☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

讓探究之花在課堂綻放
——以一節(jié)“直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課為例

☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

“直線方程和圓的方程”作為江蘇高考的8個(gè)C級(jí)考點(diǎn)中的2個(gè)，是江蘇高考的必考內(nèi)容，也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，尤以考查“直線與圓的位置關(guān)系”為主，既考小題也考大題.本節(jié)課從一道考題出發(fā)，鋪展開去，引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)從問題的幾何屬性這一視角進(jìn)行探究，簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速求解.

一、試題呈現(xiàn)

考題 （江蘇省淮陰中學(xué)2017高三4月?？嫉?3題）如圖1，已知直線y=kx+2與圓x2+y2=8交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，C（4，4），則的最大值為_______.

二、解法探析

師：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立讀題，仔細(xì)審題，認(rèn)真思考，拿出解決方案.

圖1

師：能具體說說第一步怎么辦嗎？

生1：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y），M（x，y），由，得200，（k2+1）x2+4kx-4=0，從而有x1+x2=-=2x0，將k代入上式并化簡(jiǎn)得，+（y-1）2=1.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程0為x2+（y-1）2=1.

師：生1同學(xué)的解法是通過消參法，消去參數(shù)k，得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，其方法實(shí)質(zhì)就是我們平時(shí)所講的“設(shè)而不求”.請(qǐng)大家再思考，還有其他辦法嗎？

生2：用點(diǎn)差法.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則式相減得 （x1+x2）（x1-x2）+（y1+y）（y-y）=0，所以直線AB的斜率為k=212又點(diǎn)M在直線AB上，所以y=kx+2，從而有y=-+2，即

000有+（y0-1）2=1.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+（y-1）2=1.

師：同學(xué)們，解析幾何主要是用代數(shù)方法研究幾何問題，但它畢競(jìng)還是幾何問題，能否從幾何屬性的視角加以考慮呢？

生3：直線y=kx+2恒過圓x2+y2=8內(nèi)的定點(diǎn)P（0，2）.因?yàn)镸為弦AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AB，即OM⊥MP.由平幾知識(shí)知，動(dòng)點(diǎn)M在以O(shè)P為直徑的圓Q上（設(shè)該圓圓心為Q），其方程為x2+（y-1）2=1.

師：非常好！生3同學(xué)的解法充分注意到直線與圓相交所得弦與弦心距垂直，以及圓的性質(zhì)等幾何屬性，思路清晰，特點(diǎn)鮮明，方法簡(jiǎn)潔.

師：好！至此，我們同學(xué)給出了三種求動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程的方法，其中方法1與方法2是研究直線與圓錐曲線相交問題的常用方法，運(yùn)算量相對(duì)大一些，而方法3則是借助平面圖形的幾何屬性直接確定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是以線段OP為直徑的圓，進(jìn)而建立圓的方程，簡(jiǎn)潔明了.

師：下面再看看，第二步怎么辦？

生5：三角代換法.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+（y-1）2=1，所以可設(shè)θ∈［0，2π），（cosθ-4）2+（sinθ-3）2+cos2θ+（sinθ+1）2=28-4（sinθ+2cosθ）=28-4sin（θ+φ），因此的最大值為28+4

師：對(duì)于第二步，生4，生5兩位同學(xué)從不同的視角給出了兩種解法，都較為簡(jiǎn)單.大家是否注意到，這里求的是兩個(gè)向量模的平方和，能否用向量轉(zhuǎn)化呢？

生6：如圖1，設(shè)線段OC的中點(diǎn)為N，則有N（2，2）.又因?yàn)?，兩式平方相加并整理得，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求|M￣→N|的最大值.

生7：其實(shí)，生6的結(jié)論也可由平幾知識(shí)直接得出，運(yùn)用“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和，等于它的一組鄰邊平方和的2倍”.

師：很好！這說明我們生7同學(xué)的平幾功底是很扎實(shí)的.那現(xiàn)在請(qǐng)大家小結(jié)一下第二步的本質(zhì)是什么？

生8：本質(zhì)是把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的“圓外一定點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)之間距離的最大值”問題.運(yùn)用的是化歸與轉(zhuǎn)化思想.當(dāng)然，用三角代換法也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.

師：生8同學(xué)的概括十分準(zhǔn)確，大家給點(diǎn)掌聲鼓勵(lì)鼓勵(lì)！

師：我們把兩步驟聯(lián)系起來看，你能發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解法嗎？

生9：最優(yōu)解法就是運(yùn)用平幾的性質(zhì)直接歸納出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓，再運(yùn)用平幾知識(shí)將所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化“圓外一定點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)之間距離的最值”.也就是說充分運(yùn)用圖形的幾何屬性，可以起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.

師：生9同學(xué)說的很好！由于解析幾何的本質(zhì)就是用代數(shù)方法研究幾何問題，因此，在解題過程中，如能恰當(dāng)運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)，則可大大降低思維量與運(yùn)算量，快速而準(zhǔn)確地解決問題.

三、變式演練

變式練習(xí)是知識(shí)與能力之間的橋梁，是學(xué)生掌握知識(shí)、提升能力的重要抓手.學(xué)生經(jīng)過一定的變式訓(xùn)練和深度的思維碰撞后，知識(shí)的遷移能力、運(yùn)用能力將自然形成.

練習(xí)1（南師2017年高考目標(biāo)測(cè)試卷1第10題）設(shè)m∈R，直線l1：x+my-2=0和直線l2：mx-y+4=0，P為直線l1與直線l2的交點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：x+2y+5=0的距離的最大值為________.

師：請(qǐng)大家思考并給出解決辦法.

生10：求出直線l1與直線l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出點(diǎn)P到直線的距離d，再用函數(shù)思想求最大值.易求得P，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)，所以

師：生10同學(xué)按照題設(shè)條件，先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出最值，思路正確，體現(xiàn)了處理此類問題的通性通法，值得肯定.但運(yùn)算可不簡(jiǎn)單喲！還有沒有其他的思路？

生11：挖掘題目的隱含條件，l1恒過定點(diǎn)A（2，0），l2恒過定點(diǎn)B（0，4），l1⊥l2.由此不難看出交點(diǎn)P在以線段AB為直徑的圓C：（x-1）2+（y-2）2=5上，圓心C到直線l：x+2y+5=0的距離d′=2，直線l與圓C相離，所以圓上動(dòng)點(diǎn)到直線l距離的最大值

師：生11同學(xué)太棒了！他的思路在于充分挖掘題目的隱含條件，一方面發(fā)現(xiàn)兩直線分別過一定點(diǎn)，另一方面發(fā)現(xiàn)兩直線互相垂直，從而說明動(dòng)點(diǎn)P在定圓C上，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到定直線距離的最大值問題，再利用幾何屬性解題，快速簡(jiǎn)單！因此，對(duì)于幾何問題的探究，如能恰當(dāng)運(yùn)用圖形的幾何屬性，可以精準(zhǔn)把握題目要領(lǐng)，使探究活動(dòng)更高效！

練習(xí)2（南師2017年高考目標(biāo)測(cè)試卷4第12題）圓C：x2+y2-2x-2y+1=0，直線l：3x+4y-17=0.若在直線l上任取一點(diǎn)M作圓C的切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B，則線段AB長(zhǎng)度取最小值時(shí)直線AB的方程為_______.

圖2

師：請(qǐng)同學(xué)們幫我分析一下思路.

師：本題也是從圖形的幾何屬性出發(fā)，結(jié)合三角函數(shù)將“線段AB長(zhǎng)度最小”轉(zhuǎn)化為“線段CM長(zhǎng)度最小”，從而有CM⊥l.

練習(xí)3（2017年宿遷三模第13題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：（x+2）2+（y-m）2=3.若圓C存在以G為中點(diǎn)的弦AB，且AB=2GO，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

師：本題有何特點(diǎn)？

分析1：如圖3，設(shè)G（a，b），由AB=2GO，得AG=GO，從而3-［（a+2）2+（b+m）2］=a2+b2，整理得（a+1）2+≥0.所以m∈

圖3

分析2：由AB=2GO，得OA⊥OB.過點(diǎn)O作圓C的兩條切線OM，ON，由平幾知識(shí)知，∠MON≥∠AOB=，所以sin∠CON≥sin，即OC≤，從而有m∈

練習(xí)4（2017年南京三模第13題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2+y2=1，圓M：（x+a+3）2+（y-2a）2=1，其中a為實(shí)數(shù).若圓O與圓M上分別存在點(diǎn)P，Q，使得∠OQP=，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

圖4

四、課后檢測(cè)

1.（南京市2017年高三二模數(shù)學(xué)卷第11題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kx-y+2=0和直線l2：x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為_________.

2.在平直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+（y-3）2=2，點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ的長(zhǎng)的取值范圍為_________.

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為圓C：（x-a）2+（y-1）2=上任意一點(diǎn)，N為直線l：ax+y+3=0上任意一點(diǎn)，若以M為圓心，MN為半徑的圓與圓C至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則正數(shù)a的最小值為_________.

五、教學(xué)思考

直線與圓的位置關(guān)系一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，在江蘇高考中的地位很重要，相關(guān)試題多在填空題中出現(xiàn)，屬中、高檔題；有時(shí)也會(huì)設(shè)計(jì)直線與圓的解答題.結(jié)合本節(jié)課內(nèi)容，有如下教學(xué)思考：

1.明確《課標(biāo)》與《考試說明》要求

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確指出：在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程；能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.《考試說明》要求：能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程；能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

2.重視直線與圓的幾何性質(zhì)與代數(shù)表示之間的關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的，“代數(shù)法”側(cè)重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標(biāo)”與“方程”；而“幾何法”則側(cè)重于“形”，利用了圖形的性質(zhì).有些直線與圓的問題，其條件往往聯(lián)系著某種明確的幾何性質(zhì)，如果將這種幾何性質(zhì)蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示，就可以簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算.

3.圓的幾何性質(zhì)不容忽視

學(xué)生在初中已對(duì)直線與圓的性質(zhì)進(jìn)行了初步的學(xué)習(xí)，因此，在解答直線與圓的有關(guān)問題時(shí)，理應(yīng)先從幾何的角度思考解題的方法與途徑.然而，在教學(xué)過程中能明顯感受到學(xué)生對(duì)圓的幾何性質(zhì)的掌握程度不高，且探究比較少，在解答與圓有關(guān)的問題時(shí)，出手常偏重代數(shù)運(yùn)算，忽視幾何性質(zhì)，導(dǎo)致簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化.因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過程中，要有意識(shí)地帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)、鞏固、探究直線與圓的有關(guān)性質(zhì)，努力將幾何性質(zhì)與代數(shù)方法有機(jī)地結(jié)合起來，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)快速解答.

4.注重?cái)?shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問題的方法與策略，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的把握程度，體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高度，決定學(xué)生在問題解決過程中的策略水平.通過高考試題的研究可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于直線與圓的方程的試題，常常突出考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.