☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

☉重慶市涪陵區(qū)第五中學(xué)校 艾 嵩

夯實(shí)基礎(chǔ) 突出選拔 凸顯創(chuàng)新
——2017年重慶市普通高考數(shù)學(xué)試卷（全國(guó)Ⅱ卷）簡(jiǎn)析

☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

☉重慶市涪陵區(qū)第五中學(xué)校 艾 嵩

一、試卷的主要參數(shù)

表1：知識(shí)點(diǎn)分布表

表2：文理科試題比較

表3：填空題與解答題成績(jī)分布表

二、試卷的主要特點(diǎn)

2017年數(shù)學(xué)學(xué)科高考全國(guó)Ⅱ卷以立德樹人，服務(wù)高校人才選拔，導(dǎo)向中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)為命題出發(fā)點(diǎn)，加強(qiáng)對(duì)理性思維的考查，滲透數(shù)學(xué)文化，突出對(duì)創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查.試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)中有變，文、理科試卷均減少了平面幾何選講的選考題，由原來的三選一變?yōu)槎x一.試題關(guān)注社會(huì)發(fā)展，引導(dǎo)考生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題，富有時(shí)代氣息.試卷遵循考試大綱的各項(xiàng)規(guī)定，各種難度的試題比例適當(dāng)，有較好的區(qū)分度.試題堅(jiān)持能力立意，堅(jiān)持多角度、多層次地考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，突出對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、創(chuàng)新意識(shí)與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的考查，突出數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性.試卷有利于科學(xué)選拔人才，有利于深化課程改革，有利于促進(jìn)社會(huì)公平，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程、教學(xué)改革有積極的導(dǎo)向作用.

1.加強(qiáng)理性思維考查，突出選拔性

2017年修訂后的數(shù)學(xué)學(xué)科考試大綱削枝強(qiáng)干，加強(qiáng)主體內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)理性思維.2017年高考充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思維學(xué)科的特點(diǎn)，加強(qiáng)理性思維的考查，把考查邏輯推理能力作為命題的首要任務(wù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，考查考生縝密思維、嚴(yán)格推理能力.命題時(shí)采取分步設(shè)問、梯次遞進(jìn)的方式，設(shè)計(jì)不同層次的試題，區(qū)分不同能力水平的考生.創(chuàng)新題目設(shè)計(jì)，運(yùn)用日常生活語言和情境考查邏輯推理能力，對(duì)考生邏輯推理能力的考查更加真實(shí)、有效.如第20題第（1）問以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為依托，設(shè)計(jì)了線段之間的向量關(guān)系式等條件，考查求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法；第（2）問設(shè)計(jì)了動(dòng)直線相互垂直的證明問題，重點(diǎn)考查思維的靈活性和綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.

2.弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，體現(xiàn)基礎(chǔ)性

2017年修訂的數(shù)學(xué)考試大綱和考試說明提出了加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化考查的要求.2017年數(shù)學(xué)試卷通過數(shù)學(xué)史展示數(shù)學(xué)文化的民族性與世界性，第3題考查等比數(shù)列，試題從我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》引入，然后通過詩歌提出數(shù)學(xué)問題，闡明試題的數(shù)學(xué)史背景，試卷注重滲透中國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)文化，激發(fā)考生對(duì)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的喜愛，使考生感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就和特點(diǎn)，有利于引導(dǎo)學(xué)生了解中國(guó)數(shù)學(xué)文化，激發(fā)愛國(guó)熱情.

3.加強(qiáng)應(yīng)用能力考查，增強(qiáng)實(shí)踐性

2017年數(shù)學(xué)學(xué)科高考貫徹高考內(nèi)容改革的要求，加強(qiáng)應(yīng)用性，緊密結(jié)合社會(huì)實(shí)際，以考生現(xiàn)實(shí)生活的問題為背景設(shè)置試題，要求考生應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的巨大作用和應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)了高考改革中加強(qiáng)應(yīng)用性、實(shí)踐性的特點(diǎn).2017年數(shù)學(xué)試卷采用大題、小題結(jié)合的方式，全面、深入考查應(yīng)用能力.如第19題以現(xiàn)實(shí)社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐中，水產(chǎn)品養(yǎng)殖方法的創(chuàng)新問題為背景，設(shè)計(jì)了根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析比較新、舊養(yǎng)殖方法產(chǎn)量的問題.試題的第一問設(shè)計(jì)為根據(jù)直方圖估計(jì)某事件的概率，第二問設(shè)計(jì)為根據(jù)整理的數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)變量間獨(dú)立性的檢驗(yàn)，第三問設(shè)計(jì)為根據(jù)直方圖，估計(jì)總體中位數(shù).本題很好地考查概率與統(tǒng)計(jì)的思想和方法，反映了當(dāng)前全民創(chuàng)業(yè)、大眾創(chuàng)新的現(xiàn)實(shí)，體現(xiàn)了“立德樹人”的教育理念.2017年的數(shù)學(xué)應(yīng)用題情景豐富，貼近考生，貼近生活，具有濃厚的時(shí)代氣息，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會(huì)的密切聯(lián)系，對(duì)考生的閱讀理解能力、推理論證能力，理性思維進(jìn)行了全方位的考查.

4.考查數(shù)學(xué)思想方法，凸顯創(chuàng)新性

2017年試卷加強(qiáng)基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性，以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、基本思想方法為考查重點(diǎn)，注重對(duì)數(shù)學(xué)通性通法的考查.考查時(shí)從學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，淡化特殊技巧，加強(qiáng)針對(duì)性，有效地檢測(cè)考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.理科第11、15題考查了函數(shù)與方程的思想，理科第12題考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，理科第5、9、16、20題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，理科第21題考查了分類與整合的思想，理科第13題考查了統(tǒng)計(jì)與概率的思想.文科第10題、理科第8題程序框圖，反映了課標(biāo)新增內(nèi)容的程序化思想；還有理科第4題、文科第6題由三視圖計(jì)算一個(gè)幾何體的體積，考查幾何直觀能力，理科第7題、文科第9題考查了歸納推理與類比推理等.高考數(shù)學(xué)一道試題往往考查多種能力、多種思想方法，對(duì)考生的創(chuàng)新能力提出了要求.同時(shí)，高考試題在命制時(shí)充分考慮到考生數(shù)學(xué)能力的個(gè)體差異，絕大多數(shù)試題的解答方法、思維方式不唯一，而是多種多樣.例如理科第16題，可以從拋物線的幾何性質(zhì)入手，還可以應(yīng)用解析幾何的解析法通過計(jì)算切入，一題多解，給考生提供了較大的發(fā)揮空間.這樣通過方法的選擇、所用解題時(shí)間的長(zhǎng)短，甄別出考生能力的差異，達(dá)到精確區(qū)分考生的目的.

5.文理試卷層次分明，區(qū)分差異性

從表2中可以看出文理不同題達(dá)69分，相同題42分，姊妹題39分，注重區(qū)分文理科學(xué)生數(shù)學(xué)水平差異，讓文理考生都考出理想水平.由于理科內(nèi)容分布較廣，其中尤以立體幾何差異最為明顯，理科對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)及思想方法要求更高一些.但今年文理科趨同題較多，且解答題20題文理科完全一樣，所以今年文科整體難度略高于理科.

6.著力要求運(yùn)算能力，突出數(shù)式性

今年試題的突出特點(diǎn)是普遍數(shù)式運(yùn)算量較大.除大部分選擇、填空題都需要進(jìn)行計(jì)算外，多數(shù)解答題的運(yùn)算量也很大，如理科第18題的數(shù)值計(jì)算及理科第19題立體幾何的計(jì)算，文理科第20題解析幾何、第21題導(dǎo)數(shù)等都包含復(fù)雜的數(shù)值和字符運(yùn)算或論證化簡(jiǎn).計(jì)算能力不強(qiáng)的考生，可能知道題目如何解，但受制于數(shù)式運(yùn)算不強(qiáng)而無法完成.從考生實(shí)際答卷情況來看，文理科試卷的后兩個(gè)題（第20、21題）普遍得分很低，除這些試題自身難度較大以外，與整張?jiān)嚲淼倪\(yùn)算量大也有密切關(guān)系.

7.合理擺放試題順序，注意合理性

從考生答題情況可以看出，個(gè)別試題的排列順序不太合理，如理科第7題可以靠后在第10題或第11題的位置；又如文科第19題、理科第18題的答題卷中可以設(shè)計(jì)出2×2列聯(lián)表，讓學(xué)生節(jié)約列表格的時(shí)間.

總之，2017年數(shù)學(xué)試卷體現(xiàn)了考試內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，試題堅(jiān)持能力立意的命題原則，體現(xiàn)了對(duì)“核心素養(yǎng)”的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和理性價(jià)值，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

三、部分解答題考生作答情況分析及建議

【理17】除參考解答外的部分解答：

典型錯(cuò)誤：（1）公式記錯(cuò)或記混，或無論題目是否有用都寫上.

（2）計(jì)算能力不過關(guān).

教學(xué)建議：解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理、正余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”、“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意a+c，ac，a2+c2三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，應(yīng)加強(qiáng)三角恒等變形及解三角形的訓(xùn)練，在平時(shí)教學(xué)中注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的訓(xùn)練，讓學(xué)生的基本能力到位.

試題評(píng)價(jià)：此題涵蓋了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、降冪公式、二倍角公式、正余弦定理，全面考查了三角函數(shù)的基本知識(shí)和基本技巧，難度適中，區(qū)分度高，是選拔能力型人才的一道好題.

【文，理20】除參考解答外的部分解答：

常見錯(cuò)誤：

③直接由兩個(gè)特殊點(diǎn)得出軌跡方程或直接寫出軌跡方程.

第（Ⅱ）問：①設(shè)θ（-3，t），P（m，n），O￣→P·P￣→Q運(yùn)算出錯(cuò)，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)果-3m+5n+1=0.

②設(shè)直線l方程為y=k（x+1）或y=kx+b，再代入得關(guān)于x的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，Δ＞0等.

教學(xué)建議：本題最大問題體現(xiàn)在學(xué)生的運(yùn)算能力弱，邏輯混亂，書寫潦草，不好辨認(rèn).在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想及化歸轉(zhuǎn)化思想方法的培養(yǎng).讓學(xué)生具備分析問題、解決問題的能力，不能一味地設(shè)計(jì)一些套路，如有的老師說遇到解析幾何題就用韋達(dá)定理及判別式去求解，但在關(guān)鍵時(shí)候可能什么也用不上，應(yīng)重視基本功的培養(yǎng).

試題評(píng)價(jià)：解析幾何研究的主要問題是：（1）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過曲線的方程，研究曲線性質(zhì).本題第一問以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為依托，設(shè)計(jì)了線段之間的向量關(guān)系式等條件，考查求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法；第二問設(shè)計(jì)了動(dòng)直線相互垂直的證明問題，重點(diǎn)考查思維的靈活性和綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力，是一道區(qū)分度明顯的好題.

【理21】除參考解答外的部分解答：

（Ⅰ）方法一：由題知（fx）=x＜ax-a-lnx（x＞0），且（fx）≥0，所以a（x-1）-lnx≥0.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）′＜0，g（x）遞減，g（x）＜g（1）=0，所以x-1＞lnx，即＞1，所以a≤1；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，，g′（x）＞0，g（x）遞增，g（x）＞g（1）=0，所以x-1＞lnx，即＜1，所以a≥1.

綜上a=1.

方法二：（用洛必達(dá)法則）由題知（fx）=x（ax-a-lnx）（x＞0），且（fx）≥0，所以a（x-1）-lnx≥0.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（′x）＞0，h（x）遞增，h（x）＜h（1）=0，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（′x）＜0，h（x）遞減，h（x）＜h（1）=0，所以g′（x）＜0，g（x）遞減，g（x）＞=1，所以a≥1.

故a=1.

典型錯(cuò)誤：

第一問：學(xué)生直接求導(dǎo)等于0，或用數(shù)形結(jié)合得到a=1，但沒有進(jìn)一步說明a=1可行.

②學(xué)生在證明（fx）＞e-2時(shí)取自變量x的值有很多種取法都是錯(cuò)的，例如f）＜0也是錯(cuò)的.

教學(xué)建議：作為壓軸題，對(duì)學(xué)生能力要求比較高，在教學(xué)時(shí)應(yīng)教會(huì)學(xué)生分析問題的能力，關(guān)鍵“審”準(zhǔn)題，然后再動(dòng)手處理，所以在教學(xué)中應(yīng)注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，規(guī)范書寫，應(yīng)注重通性通法教學(xué)，讓考生能得到較理想的分?jǐn)?shù).

試題評(píng)價(jià)：本題主要考查函數(shù)的極值及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單，讓學(xué)生能看清題目實(shí)質(zhì)要求較高，試題“入口寬，方法多”，對(duì)函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想要求較高，能有效區(qū)分能力較強(qiáng)的考生，利于高校選拔優(yōu)秀人才.

四、復(fù)習(xí)備考建議

1.回歸基礎(chǔ)知識(shí)，回歸教材內(nèi)容

重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的復(fù)習(xí)，首輪復(fù)習(xí)時(shí)在概念定義、通性通法上回歸教材，把教材上典型的例題、習(xí)題（復(fù)習(xí)題）過一下；對(duì)復(fù)習(xí)資料要處理，刪去偏難、偏怪、超綱、解法太唯一的題目；對(duì)基本運(yùn)算能力、空間想象能力、推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力等在復(fù)習(xí)時(shí)要求逐步提高，最后達(dá)到高考要求；防止出現(xiàn)復(fù)習(xí)的漏點(diǎn)、盲點(diǎn)（例如二項(xiàng)式定理、定積分、正態(tài)分布、期望、方差等）；部分降低要求或不考的內(nèi)容不宜過分拓廣加深（例如反函數(shù)、實(shí)際推斷原理和假設(shè)檢驗(yàn)、聚類分析等）.

2.改變教學(xué)方式，提高復(fù)習(xí)效果

突出過程教學(xué)，更要講為什么.數(shù)學(xué)基本知識(shí)不但要理解，還要會(huì)運(yùn)用，更要知道是怎么得到的，不但要講理，更要講道理.要注重?cái)?shù)學(xué)基本知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程的教學(xué)，注重?cái)?shù)學(xué)問題解決思路的探究過程的分析.堅(jiān)持三個(gè)并重：巧算與硬算并重，主干與細(xì)節(jié)并重，重點(diǎn)與非重點(diǎn)并重.知識(shí)理解“深化”、考試題型“類化”、通性通法“強(qiáng)化”、解題思維“優(yōu)化”.查考試說明把握方向、查高考試題明辨重點(diǎn)、查課標(biāo)教材回歸基礎(chǔ)、查考生學(xué)習(xí)效果對(duì)癥下藥.讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)：別人“點(diǎn)”，心有靈犀一點(diǎn)通；自己“悟”，融會(huì)貫通；動(dòng)手“做”，觸類旁通；自主“學(xué)”，無師自通.

3.加強(qiáng)訓(xùn)練的針對(duì)性、有效性、科學(xué)性

選題既要符合學(xué)生的實(shí)際，又要符合高考的實(shí)際；訓(xùn)練要有“度”，不要迷信“熟能生巧”；題目不求多，要求“活、聯(lián)、變”；特別注意中低檔題的訓(xùn)練，因?yàn)樗鼈儤?gòu)成了高考試卷的主體，所占分值至少有105分；“小、靈、通”題目是訓(xùn)練重點(diǎn)，抓好中低檔題的三點(diǎn)：入手點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、警戒點(diǎn).

4.注重解題反思，提升思維能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是學(xué)知識(shí)，更重要的是學(xué)方法；不僅是會(huì)解題，更重要的是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法；不只知道一些數(shù)學(xué)思想與方法的名詞術(shù)語，更重要的是在過程中去體會(huì)領(lǐng)悟出數(shù)學(xué)思想與方法.過程中就會(huì)產(chǎn)生思想、方法和智慧.知識(shí)教學(xué)時(shí)要展示其知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程與探求過程，解題時(shí)要重視解題思路探求與優(yōu)化，作業(yè)練習(xí)時(shí)要經(jīng)常進(jìn)行解題反思.一個(gè)問題解決后，就要停下來咀嚼，慢慢品味，不要急于去做第二個(gè)題，不怕慢，只怕站.引導(dǎo)學(xué)生反思導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的根源，反思解題思路，反思解題過程，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的思維能力自然會(huì)得到提升.

5.訓(xùn)練考試技巧，指導(dǎo)考試方法

教師應(yīng)幫助每個(gè)學(xué)生確定自己的基本分，樹立目標(biāo)意識(shí)；培養(yǎng)學(xué)生一不怕苦、二不怕死的鍥而不舍的精神；對(duì)不同高考題型處理不同：小題巧做，大題小做，難題分步做；樹立良好考試心態(tài)，題易人易，我不大意；題難人難，我不畏難；綜合練習(xí)后引導(dǎo)學(xué)生“悟一悟”，學(xué)會(huì)反思總結(jié)；注意訓(xùn)練書寫規(guī)范，巧妙使用草稿紙，在答卷上抄寫得分點(diǎn)的主要步驟，培養(yǎng)得分意識(shí).

1.教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（理科）［M］.北京：高等教育出版社，2017（1）.

2.教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說明（理科）［M］.北京：高等教育出版社，2017（1）.

3.張曉斌.立足重慶，促進(jìn)課改——2014年高考數(shù)學(xué)重慶卷試題特點(diǎn)述評(píng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（9）.

4.張曉斌，肖飛，江楠.來自高考數(shù)學(xué)閱卷場(chǎng)的報(bào)告——2015年重慶卷考生答題分析與教學(xué)建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（9）.

5.張曉斌，黃億君.突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，著眼學(xué)生能力發(fā)展——2016年全國(guó)數(shù)學(xué)卷（Ⅱ）試題特點(diǎn)分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（8）.