☉江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 魏 兵

從兩則案例談數(shù)學(xué)探究教學(xué)

☉江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 魏 兵

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常表現(xiàn)為對(duì)解題的探究.本文通過兩則案例談引導(dǎo)學(xué)生從構(gòu)造三角形、數(shù)形結(jié)合、三角函數(shù)線、整體化思想、構(gòu)造齊次式、構(gòu)造方程等角度進(jìn)行思考，引導(dǎo)學(xué)生探究問題，探究分析、思考、鉆研試題在學(xué)習(xí)中的重要性.

探究1：三角恒等變換的求值問題，一般的思路是化簡(jiǎn)已知、化簡(jiǎn)所求，觀察分析它們的差異（角、函數(shù)名、次冪的差異），利用所學(xué)公式，消除差異，從而順利求解.因此可得下面解法.

探究2：解法1的計(jì)算量略有點(diǎn)大，二次方程求解有些學(xué)生也容易出錯(cuò)，為此，我們可以把這類問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的鈍角三角形問題進(jìn)行解決.

圖1

將煩瑣的二次方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、容易解決的直角三角形問題，彰顯了等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的魅力.

圖2

反思：解題時(shí)積極尋找已知與所求之間的關(guān)系，弦化切就可把所求向已知轉(zhuǎn)化，利用整體轉(zhuǎn)化把不熟悉的求值問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次齊次式問題.

反思：巧妙利用切化弦公式與方程思想，使求值問題瞬間變得簡(jiǎn)單容易，不怕你做不到，就怕你想不到.

本道題，通過學(xué)生的自主、合作、探究、拓展尋找到了解決這類問題的通法，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步理解，突破了學(xué)生的難點(diǎn).

案例2已知AO是△ABC中的邊BC的中線，求證：|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

本題以三角形中線為背景，揭示了三角形三邊與中線長(zhǎng)之間的等式關(guān)系.從題目的所屬單元來(lái)看，是讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法及其應(yīng)用.除這種方法以外，還可以選擇向量、余弦定理等知識(shí)進(jìn)行證明.

1.證法探究

證法1：（坐標(biāo)法）如圖3，以O(shè)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A（x，y），點(diǎn)C（m，0）（m＞0），則點(diǎn)B（-m，0），|AO|2=x2+y2，|CO|2=m2，|AB|2=（x+m）2+y2，|AC|2=（x-m）2+y2.所以|AB|2+|AC|2=2（x2+m2+y2），|AO|2+|OC|2=x2+m2+y2，即|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

圖3

證法3：（余弦定理）如圖4，設(shè)∠AOC=α，在△AOC中，AC2=OA2+OC2-2OA·OCcosα.①

圖4

在△AOB中，AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos（π-α）=OA2+OC2+2OA·OCcosα.②

①+②得AB2+AC2=2（AO2+OC2）.

2.結(jié)論運(yùn)用

由教材上這道題目得出的結(jié)論在涉及三角形中線問題時(shí)應(yīng)用較多，往往能起到事半功倍之效，下面舉幾例進(jìn)行說明.

解析：如圖5，因?yàn)锽D是△ABC的中線，所以AB2+BC2=2（BD2+AD2），把BD=代入得+a2=2（ 5+），即b2=2a2+.在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，把AB=，cosB=代入得b2=a2+-2·a，即b2=a2+a.把b2=2a2+代入得2a2+=a2+a，即3a2+8a-36=0，解得a=2，所以b=.由余弦定理得cosA=，即sinA=

圖5

本題應(yīng)用中線與邊之間的關(guān)系，以及余弦定理建立了方程組，進(jìn)而求出邊a，b的值，然后再運(yùn)用余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行求解，這種方法不用添加輔助線，容易掌握.除了此方法，還可以倍長(zhǎng)、作中位線等添加輔助線的方式進(jìn)行求解.

運(yùn)用2：在△ABC中，AB=AC，D為線段AC的中點(diǎn)，若BD的長(zhǎng)為定值l，則△ABC面積的最大值為_______（用l表示）.

圖6

解析：如圖6，在△ABC中，因?yàn)锳B=AC，所以c=b.因?yàn)镈為線段AC的中點(diǎn)，所以AB2+BC2=2（BD2+AD2），把BD=l代入得c2+a2=2（ l2+），即b2=4l2-2a2.過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，則E是BC的中點(diǎn)，.因?yàn)镾△ABC=BC·AE=a·≤當(dāng)且僅當(dāng)l2-a2=a2，即a=l時(shí)取等號(hào)，所以△ABC面積的最大值為l2.

首先利用三角形中線與邊之間的關(guān)系建立底邊與腰之間的方程，然后運(yùn)用勾股定理求出底邊上的高，進(jìn)一步表示出三角形的面積，利用消元、基本不等式求最值，本題方法較多，請(qǐng)讀者嘗試用其他方法進(jìn)行解決.

運(yùn)用3：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，D是BC的中點(diǎn)，若a=4，AD=c-b，則△ABC的面積的最大值為________.

圖7

解析：如圖7，在△ABC中，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以AB2+AC2=2（AD2+BD2），把BD=2，AD=c-b代入得c2+b2=2（c-b）2+8，即（b+c）2-6bc+8=0.由海倫公式得S=，其中p=+2，代△ABC入得S==△ABC=·，把（b+c）2=6bc-8代入得S==·△ABC=2，當(dāng)且僅當(dāng)bc=8，b+c=2，即c=，b=時(shí)取等號(hào)，所以△ABC的面積的最大值是2.

本題起點(diǎn)高，難度大，如果不知道三角形中線與邊的等量關(guān)系，入手都很困難.另外一個(gè)難點(diǎn)是如何表示該三角形的面積，除用海倫公式以外，還可以用兩邊及夾角來(lái)表示，對(duì)計(jì)算要求較高.

本文介紹了教材中兩道習(xí)題的解法及其應(yīng)用，可以看出一些高考、競(jìng)賽等試題也都來(lái)源于課本，而又高于課本.在復(fù)習(xí)中，我們不能僅僅停留在課本表面，要用好課本，經(jīng)常對(duì)課本上的例習(xí)題進(jìn)行反思，對(duì)課本知識(shí)和方法進(jìn)行升華，進(jìn)而深刻理解知識(shí)和方法的內(nèi)涵和外延，以做到融會(huì)貫通.所以要對(duì)課本常抓不放，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維、方法的訓(xùn)練，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，這樣才能走出題海，在備考中取得事半功倍的效果.