陳書涵，高 潔，丁文強(qiáng)，嚴(yán)宏志，明興祖

（1. 中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南 株洲 412002；2. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長沙 410004；3. 長沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，湖南 長沙 410114；4. 湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

安裝誤差對面齒輪傳動(dòng)接觸軌跡與接觸應(yīng)力的影響規(guī)律

陳書涵1,2,3，高 潔1，丁文強(qiáng)1，嚴(yán)宏志2，明興祖4

（1. 中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南 株洲 412002；2. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長沙 410004；3. 長沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，湖南 長沙 410114；4. 湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

基于面齒輪傳動(dòng)嚙合原理，建立了含安裝誤差的面齒輪齒面方程，進(jìn)而得出了面齒輪齒面主曲率及接觸應(yīng)力的計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上，分別分析了軸向偏移誤差、軸交角誤差和軸交錯(cuò)誤差對面齒輪傳動(dòng)的接觸軌跡與接觸應(yīng)力的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明：各項(xiàng)誤差條件下，接觸應(yīng)力均從齒頂?shù)烬X根逐漸變??；所分析的誤差中，軸交角誤差與軸交錯(cuò)誤差對面齒輪的接觸軌跡與接觸應(yīng)力的影響較大，且當(dāng)軸交角誤差為負(fù)或軸交錯(cuò)誤差為正時(shí)，接觸應(yīng)力仿真值均明顯高于無誤差時(shí)的接觸應(yīng)力正常值，因此在安裝面齒輪副時(shí)，應(yīng)該嚴(yán)格控制此二項(xiàng)誤差的下上偏差。

面齒輪；安裝誤差；主曲率；接觸應(yīng)力

1 研究背景

長期以來，直升機(jī)主減速器的傳動(dòng)性能與可靠性、簡化主減速器的結(jié)構(gòu)、減輕其質(zhì)量，一直是人們關(guān)注的重點(diǎn)[1]。在此情況下，尋找替代螺旋錐齒輪傳動(dòng)的面齒輪傳動(dòng)技術(shù)體現(xiàn)了其優(yōu)越性，并逐步得到了廣大科研人員的重視。面齒輪傳動(dòng)[2-3]是圓柱齒輪與一環(huán)形端面齒輪嚙合構(gòu)成的正交與非正交傳動(dòng)，兩軸線正交的面齒輪傳動(dòng)如圖1所示。

圖1 正交面齒輪副示意圖Fig. 1 Sketch of orthogonal surface gear pair

由于面齒輪傳動(dòng)具有傳動(dòng)平穩(wěn)、動(dòng)力分流效果好等優(yōu)點(diǎn)[4-5]，因而受到了世界各國，尤其是西歐和北美等先進(jìn)工業(yè)國家的重視，其早在20世紀(jì)后期就開始加快了對面齒輪傳動(dòng)的研究進(jìn)程。如美國NASA（National Aeronautics and Space Administration）經(jīng)過多年的實(shí)驗(yàn)研究，已將面齒輪傳動(dòng)技術(shù)應(yīng)用到主減速器中，并且充分發(fā)揮了面齒輪傳動(dòng)的優(yōu)越性，簡化了其主減速器的結(jié)構(gòu)與質(zhì)量等。譬如美國的ART（the Advanced Rotorcraft Transmission）計(jì)劃中，波音公司生產(chǎn)的阿柏奇戰(zhàn)斗直升機(jī)應(yīng)用了面齒輪副(如圖2所示)，以其代替原來的弧齒錐齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)[6]，這一改進(jìn)使得齒輪箱的總成質(zhì)量減輕了40%，但承載能力提高了35%，并節(jié)省了大量空間。

圖2 ART計(jì)劃的面齒輪分扭傳動(dòng)Fig. 2 Torque-split transmission of face gears with ART plan

在面齒輪接觸應(yīng)力的研究方面，已有研究主要集中在有限元分析方法上。如F. L. Litvin等[7]運(yùn)用TCA（tooth contact analysis）理論，并結(jié)合有限元分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，獲得了面齒輪不同嚙合位置的接觸應(yīng)力及隨嚙合位置的分布規(guī)律。韋賢玕[8]應(yīng)用有限元方法分析了面齒輪多齒嚙合周期中5個(gè)不同嚙合狀態(tài)下的接觸應(yīng)力，并獲得了面齒輪多齒嚙合下接觸應(yīng)力的分布規(guī)律。劉艷平[9]采用有限元分析方法，對面齒輪多齒模型進(jìn)行了LTCA分析，獲得了不同載荷條件對面齒輪接觸應(yīng)力、彎曲應(yīng)力等傳動(dòng)性能的影響規(guī)律。嚴(yán)宏志等[10]考慮表面粗糙度的影響，對面齒輪齒面接觸應(yīng)力進(jìn)行了分析。

本研究擬從正交面齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)出發(fā)，針對面齒輪的安裝誤差，分析其對面齒輪副傳動(dòng)在傳動(dòng)過程中嚙合點(diǎn)處接觸應(yīng)力的變化規(guī)律，以期為面齒輪副的安裝提供理論參考依據(jù)。

2 建立含安裝誤差的面齒輪齒面方程

按照圖1所示面齒輪副建立正交面齒輪的安裝坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 正交面齒輪傳動(dòng)中安裝坐標(biāo)系與安裝誤差示意圖Fig. 3 Schematic diagram of installation coordinate and installation error of orthogonal surface gear transmission

圖3中δp為軸向偏移誤差，δγm為軸交角誤差，δa為軸交錯(cuò)誤差，這3種誤差統(tǒng)稱為正交面齒輪的安裝誤差。

假設(shè)Sf為無安裝誤差時(shí)的坐標(biāo)系，Sf′為有安裝誤差的坐標(biāo)系。根據(jù)齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理可得由Sf′坐標(biāo)系變換成Sf坐標(biāo)系的變換矩陣Mff′為

Ag1為S1動(dòng)坐標(biāo)系變換至Sg固定坐標(biāo)系的矩陣，且；

r1為圓柱齒面方程；

rb1為圓柱齒輪基圓半徑；

u1為圓柱齒面上一點(diǎn)沿Z1方向的軸向參數(shù)；

n1為單位法向量；

Lg1為Ag1的子矩陣（去掉最后一行與一列）。

點(diǎn)接觸正交齒輪傳動(dòng)的原理如圖4所示。

圖4 點(diǎn)接觸正交面齒輪傳動(dòng)原理圖Fig. 4 Schematic diagram of point contact orthogonal face gear transmission

圖4所示原理圖中，αs1′為嚙合角，θs為插齒刀具漸開線函數(shù)，θt為插齒刀具齒槽對稱線到漸開線起點(diǎn)的角度參數(shù)；ra1為圓柱齒輪齒頂圓半徑，rb1為圓柱齒輪基圓半徑，ras為插齒刀具齒頂圓半徑，rbs為插齒刀具基圓半徑，s為圓柱齒輪齒槽對稱線到漸開線起點(diǎn)的角度參數(shù)，La為插齒刀具到圓柱齒輪的中心距；γ1為圓柱齒輪節(jié)錐角，γs為插齒刀具節(jié)錐角，Is1為插齒刀具與圓柱齒輪的瞬時(shí)接觸線，Is2為插齒刀具與面齒輪的瞬時(shí)接觸線，I12為圓柱齒輪與圓柱齒輪的瞬時(shí)接觸線，P為節(jié)點(diǎn)，r′1為圓柱齒輪節(jié)圓半徑，r′s為插齒刀具節(jié)圓半徑。

由圖4所示點(diǎn)接觸正交齒輪傳動(dòng)原理圖，可得在節(jié)點(diǎn)P的u1為

另外，考慮安裝誤差，由坐標(biāo)系S2至坐標(biāo)系Sg的轉(zhuǎn)換矩陣Ag2為

根據(jù)坐標(biāo)系的齊次變換關(guān)系，可得rg(2)和ng(2)的方程為

利用式（2）（3）（9），可獲得含安裝誤差的面齒輪接觸軌跡方程如下：

3 面齒輪齒面接觸點(diǎn)主曲率與接觸應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)彈性力學(xué)理論，對于任意形狀的兩個(gè)曲面接觸點(diǎn)的主曲率，都與接觸點(diǎn)的接觸應(yīng)力與變形大小有關(guān)，因此需要對接觸點(diǎn)的主曲率進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]，設(shè)一曲面的參數(shù)方程為

式中：E、F、G為Ⅰ類量，L、M、N為Ⅱ類量，且E=ruru；F=rurv；G=rvrv；L=-nuru=ruun；M=-nurv=ruvn；N=-nvrv=rvvn。

由微分幾何知，主曲率的計(jì)算公式為

由公式（14）可以看出，主曲率的計(jì)算存在著兩個(gè)不同的根，即曲面上一點(diǎn)存在著兩個(gè)不同主曲率，而且主方向相互垂直。

因此，在計(jì)算圓柱直齒輪主曲率K11、K12與面齒輪主曲率K21、K22時(shí)，只要把圓柱直齒輪與面齒輪的齒面方程分別按照上述步驟進(jìn)行計(jì)算即可。

另外，根據(jù)赫茲接觸理論，得到面齒輪接觸點(diǎn)的最大接觸應(yīng)力公式為

式中：a為接觸橢圓的長軸半徑；b為接觸橢圓的短軸半徑；P1為接觸點(diǎn)的法向作用力。其中a、b可通過式（16）計(jì)算得出，P1可通過式（18）計(jì)算得出。

式（16）中：α、β、ζ為橢圓計(jì)算系數(shù)，查表并線性插值可得；

E1、E2為彈性模量；

μ1、μ2為泊松比；

A、B為關(guān)于接觸曲面主曲率的方程，且

其中，T為齒輪傳動(dòng)的負(fù)載扭矩，Rb1為小輪（圓柱直齒輪）的基圓半徑。

4 安裝誤差對面齒輪接觸點(diǎn)接觸軌跡與接觸應(yīng)力的影響

4.1 安裝誤差對面齒輪接觸軌跡的影響

根據(jù)前文得到的方程（10），運(yùn)用Matlab進(jìn)行編程計(jì)算，分別對上述3種安裝誤差對接觸軌跡的影響進(jìn)行仿真分析，所得仿真結(jié)果如圖5所示。設(shè)計(jì)的基本參數(shù)如下：小齒輪齒數(shù)N1=23；面齒輪齒數(shù)N2=125；模數(shù)m=6.35 mm；壓力角α=20o；彈性模量E1=E2= 2.06×105MPa；泊松比μ1=μ2=0.30；載荷為負(fù)載扭矩T=42 N·m。

圖5 當(dāng)考慮安裝誤差影響時(shí)的接觸軌跡仿真圖Fig. 5 Contact trajectory simulation diagram with the installation error considered

對圖5進(jìn)行分析可知：

1）當(dāng)軸交角誤差δγm為正時(shí)，接觸軌跡沿著面齒輪的大端發(fā)生位移；當(dāng)軸交角誤差δγm為負(fù)時(shí)，接觸軌跡沿著面齒輪的小端發(fā)生位移。

2）當(dāng)軸交錯(cuò)誤差δa為正時(shí)，接觸軌跡沿著面齒輪的小端發(fā)生位移；當(dāng)軸交錯(cuò)誤差δa為負(fù)時(shí)，接觸軌跡沿著面齒輪的大端發(fā)生位移。但是相對來說，接觸軌跡的運(yùn)動(dòng)在這3種類型的誤差影響中是最小的。因此，點(diǎn)接觸面齒輪傳動(dòng)的齒面接觸軌跡對軸交錯(cuò)誤差相對不敏感。

3）當(dāng)軸向偏移誤差δp為正時(shí)，接觸軌跡沿著面齒輪的大端發(fā)生位移；當(dāng)軸向偏移誤差δp為負(fù)時(shí)，接觸軌跡沿著面齒輪的小端發(fā)生位移。

綜上所述，在裝配面齒輪傳動(dòng)時(shí)，對軸交角誤差δγm要嚴(yán)格要求。

4.2 接觸應(yīng)力影響分析

根據(jù)上述面齒輪參數(shù)，編制Matlab程序?qū)κ剑?6）進(jìn)行面齒輪長短軸a、b值計(jì)算，進(jìn)而根據(jù)式（15）得到接觸點(diǎn)的接觸應(yīng)力，所得仿真結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 軸交角誤差影響時(shí)的接觸應(yīng)力圖Fig. 6 Contact force under the in fl uence of intersection angle error

圖7 軸交錯(cuò)誤差影響時(shí)的接觸應(yīng)力圖Fig. 7 Contact stress of the axis staggered error

圖8 軸向偏移誤差影響時(shí)的接觸應(yīng)力圖Fig. 8 Contact stress of the axial deviation error

分析圖6～8，可以得到以下結(jié)論：

1）由于接觸點(diǎn)從齒頂逐漸向齒根位置移動(dòng)時(shí)，它的橢圓長軸與短軸是逐漸增大的，因而從圖6～8可知，齒面接觸應(yīng)力是由齒頂向齒根逐漸變小的。

2）由圖6可知，當(dāng)軸交角誤差取正或取負(fù)時(shí)，接觸應(yīng)力都要偏離無軸交角誤差時(shí)的接觸應(yīng)力，而且這種偏離隨著接觸點(diǎn)往齒根移動(dòng)而逐漸變小。當(dāng)誤差為正時(shí)，接觸應(yīng)力少于正常的接觸應(yīng)力；當(dāng)誤差為負(fù)時(shí)，接觸應(yīng)力大于正常的接觸應(yīng)力，此時(shí)對面齒輪傳動(dòng)的接觸強(qiáng)度有影響。

3）由圖7可知，當(dāng)軸交錯(cuò)誤差取正或取負(fù)時(shí)，接觸應(yīng)力都要偏離無軸交角誤差時(shí)的接觸應(yīng)力，而且這種偏離隨著接觸點(diǎn)往齒根方向移動(dòng)而逐漸變小。當(dāng)誤差為負(fù)時(shí)，接觸應(yīng)力小于正常的接觸應(yīng)力；當(dāng)誤差為正，接觸應(yīng)力大于正常的接觸應(yīng)力，此時(shí)對面齒輪傳動(dòng)的接觸強(qiáng)度有影響。

4）由圖8可知，當(dāng)軸向偏移誤差取正或取負(fù)時(shí)，對齒面接觸應(yīng)力的影響相對較小，且當(dāng)軸向偏移誤差為負(fù)時(shí)，影響更小。

綜上所述，從這3項(xiàng)誤差影響接觸應(yīng)力的大小來看：軸向偏移誤差影響最小，軸交錯(cuò)誤差影響次之，軸交角誤差影響最為顯著。

5 結(jié)論

本文從安裝誤差的角度出發(fā)，分析了軸向偏移誤差、軸交角誤差和軸交錯(cuò)誤差對面齒輪的接觸軌跡及接觸應(yīng)力的影響，由仿真結(jié)果可以得知：

1）軸交角誤差與軸交錯(cuò)誤差對面齒輪的接觸軌跡與接觸應(yīng)力的影響相對較軸向偏移誤差的大，因此在面齒輪安裝時(shí)，應(yīng)該嚴(yán)格控制軸交角誤差的下偏差及軸交錯(cuò)誤差的上偏差。

2）不考慮安裝誤差時(shí)，由仿真結(jié)果可知，接觸應(yīng)力在齒頂?shù)奈恢米畲?，這是因?yàn)樵诖宋恢萌菀装l(fā)生齒頂邊緣接觸。且選擇的3項(xiàng)誤差影響接觸應(yīng)力的大小為軸向偏移誤差影響最小，軸交錯(cuò)誤差影響次之，軸交角誤差影響最為顯著。

綜上，本研究為面齒輪的安裝及對安裝誤差的控制提供了理論依據(jù)。

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(責(zé)任編輯：廖友媛)

In fl uence of Installation Errors on Contact Trajectory and Contact Stress of Face Gear Drive

CHEN Shuhan1,2,3，GAO Jie1，DING Wenqiang1，YAN Hongzhi2，MING Xingzu4
（1. Hunan Power Machinery Research Institute of China’s Aviation Engine Group，Zhuzhou Hunan 412002，China；2. School of Mechanical and Electrical Engineering，Central South University，Changsha 410004，China；3. School of Automobile and Mechanical Engineering， Changsha University of Technology，Changsha 410114，China；4. School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Based on the meshing principle of face gear drive, a surface equation has been established of the face gear with the installation error, thus obtaining the calculation method of the main curvature and contact stress of the tooth surface of face gear. On this basis, a respective analysis has been made of the in fl uence of axial deviation error, axial angle error and axial staggered error on the contact trajectory and contact stress of the face gear drive. The results show that the contact stress decreases gradually from the addendum to the root under various error conditions.According to the error analysis, the shaft angle error and axial across error are the most important in fl uential factors on the contact trajectory and contact stress of the face gear, when the angle error is negative or axis error is positive in its value, the contact stress simulation values are signi fi cantly higher than those normal contact stress without errors.Therefore, it is highly recommended that the upper and lower deviation of these two errors be strictly controlled when installing the face gear pair.

face gear；installation error；main curvature；contact stress

TP215

A

1673-9833(2017)04-0008-06

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.04.002

2017-06-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51575533，51375161），湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2017JJ4023）

陳書涵（1977-），男，湖南衡陽人，長沙理工大學(xué)講師，中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所傳動(dòng)中心博士后，主要研究方向?yàn)槊纨X輪傳動(dòng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)，E-mail：29094680@qq.com