薛 利 敏

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,陜西 渭南 714099)

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

特殊矩陣的對(duì)角化問題研究

薛 利 敏

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,陜西 渭南 714099)

矩陣對(duì)角化問題是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)重要內(nèi)容，一個(gè)n階矩陣具備什么條件才能對(duì)角化是一個(gè)較復(fù)雜的問題。文章根據(jù)矩陣對(duì)角化的理論和某些特殊矩陣的特殊性質(zhì)，對(duì)數(shù)量矩陣、上三角形矩陣、分塊對(duì)角矩陣等一些特殊矩陣的對(duì)角化問題進(jìn)行了探討和研究，得出了這些特殊矩陣能否對(duì)角化的條件和結(jié)論。同時(shí)，還給出了將某些特殊矩陣對(duì)角化的具體方法。

數(shù)量矩陣；上三角形矩陣；分塊對(duì)角矩陣；對(duì)角化

矩陣?yán)碚撆c方法已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具，數(shù)值分析、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、力學(xué)、網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科與矩陣?yán)碚撚兄芮械穆?lián)系。[1]對(duì)角矩陣可以認(rèn)為是矩陣中最簡單的一種，無論是計(jì)算它的乘積、逆矩陣、高次冪還是求特征值都特別方便。[2]矩陣的對(duì)角化問題是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)重要內(nèi)容，所謂把矩陣A對(duì)角化，就是尋求相似變換矩陣P，使P-1AP=Λ為對(duì)角矩陣。[3]一個(gè)n階矩陣具備什么條件才能對(duì)角化？這是一個(gè)較復(fù)雜的問題，而對(duì)數(shù)量矩陣、上三角形矩陣、分塊對(duì)角矩陣等一些特殊矩陣確有一些特殊的結(jié)論。筆者根據(jù)這些特殊矩陣的特點(diǎn)和性質(zhì)，對(duì)這些特殊矩陣的對(duì)角化問題進(jìn)行探討和研究，得出了這些特殊矩陣能否對(duì)角化的條件和結(jié)論。

證明 充分條件：設(shè)數(shù)量矩陣A=aE，因?yàn)榇嬖诳赡娴膯挝痪仃嘐，使得E-1AE=A，即矩陣A與A相似，所以數(shù)量矩陣與數(shù)量矩陣相似。

必要條件：設(shè)矩陣A與數(shù)量矩陣B=bE相似，則存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B=bE，兩邊取逆，得A=PbEP-1=bPEP-1=bE=B，所以A是數(shù)量矩陣。

由定理1可以得到以下結(jié)論：

推論1n(n≥2)階非數(shù)量矩陣A能對(duì)角化的必要條件是A有不同的特征值。

推論2 如果n(n≥2)階矩陣A的特征值都相等，且A不是數(shù)量矩陣，則矩陣A不能對(duì)角化。

定理2[4]如果n階可逆矩陣A能對(duì)角化，那么A的逆矩陣A-1和A的伴隨矩陣A*都能對(duì)角化。

因?yàn)榫仃嘇可逆，所以矩陣A的每個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn都不等于0，對(duì)上式兩邊取逆，得

因此A的逆矩陣A-1也能對(duì)角化。

又因?yàn)锳的伴隨矩陣A*=|A|A-1，則由上式可得

故A的伴隨矩陣A*也能對(duì)角化。

定理3 如果n階矩陣A能對(duì)角化，那么

(1)矩陣A的冪Am也能對(duì)角化。

(2)矩陣A的多項(xiàng)式φ(A)=a0E+a1A+…+amAm也能對(duì)角化。

所以矩陣A的冪Am也能對(duì)角化。

(2)因?yàn)镻-1φ(A)P=a0P-1EP+a1P-1AP+…+am(P-1AP)m

所以矩陣A的多項(xiàng)式φ(A)=a0E+a1A+…+amAm也能對(duì)角化。

定理4 如果n階矩陣A能對(duì)角化，那么A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也能對(duì)角化。

兩邊取轉(zhuǎn)置，得

(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTAT(PT)-1

令(PT)-1=Q，則PT=Q-1，由上式可得

故A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也能對(duì)角化。

推論3 如果矩陣A不能對(duì)角化，那么A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也不能對(duì)角化。

(1)矩陣A的主對(duì)角線上的元素aii(i=1,2,…,n)互不相等，則A能對(duì)角化。

(2)矩陣A的主對(duì)角線上的元素aii(i=1,2,…,n)都相等，即a11=a22=…=ann，且元素aij(i

證明 (1)由于A是上三角形矩陣，所以其主對(duì)角線上的元素aii(i=1,2,…,n)就是矩陣A的所有特征值，而aii(i=1,2,…,n)互不相等，所以矩陣A有n個(gè)不同的特征值，故A能對(duì)角化。

(2)由已知條件知，矩陣A只有n個(gè)相等的特征值，而矩陣A不是數(shù)量矩陣，由定理1的推論可得，矩陣A不能對(duì)角化。

定理5的條件只是充分條件，不滿足定理5中條件的其他上三角形矩陣能否對(duì)角化，還是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，需要具體情況具體分析，下面通過例題加以說明。

證明 由|A-λE|=(λ-1)3(λ-2)(λ-3)=0得矩陣A的特征值為λ1=λ2=λ3=1,λ4=2,λ5=3。

矩陣A能對(duì)角化的充分必要條件是對(duì)應(yīng)三重特征值λ1=λ2=λ3=1,有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即方程組(A-E)x=0有3個(gè)線性無關(guān)的解，而系數(shù)矩陣

的秩R(A-E)=4，所以方程組(A-E)x=0只有一個(gè)線性無關(guān)的解，即矩陣A對(duì)應(yīng)的三重特征值λ1=λ2=λ3=1,沒有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故矩陣A不能對(duì)角化。

證明 由|A-λE|=(λ-1)3(λ-2)(λ-3)=0得矩陣A的特征值為λ1=λ2=λ3=1,λ4=2,λ5=3。因?yàn)榉匠探M(A-E)x=0的系數(shù)矩陣

的秩R(A-E)=2，所以矩陣A對(duì)應(yīng)的三重特征值λ1=λ2=λ3=1,有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故矩陣A能對(duì)角化。

證明 由|A-λE|=(λ-1)2(λ-4)=0得，矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=4，因?yàn)榉匠探M(A-E)x=0的系數(shù)矩陣

的秩R(A-E)=2，所以矩陣A對(duì)應(yīng)的二重特征值λ1=λ2=1，只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故矩陣A不能對(duì)角化。

證明 由|A-λE|=(λ-1)2(λ-3)=0得，矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=3，因?yàn)榉匠探M(A-E)x=0的系數(shù)矩陣

的秩R(A-E)=1，所以矩陣A對(duì)應(yīng)的二重特征值λ1=λ2=1，有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故矩陣A能對(duì)角化。

例3和例4說明，雖然兩個(gè)上三角形矩陣都有兩個(gè)相等的特征值，但是一個(gè)能對(duì)角化，另一個(gè)卻不能對(duì)角化。也就是說，像例3和例4中的矩陣能否對(duì)角化，沒有一般規(guī)律可循。

定理6及推論5不僅給出了分塊對(duì)角矩陣能對(duì)角化的條件，而且給出了將分塊對(duì)角矩陣對(duì)角化的具體方法，這種方法大大減少了將分塊對(duì)角矩陣對(duì)角化的計(jì)算工作量。

以上我們探討和研究了數(shù)量矩陣、上三角形矩陣、分塊對(duì)角矩陣等一些特殊矩陣的對(duì)角化問題，給出了這些特殊矩陣能否對(duì)角化的條件和結(jié)論。與此同時(shí)，也給出了將這些特殊矩陣對(duì)角化的具體方法，有些方法可以直接判斷矩陣能否對(duì)角化，有些方法可以減少矩陣對(duì)角化的計(jì)算工作量。雖然我們僅僅研究了一些特殊矩陣的對(duì)角化問題，但是，這些方法和結(jié)論對(duì)于一般矩陣的對(duì)角化問題具有一定的借鑒作用。

[1] 秦建國，謝棟梁，王靜娜.一類可以對(duì)角化的矩陣[J].鄭州輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013,(4)：106-108.

[2] 徐新萍.有關(guān)對(duì)角化問題綜述[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，(6)：45-46.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].第6版.北京：高等教育出版社，2016.

[4] 俱鵬岳.淺談特殊矩陣的對(duì)角化問題[J].西昌學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，(6)：29-33.

【責(zé)任編輯牛懷崗】

Abstract: Matrix diagonalization is an important part of matrix theory. It is a more complicated problem for the condition of a matrix to diagonalize. Based on the theory of matrix diagonalization and the special properties of some special matrices, the paper discussed and studied the diagonalization of some special matrices such as quantity matrix, upper triangular matrix and block diagonal matrix, and obtained the diagonalization of the conditions and conclusions. Finally it gives some special matrix diagonalization of the specific method.

Keywords:quantity matrix; upper triangular matrix; block diagonal matrix; diagonalization

ResearchonDiagonalizationofSpecialMatrices

XUE Li-min

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

O151

A

1009-5128(2017)20-0036-06

陜西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題：中學(xué)數(shù)學(xué)微課設(shè)計(jì)制作實(shí)踐研究(SGH16B223)

2017-08-10

薛利敏(1960—)，男，陜西韓城人，渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院教授，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與運(yùn)籌學(xué)研究。