☉江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué)南校 劉亞平

芻議“數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型”在數(shù)學(xué)理解性解題活動(dòng)中的作用*

☉江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué)南校 劉亞平

數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型由8個(gè)不同的理解階段組成，即初步了解、產(chǎn)生表象、形成表象、關(guān)注性質(zhì)、形式化、觀察評(píng)述、構(gòu)造化與發(fā)明創(chuàng)造.［1］該模型使學(xué)生理解過程顯性化、直觀化，為分析學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平提供了一個(gè)理論框架，教師可以選擇某些有針對(duì)性的問題讓學(xué)生解決，通過學(xué)生解題的狀況，借助數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型來判斷學(xué)生理解處于什么階段，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在相應(yīng)階段上理解存在的困難，并采取相應(yīng)理解階段的補(bǔ)救措施，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解水平.下面，筆者將結(jié)合一個(gè)解題教學(xué)的三個(gè)教學(xué)片斷，探討數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型對(duì)數(shù)學(xué)理解性解題活動(dòng)的指導(dǎo)意義.

圖1

（1）求橢圓C的方程；

一、“數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型”對(duì)數(shù)學(xué)理解性解題活動(dòng)的指導(dǎo)意義

1.數(shù)學(xué)解題的回歸性

數(shù)學(xué)教育家Pirie和Kieren認(rèn)為，人無論在哪一級(jí)理解水平上，面對(duì)一個(gè)不能馬上理解或解決的問題，為了加深和擴(kuò)充自己的理解，有必要返回內(nèi)層水平.這種重新返回到內(nèi)層水平所進(jìn)行的解題活動(dòng)與原先內(nèi)層水平的理解活動(dòng)是不同的，而是具有外層理解水平的特點(diǎn).回歸的有效性取決于學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)生的個(gè)人，特別是當(dāng)學(xué)生被鼓舞而回歸內(nèi)層收集特定的信息時(shí)，這種回歸會(huì)變得更有效，因?yàn)樗哂刑骄拷忸}方向的目的性.［1］數(shù)學(xué)解題的回歸性是指學(xué)生的解題過程并不是一定遵循著數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型單向地由內(nèi)向外發(fā)展，當(dāng)學(xué)生解題思維受阻時(shí)，學(xué)生思維就會(huì)折回內(nèi)層理解水平，尋找解題的切入點(diǎn)和突破點(diǎn).

教學(xué)片段1

在第（3）問中，E是橢圓的焦點(diǎn)嗎？有的學(xué)生通過取通徑與長(zhǎng)軸兩個(gè)特殊位置加以計(jì)算，很快得出E不是橢圓的焦點(diǎn)（±2，0）.教師接著追問：E不是橢圓的焦點(diǎn)，那能不能先求出點(diǎn)E，再證明為定值？（看到學(xué)生茫然四顧，教師接著又追問）剛才大家判斷E不是橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用什么策略？學(xué)生回答：運(yùn)用的是“特殊探路，再證一般”的策略.教師啟發(fā)：能不能“故伎重演”先求出點(diǎn)E，再進(jìn)行一般性證明？學(xué)生恍然大悟（忍俊不禁），解題思路峰回路轉(zhuǎn).在師生共同努力下得到如下的解法一：

2.數(shù)學(xué)解題的超越性

數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型只是給出了學(xué)生理解某一數(shù)學(xué)知識(shí)所經(jīng)歷的全過程.事實(shí)上，各個(gè)層次的理解階段是相互聯(lián)系、相互影響的，前一階段的理解是后一階段理解的前提與基礎(chǔ)；后一階段的理解是前一階段的理解的拓展與延伸.數(shù)學(xué)解題的超越性是指外層理解水平包含了內(nèi)層理解水平，并將內(nèi)層理解水平協(xié)調(diào)統(tǒng)一起來時(shí)，學(xué)生的解題思維就會(huì)從低層次向高層次發(fā)生質(zhì)的飛躍，具有解題的預(yù)見性、前瞻性.

教學(xué)片段2

在上述解法中，同學(xué)們運(yùn)用了“特殊探路，再證一般”的解題策略，找到了解題的切入點(diǎn)，并得知的結(jié)果之所以與t無關(guān)，那是因?yàn)椋?）式中分子與分母同時(shí)出現(xiàn)公因式1+t2的緣故.如果大家不“特殊探路”，那能不能直接求出的結(jié)果？教師的提問引發(fā)了學(xué)生的思考，經(jīng)過大家的討論、交流，有位思維敏捷的學(xué)生給出了深邃的見解：只要我們抓住問題的本質(zhì)，就沒有必要先“特殊探路”，并在黑板上寫出如下的解法二：

在觀察評(píng)述階段，師生共同對(duì)上述兩種解法進(jìn)行思考、討論和對(duì)比，大家一致認(rèn)為兩種解法的算理完全一樣：若使為定值，則分子與分母必然有相同的公因式.解法一思路自然，但運(yùn)算量較大；解法二簡(jiǎn)潔明了，但對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.

3.數(shù)學(xué)解題的創(chuàng)造性

從一般意義上說，創(chuàng)造力是在人的心理結(jié)構(gòu)整體背景和心理活動(dòng)的最高水平上所實(shí)現(xiàn)的向社會(huì)提供的具有首創(chuàng)性和社會(huì)價(jià)值的產(chǎn)物的綜合能力.［3］發(fā)現(xiàn)和發(fā)明是創(chuàng)造力的主要表現(xiàn).對(duì)基礎(chǔ)教育而言，什么是創(chuàng)造呢？教育家劉佛年指出：“只要在學(xué)習(xí)中，有一點(diǎn)新意思、新思想、新觀念、新設(shè)計(jì)、新意圖、新做法、新方法，就可稱得上創(chuàng)造，我們要把創(chuàng)造的范圍看得廣一些，不要看得太神秘.”在2000年教育部國(guó)家級(jí)骨干教師培訓(xùn)會(huì)上，羅增儒教授曾把“教育中的創(chuàng)造”概括為：“無中生有是創(chuàng)造，有中生新是創(chuàng)新”.

數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維既是邏輯思維與非邏輯思維的綜合，又是發(fā)散思維與收斂思維辯證統(tǒng)一.［4］現(xiàn)在心理學(xué)的研究認(rèn)為，創(chuàng)新能力=知識(shí)量×發(fā)散思維能力.另外，人們通過實(shí)踐還認(rèn)為，數(shù)學(xué)新發(fā)現(xiàn)通常有特定模式，如圖2所示.

圖2

從這個(gè)過程我們可以看出，觀察、實(shí)驗(yàn)是引發(fā)猜想的基礎(chǔ)，歸納、聯(lián)想、類比是發(fā)現(xiàn)猜想的途徑，我們?cè)谄綍r(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，特別是進(jìn)行有關(guān)合情推理問題教學(xué)時(shí)，一定要給學(xué)生提供觀察實(shí)驗(yàn)、尋找規(guī)律的機(jī)會(huì).數(shù)學(xué)解題的創(chuàng)造性就是在數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型的發(fā)明創(chuàng)造階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生從類似事物中得到新結(jié)論、新觀點(diǎn)，從相近事物的聯(lián)想得到新思想、新視角，再進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的分散思維與創(chuàng)新能力.

問題3：若把問題1中的橢圓=1（a＞b＞0）換成拋物線C：y2=2px（p＞0）呢？

點(diǎn)E（p，0）.（過程略）

從教學(xué)片斷3我們不難得知，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以把一題多解、一題多問、一題多變及合情推理等作為一種常用的解題教學(xué)模式，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一種行之有效的舉措.

二、“數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型”對(duì)數(shù)學(xué)理解性解題活動(dòng)的啟示

1.理解性解題教學(xué)應(yīng)尊重學(xué)生的思維需求

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)理解是個(gè)體在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中的概念、原理、公式、法則等進(jìn)行解釋，主動(dòng)構(gòu)建其意義，并在構(gòu)建意義的過程中通過同化或順應(yīng)的方式將新知識(shí)納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一種思維活動(dòng).也就是說，數(shù)學(xué)理解需要經(jīng)歷一個(gè)思維過程.［1］數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型8個(gè)不同的理解階段也決定了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不可能是一蹴而就，需要教師按照8個(gè)不同的理解階段循序漸進(jìn)地進(jìn)行教學(xué).

本節(jié)課的解題教學(xué)，教師并沒有開門見山直接講解解法二，而是遵循數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)事求是的態(tài)度，即根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的疑難點(diǎn)和學(xué)生思維的起始點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生挖掘解題的切入點(diǎn)，既強(qiáng)調(diào)了教師適度的提示與引導(dǎo)，也鼓勵(lì)了學(xué)生積極主動(dòng)的思考與探索.學(xué)生通過解法一的形成過程逐步掌握了求問題的方法、規(guī)律與性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上水到渠成地過渡到解法二，接著又順應(yīng)學(xué)生思維的需求通過解題的創(chuàng)造性的教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、猜想、歸納、探究、創(chuàng)造等數(shù)學(xué)能力.

2.多元表征是數(shù)學(xué)理解性解題活動(dòng)的中心

全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)出版的《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》一書中指出：“表征數(shù)學(xué)知識(shí)的方式，對(duì)于人們?nèi)绾卫斫夂蛻?yīng)用這些知識(shí)是至關(guān)重要的，表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心，當(dāng)學(xué)生創(chuàng)造、比較和運(yùn)用不同的表征時(shí)，他們發(fā)展和加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，不同的表征方式，能幫助學(xué)生交流他們的思維.”［2］因此，對(duì)問題作出什么樣的表征，這種表征是否得當(dāng)，是否簡(jiǎn)潔，是否容易被學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)同化或順應(yīng)，對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決起至關(guān)重要的影響.

解法一在解題的起始階段運(yùn)用了x1、y1、x2、y2、t五個(gè)變量來表征的值，而后通過消元及韋達(dá)定理把的值表征為學(xué)生最熟悉的關(guān)于一個(gè)變量t的問題；解法二在解題的起始階段運(yùn)用了x1、y1、x2、y2、t、k六個(gè)變量來表征的值，而后通過消元及韋達(dá)定理把的值表征為學(xué)生較熟悉的關(guān)于兩個(gè)變量t、k的值.顯然，解法二的表征難度略大，學(xué)生較難理解與掌握.

3.形式化是數(shù)學(xué)理解性解題活動(dòng)的難點(diǎn)

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，要使學(xué)生真正學(xué)會(huì)解決數(shù)學(xué)問題，必須要有學(xué)生的親身實(shí)踐、反復(fù)體驗(yàn)把數(shù)學(xué)的文字語言、圖形語言如何轉(zhuǎn)化為形式化語言的過程，以及用形式化語言來分析、表征要解決問題的要點(diǎn).數(shù)學(xué)形式化語言表現(xiàn)為抽象、簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn).學(xué)生不易記憶、理解與運(yùn)用，教師可以在例題講解的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加一些變式題組，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)疑難問題的辨析及理解，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的認(rèn)知過程，逐步養(yǎng)成透過事物的表象把握本質(zhì)的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、理性思維等能力.

4.觀察評(píng)述是數(shù)學(xué)理解性解題活動(dòng)的保證

數(shù)學(xué)理解的觀察評(píng)述階段，表現(xiàn)為觀察和反省解題活動(dòng)所經(jīng)歷的過程，對(duì)前面幾個(gè)階段抽象出來的方法或性質(zhì)進(jìn)行思考、討論和檢驗(yàn)，并將思考和討論的結(jié)果進(jìn)行整理和組織，納入原有的知識(shí)體系中.平時(shí)解題與高考是兩碼事，高考要求學(xué)生用最簡(jiǎn)捷的方法在最短時(shí)間內(nèi)解決問題，贏得時(shí)間.而平時(shí)的解題教學(xué)恰恰相反，快速解題不是教學(xué)的唯一目的，教師要舍得花時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生多角度思考、深挖問題的內(nèi)涵、揭示問題的本質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型判斷學(xué)生的解題處于哪一階段的水平，幫助學(xué)生找出理解上存在的困難，制定解決問題難點(diǎn)的各種對(duì)應(yīng)策略，在各種解法的甄別中，選出優(yōu)法，確立通法.

波利亞在《怎樣解題》中把解題過程概括為“審題—探索—表達(dá)—回顧”四個(gè)環(huán)節(jié)，明確指出解題回顧是解題的最后一個(gè)環(huán)節(jié).這里的回顧就是平時(shí)我們所說的解題反思，也就是數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型中的觀察評(píng)述環(huán)節(jié).在本節(jié)課教學(xué)中，每當(dāng)階段性問題解決之后，教師都會(huì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程和方法進(jìn)行全方位的監(jiān)控，提煉解題策略、思想與方法，這無疑為以后的解題活動(dòng)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

5.發(fā)明創(chuàng)造是數(shù)學(xué)理解性解題活動(dòng)的動(dòng)力

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的知識(shí)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.”解題教學(xué)時(shí)教師不僅要啟發(fā)、示范，還要鼓勵(lì)學(xué)生講思路、講方法，不僅要學(xué)生講出正確解法的心路歷程，還要學(xué)生講出錯(cuò)誤方法的形成緣由，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與創(chuàng)新能力.作為素質(zhì)教育重要內(nèi)容的“創(chuàng)新教育”已成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力、提高民族素質(zhì)已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)追求的目標(biāo).［4］數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)“從復(fù)現(xiàn)性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)到創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變”.

在解題過程中，教師多次運(yùn)用了合情推理培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力，開拓了學(xué)生的思維.如教師提示：在第（3）問中，E是橢圓的焦點(diǎn)嗎？那能不能“故伎重演”先求出點(diǎn)E，再進(jìn)行一般性證明？以及整個(gè)教學(xué)片斷3等.合情推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.通過合情推理得到的結(jié)論，可以作為進(jìn)一步探究的起點(diǎn)，幫助學(xué)生窺探問題的本源，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情.

1.羅新兵，石雪梅.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的條件分析——基于Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（12）.

2.劉亞平.運(yùn)用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 提升數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（5）.

3.張漢昌，趙菡.開放式課堂教學(xué)法研究［M］.開封：河南大學(xué)出版社，2000.

4.劉亞平.傾聽有收獲 沿途真精彩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（12）.

*本文是2016年江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題——“數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型”指導(dǎo)下高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)實(shí)踐研究（立項(xiàng)編號(hào)為D/2016/02/15）的階段性成果.