在工程上鉸點空間PID控制應用是最廣泛的。

基于并聯(lián)機構運動學的鉸點空間PID控制框圖如圖4所示?？刂七^程為，首先根據(jù)上平臺姿態(tài)的目標軌跡qr，應用運動學逆解模塊計算出每個支桿的目標軌跡，即各支桿的運動學逆解桿長lir；然后lir與各支桿的實際長度相減得到桿長誤差Δlir，Δlir輸入到支桿各自的PID控制器，經(jīng)計算得到各桿位移量指令；位移指令經(jīng)驅動執(zhí)行機構驅動各桿運動Δli長度；桿長位移傳感器將桿長的實際值li反饋給控制器，實現(xiàn)各桿桿長的位置閉環(huán)控制；根據(jù)并聯(lián)機構運動學逆解即平臺位姿與桿長的對應關系，實現(xiàn)六桿驅動動平臺位姿q對目標位姿qr的跟蹤。

圖4 并聯(lián)機構鉸點空間PID控制

2.2 聯(lián)合仿真系統(tǒng)模型建立

為了進行ADAMS與MATLAB的聯(lián)合仿真，實現(xiàn)機械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)之間的參數(shù)傳遞，需要利用ADAMS/control接口模塊，在ADAMS中建立聯(lián)合仿真系統(tǒng)所需要的輸入輸出變量后，將ADAMS中的Stewart平臺機械系統(tǒng)導入到MATLAB中，作為MATLAB/Simulink的—個子系統(tǒng)，以便在MATLAB中利用Simulink仿真模塊搭建聯(lián)合仿真系統(tǒng)，從而實現(xiàn)機械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)的聯(lián)合仿真。

在ADAMS中建立的變量共18個：包括6個控制桿長的桿位移變量，為平臺系統(tǒng)的輸入變量，用于接收PID控制器輸出的桿長指令；6個桿長反饋變量，作為平臺系統(tǒng)的輸出變量，用于反饋六個支桿的實時長度，供MATLAB做桿長閉環(huán)控制；還有動平臺位姿的6個自由度反饋變量，作為平臺系統(tǒng)的輸出變量，用于分析給定位姿與實際位姿之間的誤差。

圖5 聯(lián)合仿真機械子系統(tǒng)

在MATLAB中調ADAMS/control模塊，再輸入命令adams_sys，MATLAB將會產(chǎn)生Stewart并聯(lián)機構機械子系統(tǒng)模塊，如圖5所示。模塊左端有6個輸入變量InputDispDrive_Strut（1-6），用于接受MATLAB控制器的控制指令，右端有12個輸出變量，其中Output_Strut（1-6）Length為桿長反饋值，MovPlat_（X，Y，Z，U，V，W）為動平臺位姿反饋變量。

在MATLAB中建立的機電聯(lián)合仿真系統(tǒng)模型如圖6所示。Reverse Solver是Stewart次鏡平臺的運動學逆解計算模塊，adams_sub為Stewart次鏡平臺機械系統(tǒng)。對動平臺運動軌跡規(guī)劃后輸入目標位姿變量q=[X,Y,Z,U,V,W]T，經(jīng)Reverse Solve計算得到各桿的長度Li及桿長指令與實際桿長長度誤差ei=Li-Li_VP；ei經(jīng)PI控制器后轉化為各桿的位移指令，作為adams_sub的輸入變量Input-DispDrive_Strut（i）來驅動各桿運動，從而驅動動平臺運動；桿長的實際長度Output_Strut（i）Length作為adams_sub的輸出變量實時反饋給Reverse Solver，經(jīng)模塊內(nèi)部比較計算得到桿長誤差ei。其中ei為桿長實時誤差，Li為運動學逆解得到的各桿目標桿長，Li_VP為Stewart次鏡平臺各桿的實際長度，i=1，2，...，6。這樣，通過對各個支桿長度的精確閉環(huán)控制，就可以實現(xiàn)對并聯(lián)機構動平臺位姿的精確控制。

2.3 機電聯(lián)合仿真實驗

Stewart次鏡平臺的作用是精確調整次鏡位姿，為點到點運動，要求次鏡位姿精度及位姿穩(wěn)態(tài)精度高，而對于次鏡運動的動態(tài)性能不做過高要求。為了對Stewart平臺位姿調整性能進行驗證，以位姿階躍軌跡信號測試聯(lián)合仿真系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，以正弦軌跡信號了解其動態(tài)性能。

圖7所示為動平臺在位姿階躍信號q=［5，5，5，5，5，5］T的激勵下，六支桿的位置響應曲線。從圖7可以看出，在位姿階躍信號作用下，桿1～桿6從零位開始運動到穩(wěn)定在目標位置的時間分別為3.12s、3.29s、3.53s、3.46s、3.08s和3.43s，均迅速達到了穩(wěn)態(tài)，且穩(wěn)態(tài)值與指令值相等，無穩(wěn)態(tài)誤差。在ADAMS的仿真動畫中可以看出，Stewart次鏡平臺由初始姿態(tài)迅速運動到指令給定的姿態(tài)，并穩(wěn)定地保持該姿態(tài)不變。可見，桿1～桿6能夠驅動動平臺，在較短的響應時間內(nèi)，由初始位置運動到目標位置并穩(wěn)定在指令給定的目標位置。

圖6 Stewart次鏡平臺機電聯(lián)合仿真系統(tǒng)模型

圖7 六支桿位置對階躍信號響應曲線

當輸入目標軌跡為5*sin（2*pi*0.1*t）時，即動平臺3個平移自由度目標軌跡是幅值5mm、周期10s的正弦信號；3個轉動自由度目標軌跡是幅值5度、周期10s的正弦信號。在此復合信號的激勵下，各桿的響應曲線如圖8所示。從圖8的仿真曲線也可以看出，各支桿可以比較精確的跟蹤給定的正弦指令，時間延遲約為0.2s，各支桿具有較好的動態(tài)特性。由圖7-圖8可見，Stewart平臺機電聯(lián)合系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。

圖8 動平臺六桿對正弦指令的跟蹤

需要指出的是：實際工程實現(xiàn)上，各支桿位移分辨率是有限的，仿真的理想連續(xù)運動在實際工程上是離散的運動，這會造成平臺的精度受限于桿的分辨率，并且平臺各自由度可能會出現(xiàn)耦合。因此，在工程應用的設計時，還需要根據(jù)平臺位移分辨率的要求，進行支桿位移分辨率的逆解仿真，得到所需的支桿分辨率；之后再依據(jù)支桿分辨率進行正解，校核平臺的位移分辨率。經(jīng)過反復迭代，得到滿足平臺精度指標、并且工程上可實現(xiàn)的支桿精度要求。

3 結論

本文建立了六自由度Stewart次鏡平臺機電聯(lián)合仿真系統(tǒng)，保證了機械與控制系統(tǒng)設計人員共享同一數(shù)據(jù)模型，避免了模型數(shù)據(jù)的不同步。以位姿階躍軌跡信號仿真系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，以正弦軌跡信號仿真動態(tài)性能，仿真結果驗證了基于鉸點空間PID的控制策略，能夠實現(xiàn)對六支桿的精確控制，使其快速精確定位到指令目標位置，從而實現(xiàn)動平臺位姿的快速、精確控制。

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Co-simulation of Stewart Platform for Secondary Mirror Based on ADAMS and MATLAB

LIANG Fengchao，TAN Shuang，HUANG Gang，KANG Jianbing，LIN Zhe，KANG Xiaojun
（Beijing Institute of Space Mechanics&Electricity，Beijing 100094）

In order to increase the design efficiency and verify the feasibility and correctness of the mechanical and control system of a Stewart platform for second mirror pose tuning，a co-simulation of the electro-mechanical system of the Stewart platform was studied based on the platform’s electro-mechanical model created using ADAMS and MATLAB interface technology.First，kinematics mathematical model was created using theory of inverse kinematics of the parallel mechanism.Then，the simulation of kinematics was performed after the virtual prototype of the Stewart platform was created in ADAMS，and the simulation results was consistent with the theoretical calculation.Then the model of electro-mechanical system of the Stewart platform was established by exporting the ADAMS virtual prototype and embedded it in the control model of MATLAB.Finally，performance of pose tuning was studied by using typical step and sinusoidal signals as posture trajectory of the Stewart platform.The simulation results show that the Stewart platform for the secondary mirror has a high steady accuracy and good dynamic performance，and the simulation parameters and data provide the necessary design basis for the development of the Stewart platform.

ADAMS；Stewart；secondary mirror；parallel manipulator；kinematics；dynamics；virtual prototyping

TH113.2+2

A

1672-9870（2017）04-0058-05

2016-10-24

梁鳳超（1978-），男，博士，高級工程師，E-mail：fc.liang@qq.