☉浙江師范大學特級教師流動工作站 曹鳳山

☉浙江省杭州市余杭高級中學

☉浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院 朱偉義

今朝花開勝往昔 料得明日花更紅
——文理合卷視角下2017年浙江高考數(shù)學試題的深度分析

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☉浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院 朱偉義

浙江的課改走在全國的前列，為大家所關注，2017年浙江高考數(shù)學文理合卷更是萬眾矚目.考前有很多懸念，考后波瀾不驚，意料之外，情理之中，教師、學生、社會說不上皆大歡喜，尚能平靜接受.

文理合卷的前提下，試卷遵循《課程標準》的理念，符合《考試說明》的各項要求，堅持“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，充分體現(xiàn)“以能力立意”的指導思想，保持了命題的連續(xù)性、穩(wěn)定性、創(chuàng)新性.試卷全面考查雙基，凸顯主干知識，既有較高的知識覆蓋率，對支撐高中數(shù)學的重點內容又重點考查.試題立足通性通法，體現(xiàn)對數(shù)學思想方法的要求，知識、能力考查有機融合，體現(xiàn)考生對數(shù)學本質的理解水平，全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng).

命題人可以松一口氣.作為一線教師，僅僅是一個新問題的開始，基于文理合卷，以及數(shù)學核心素養(yǎng)考查下高考數(shù)學試卷有何特點、高中數(shù)學應該如何教、如何學，都是亟待理清的問題.

一、文理合卷視角下的試題特點

（一）浙江特色漸入佳境

1.穩(wěn)中漸變，繼承創(chuàng)新并重

表1：2007～2017年浙江高考數(shù)學試卷結構對比

從表1可以看出，今年又重新回到2007～2014年的“10+7+5”的模式，內涵又有變化，選擇題數(shù)量不變，分值降低，由每題5分降到4分，填空題提高分值，增加一題兩空，解答題增加2分，根據(jù)分值與試題難度、考查知識量的對應關系，選擇題自然降低難度，填空題考查內容增加；相比2015年、2016年的數(shù)學試卷，選擇題分值保持不變，數(shù)量由8道變?yōu)?0道，為難度的調整打下基礎.

整張試卷按選擇題、填空題、解答題呈現(xiàn)三個難度層次，在每種題型內又各有難度臺階，整張試卷呈現(xiàn)“分題把關”模式，在選擇題的第9、10題試題難度提升一個層次，填空題的第16、17題一部分考生會感覺比較難上手，解答題最后兩題共同起到“壓軸”的作用.

2.全面考查，凸顯主干知識

從表2可以看出，試卷在《考試說明》要求的各個模塊上基本都有試題，具有較高的覆蓋率，體現(xiàn)出“學什么考什么”的導向；相比2016年，有一些新增考點，但試卷仍然圍繞重點知識，突出重心，函數(shù)與導數(shù)、立體幾何初步與空間向量、解析幾何、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列與平面向量等，分值依次大約為31、23、23、20、10、10分，以上內容構成了試卷的主體.

表2：2011～2017年浙江高考數(shù)學卷考查內容分布

3.規(guī)避套路，倡導通性通法

試卷沒有偏、難、怪的試題，不少試題直接取自課本或者簡單變式，如第1、2、4、12、16、18題等，考生十分熟悉，沒有任何陌生感，試題的求解沒有絕招、怪招，強調從概念、原理出發(fā)，體現(xiàn)通性通法的重要作用.

例1（2017年浙江卷第16題）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有______種不同的選法.（用數(shù)字作答）

簡析：可以按女生分為兩類：

規(guī)避解題套路，如第21題，大家熟知的，設點（線）列方程（組）、利用韋達定理的套路一籌莫展，需要考生根據(jù)具體問題制定相應的解題路線，確定運算路徑.

4.體現(xiàn)方法，全面檢測能力

例2（2017年浙江卷第15題）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是_______.

簡析：浙江高考數(shù)學試題命題手段不斷改進，但基礎為抓手，思想方法為依托，全面考查數(shù)學能力的命題格調一直不變，體現(xiàn)出鮮明的浙江特色.主要考查的數(shù)學思想方法有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想等.

圖1

5.關注本質，考查深度理解

浙江省自主命題一直關注數(shù)學本質的考查，不少試題注重從一個小問題出發(fā)，力求說明一個大觀點，體現(xiàn)一個大意境，引導中學數(shù)學教與學關注數(shù)學本質的理解.

圖2

例3（2017年浙江卷第7題）函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的圖像如圖2所示，則函數(shù)y=f（x）的圖像可能是圖3中的（ ）.

圖3

簡析：通過導函數(shù)圖像函數(shù)值的符號，確定原函數(shù)的單調性，根據(jù)導函數(shù)圖像，應該是先減后增，再減再增，答案在B，D之間，再注意到增、減的轉折點位置，選D；或者根據(jù)導數(shù)函數(shù)的圖象可以看到，原函數(shù)有三個極值點，且是二正一負，再結合單調性判斷.

考題年年新，概念是其根，變的是形式，不變的一定是對概念的考查.

例4（2017年浙江卷第6題）已知等差數(shù)列｛an｝的公差為d，前n項和為Sn，則“d＞0”是“S4+S6”＞2S5的（ ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

簡析：從知識層面看，S4+S6-2S5=a6-a5=d，所以為充要條件，選C.

二、文理合卷再寫新篇

1.突出基礎，關注所有考生

首先對一類簡單問題做一個對比.

例5第一組：（1）（2014年浙江文科卷）設集合S=｛x|x≥2｝，T=｛x|x≤5｝，則S∩T=（ ）.

A.（-∞，5］B.［2，+∞）C.（2，5）D.［2，5］

（2）（2014年浙江理科卷）設全集U=｛x∈N|x≥2｝，集合A=｛x∈N|x2≥5｝，則CUA=（ ）.

A.?B.｛2｝C.｛5｝D.｛2，5｝

第二組：（1）（2015年浙江文科卷）已知集合P=｛x|x2-2x≥3｝，Q=｛x|2＜x＜4｝，則P∩Q=（ ）.

A.［3，4）B.（2，3］C.（-1，2）D.（-1，3］

（2）（2015年浙江理科卷）已知集合P=｛x|x2-2x≥0｝，Q=｛x|1＜x≤2｝，則（CRP）∩Q=（ ）.

A.［0，1）B.（0，2］C.（1，2）D.［1，2］

（3）（2017年浙江卷第1題）已知P=｛x|-1＜x＜1｝，Q=｛-2＜x＜0｝，則P∪Q=（ ）.

A.（-2，1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（-2，-1）

簡析：對于同一知識點的高考試題，以前理科相對文科考查知識點較多，計算量也大于文科，合卷后試題采取原來文科的難度，起點降低.一些試題難度甚至出乎意外，如第1、2、3、4、5、11、12、18題等.

2.題型定位，功能更加明顯

“選擇題（填空題、解答題）就是選擇題（填空題、解答題）”，題型功能定位進一步明確，客觀題主要考查概念理解、簡單的計算，知識點相對集中，體現(xiàn)理解出即可作答，理解即不用計算或簡單計算的情形，簡單明了，解答題深入考查，注重綜合，18-21題一題兩問，22題一題三問，低門檻有高度，體現(xiàn)能力考查的特點.

3.一題多解，求解確定層次

文理合卷，既要照顧到所有的考生，又要實現(xiàn)有利于高校選拔，如何實現(xiàn)這一平衡？與以往的試卷相比，有多種求解層次的試題數(shù)量明顯增加.不同的解題層次，對應不同的解題時間及準確率，體現(xiàn)對問題不同層次的理解，從而實現(xiàn)對數(shù)學素養(yǎng)水平的考查.

例6（2017年浙江卷第12題）已知a，b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虛數(shù)單位）則a2+b2=_____，ab=_____.

簡析：作為填空題第2題，絕對難度當然談不上，不過仔細分析求解過程，應該有所感悟.

方法2：注意到a2+b2為左邊復數(shù)模的平方，即3+4i模的平方，勾股數(shù)口算即知答案，而ab又是左邊復數(shù)虛部的一半，明顯為2.

例7（2017年浙江卷第5題）若函數(shù)f（x）=x2+ax+b在區(qū)間［0，1］上的最大值是M，最小值是m，則M-m（ ）.

A.與a有關，且與b有關B.與a有關，但與b無關

C.與a無關，且與b無關D.與a無關，但與b有關

簡析：方法1：分類討論求最大值、最小值.

方法3：函數(shù)f（x）=x2+ax+b與f（x）=x2的形狀完全相同，b確定圖像上、下的平移，不影響最值的差，而a決定圖像左右的位置，當然會影響到最值之間的距離.把握問題的本質，便迎刃而解.

例8（2017年浙江卷第21題）如圖4，已知拋物線x2=y，點A，拋物線上的點P（x，y）），過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.

（1）求直線AP斜率的取值范圍;

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

簡析：（1）方法1：（直觀確認）由題意可知，直線AP的斜率介于拋物線在點A）處切線的斜率與直線AB的斜率之間，直線AB的斜率為1，x2=y的導函數(shù)為y′=2x，拋物線在點A）處切線的斜率為-1，故直線AP的斜率的取值范圍是（-1，1）.

圖4

故直線AP的斜率的取值范圍是（-1，1）.

（注：這種方法避開求長度，相對方法1節(jié)省時間，提高準確率）

下同方法1

方法5：（利用平面幾何知識——圓冪定理）易得點Q在以AB為直徑的圓上，易知|AB|=2，則半徑R=

圖5

以下求解略.

另外也可以利用參數(shù)方程等方法求解.

4.經(jīng)典創(chuàng)新，追求百花齊放

例9（2017年浙江卷第17題）已知α∈R，函數(shù)（fx）=+a在區(qū)間［1，4］上的最大值是5，則α的取值范圍是________.

分類討論：

例10（2017年浙江卷第11題）我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術”，將π的值精確到小數(shù)點后七位，其結果領先世界一千多年，“割圓術”的第一步是計算單位圓內接正六邊形的面積S內，則S內=_______.

簡析：這是一道關于中國古代數(shù)學文化的問題，以劉徽的“割圓術”為背景，引出正六邊形面積的問題，也是新的考試大綱下關于數(shù)學文化考查的體現(xiàn).將正六邊形分割為6個等邊三角形，則

5.內涵深厚，選拔目標不變

“文頭理尾”、“文科的形式理科的內涵”，道出了今年試卷的部分特點，在整體絕對難度有所下降的前提下，重選拔重區(qū)分的高考特點沒有變化，而一定數(shù)量絕對難度較高的試題是高考試卷的必然，絕對難度的降低主要表現(xiàn)在客觀題、解答題的第一題，解答題最后兩題難度仍然保持了較高水平，其中，第21題主要表現(xiàn)在求解路線的確定及運算能力，第22題選取數(shù)列、不等式與對數(shù)，形式為浙江考生所常見，試題敘述簡潔，表達清楚，易于理解，為考生留有更多的思考時間，一題三問，內容前后呼應.從基礎出發(fā)，層層遞進，梯度恰當，難度主要體現(xiàn)在邏輯推理能力的考查.

6.核心素養(yǎng)，小荷才露尖尖角

最新修訂的《課程標準》中提出了“命題應依據(jù)內容標準和學業(yè)質量標準，注重對學生數(shù)學核心素養(yǎng)達成水平的評價，處理好數(shù)學核心素養(yǎng)與知識技能的關系，要充分考慮對教學的積極引導作用”等命題原則，今年的浙江高考數(shù)學試題在情境創(chuàng)設、知識與技能考查，核心素養(yǎng)的水平等方面都做了不少有益的探索，限于篇幅，另文探討，這里從略.

三、基于文理合卷的高中數(shù)學教學的思考

根據(jù)以上對2017年浙江文理合卷試題的分析，我們的數(shù)學教學需要有思考，有新舉措.

（1）更加注重“四基”的教學.四基是考生繼續(xù)深造的“根”，是數(shù)學素養(yǎng)的“根”，是取得理想成績的“根”，是教學目標的“根”，脫離“四基”追求能力培養(yǎng)與核心素養(yǎng)提升就是無源之水無本之木.

（2）更加注重因人施教.因人施教就要充分考慮到學生的學習基礎、學習能力、未來發(fā)展需要，不能好高騖遠，也不能因噎廢食，讓每一個學生實現(xiàn)成長的最大可能.

（3）更加注重基于通性通法、基于數(shù)學思維的解題教學.高考數(shù)學試題杜絕“偏、難、怪”，解法避免“絕、冷、超”，解題教學就要注重中學數(shù)學核心思想方法，注重數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，為以后的發(fā)展打下堅實的基礎.