☉湖南省郴州市二中 黃常健

運(yùn)用波利亞解題思想 提高思維能力與創(chuàng)新意識(shí)

☉湖南省郴州市二中 黃常健

數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》中，將人們解決問(wèn)題時(shí)思維的自然過(guò)程分為四個(gè)階段——弄清問(wèn)題，擬定計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，回顧.這對(duì)我們的解題和教學(xué)有很好的指導(dǎo)作用，本文以一道直線與圓錐曲線的問(wèn)題為例，實(shí)踐波利亞的解題思想，提高我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若斜率為k的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且△MON的面積等于1，線段MN的中點(diǎn)為P，E，0），，0），試判斷|PE|+|PF|是否為定值？如果是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）由條件1：“斜率為k的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)”，設(shè)直線l的方程y=kx+m（m≠0）主導(dǎo)解題過(guò)程；或用點(diǎn)參法，將點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）的坐標(biāo)代入橢圓方程用方程思想求解.

圖1

由條件2：“△MON的面積等于1”，聯(lián)想三角形面積公式S=ah，或S=absinC.未知a“|PE|+|PF|是否為定值”，等價(jià)于點(diǎn)P是否在以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓或線段EF上，即求點(diǎn)P的軌跡方程.

擬定計(jì)劃1：將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立并消y；設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離d，中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），解法如圖2.

圖2

擬定計(jì)劃2：解法如圖3.

圖3

實(shí)施計(jì)劃1：（解法1）設(shè)直線l的方程y=kx+m（m≠0）并代入+y2=1，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，由Δ=16（4k2+1-m2）＞0，得4k2+1-m2＞0.

經(jīng)驗(yàn)算E，F(xiàn)正是該橢圓的焦點(diǎn)，所以|PE|+|PF|=2為定值.

實(shí)施計(jì)劃2：（解法2） 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則△MON的面積：

上.現(xiàn)證明如下：

回顧反思1：利用歸納推理，將結(jié)論一般化.由a=2，b=1，S=1，知S=ab；且當(dāng)橢圓為+y2=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為，所以仿解法2可證.

結(jié)論1：已知M，N是橢圓C：=1（a＞b＞0）上不同兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E（-），F(xiàn)），則△MON的面積等于ab的充要條件是線段MN的中點(diǎn)P滿足|PE|+|PF|等于定值a，即點(diǎn)P的軌跡為橢圓+（.證明略）

回顧反思2：在解法2中，由k1k2=-，知k1k2=-.所以可推證.2已知M，N是橢圓C：=1（a＞b＞0）上不同

結(jié)論：兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，則△MON的面積等于ab的充要條件是k1k2=-

反之，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）.直線AQ，BQ相交于點(diǎn)Q，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)Q的軌跡方程=1（y≠0）.所以結(jié)合結(jié)論2，可推證.3如圖4，已知點(diǎn)M、N是橢圓C=1（a＞b＞

結(jié)論：0）上非頂點(diǎn)的點(diǎn)，A、B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MON的面積等于ab的充要條件是橢圓上存在點(diǎn)Q使AQ//OM，BQ//ON.

圖4

回顧反思4：以上三個(gè)結(jié)論，又可整合為一組結(jié)論如下：

圖5

波利亞還說(shuō)過(guò)：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的.”這啟示我們用歸納與類比的方法，開(kāi)啟縱向與橫向聯(lián)想，猜證更多結(jié)論，在教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).