楊振杰 趙康年

（青海大學地質工程系， 青海 西寧 810016）

基于最小二乘的工業(yè)測量圓孔部件擬合研究

楊振杰 趙康年通訊作者

（青海大學地質工程系， 青海 西寧 810016）

在工業(yè)測量中，圓孔是一種重要的幾何特征。通常，我們可以匹配重建出圓孔的邊緣點云，但是這樣的點云往往不規(guī)則，需要精確的擬合。本文探討了圓形幾何體基于最小二乘的代數(shù)擬合方法，并對獲取來的標準幾何體的測量數(shù)據(jù)進行了處理分析，并得出擬合精度。實驗結果表明，最小二乘方法擬合精度滿足一定的測量需求。

工業(yè)測量；圓孔；最小二乘；代數(shù)擬合

在不同測量條件下（如對象，表面材料，測量范圍和環(huán)境）幾秒之內得到的密集的3D點云，它主要是由簡單的幾何元素，如平面、球面、圓，錐和環(huán)面。在科學和技術不斷發(fā)展下，人們對3D測量技術和三維數(shù)據(jù)迅速處理的需求也在增加[1]。與三維測量技術的進展相比，三維數(shù)據(jù)處理在軟件工具方面幾乎停滯不前[2]。

幾何元素的擬合方法有最小區(qū)域法、最小二乘法和與具體元素相關的其他方法，比如圓的擬合有最小外接圓法、最大內切圓法等[3]。其中，最小二乘法由于其理論相對比較成熟，工程應用簡單易行，因此最小二乘法具有一定的可行性。最常見的是代數(shù)擬合方法，用含代數(shù)參數(shù)的隱式多項式方程來表示曲線或曲面，如果測量點不在擬合模型上，就存在擬合誤差，我們把它叫做代數(shù)距離[4]。簡單直接的方法是確定使每個點的代數(shù)距離的平方和最小的代數(shù)參數(shù)。在生產(chǎn)制造過程中，經(jīng)過加工的零件，不僅會產(chǎn)生尺寸誤差，而且會產(chǎn)生形位誤差，這些誤差的存在對零件的性能及裝配質量會產(chǎn)生重要的影響，因此必須將其控制在一定的范圍內[5]。

本文結合工業(yè)測量實踐中的圓形部件，構建其參數(shù)模型，進行最小二乘的擬合處理研究，最后通過獲取來的實驗數(shù)據(jù)對這些方法進行對比得出結論。

1 最小二乘擬合原理

設空間內有一個曲線工件，為求取其變形量，對該工件上的點進行一系列觀測，得到n個點的坐標(xi，yi，zi)，由于該工件存在變形，不考慮觀測誤差，每個觀測點的變形量即該點觀測值與設計值的直線距離[6]。

圖2.1 最小二乘擬合法

以vi表示各觀測點至設計值之間的距離改正數(shù)，可以采用多種方法來較合理的確定，測繪工作中常采用的方法，也就是使每個觀測點到曲線距離的平方和為最小。

觀測過程中每個點的中誤差都存在一定的差別，合理的方法是定義權

式（1）中σ0是與觀測值無關的常數(shù)項，稱為先驗單位權中誤差，mi為i點的中誤差，中誤差與權值成反比。

按式（2）確定出的曲線被認為是最合理的。寫成矩陣形式

2 圓形幾何體測量數(shù)據(jù)擬合方法

由解析幾何知道，兩點確定一條直線，不在一條直線上的三點確定一個平面或圓。當測量的特征點多于必要被測要素擬合點數(shù)時，采用最小二乘進行數(shù)據(jù)處理，確定被測要素。其原理是：假定有一理想要素使得被測要素的各點到該理想要素的平方和為最小，那么該理想要素的特征參數(shù)即為所要求的被測要素的特征參數(shù)。下面介紹標準圓形幾何體的代數(shù)擬合方法。

設空間圓的圓心坐標為(x0，y0，z0)，半徑為R，那么空間圓的方程為

與平面擬合類似，將式（3）的第二式化為：

線性化后的誤差方程為：

式中，

最后擬合求出參數(shù)（ dxo， dyo， dzo， dR，da，db）。

空間圓的參數(shù)為：

幾何要素擬合的流程主要分以下幾步:

1）選取擬合點：在點坐標庫中選取要擬合的測量點，選點要具有代表性，粗差點首先要予以剔除；

3）列誤差方程：根據(jù)選取點的個數(shù)，按間接法平差的最小二乘法則列出誤差方程；

4）求解法方程；

5）精度評定，擬合過程用來確定系數(shù)的最佳取值，以使該直線到給定的點的誤差在均方根意義下達到最小。按照式（8）求取均方根：

3 標準幾何體數(shù)據(jù)獲取與處理分析

圓數(shù)據(jù)獲取：借助相機及工業(yè)測量軟件對圓形孔匹配處理，提取并計算圓上點的三維坐標，如圖1所示。共得到圓上的162個三維離散點，用P0-P161表示，每個點位的代數(shù)擬合結果展示在表1中（文中只展示部分點），并用圖3繪制顯示。最后將空間擬合結果展示在三維軟件中，如圖2所示

圖1 圓孔獲取

圖2圓擬合空間展示

表1 圓數(shù)據(jù)的擬合結果

圖3 點到擬合圓的距離圖

有上述處理結果可以看出，針對工業(yè)測量中的圓孔工業(yè)部件而言，最小二乘擬合的均方根誤差可以達到0.14mm，達到基本的工業(yè)測量需求。

4 總結

論文主要圍繞基于最小二乘擬合的代數(shù)擬合方法和原理，結合工業(yè)測量具體圓形孔的部件進行了研究分析，取得了較為理想的擬合結果。通常根據(jù)測量的一系列坐標點，選取一定的數(shù)學模型，進而尋取曲線特征，求解曲線的相關參數(shù)，為工程建設管理提供必要的基礎信息。但是在 GIS數(shù)據(jù)獲取中，通常根據(jù)一系列的實際測量點或者是地圖數(shù)字化點擬合道路、水系、等高線等曲線[7]。所以在曲線曲面擬合、由標準幾何體構成的非標準物體的擬合算法還有待研究，如拋物線、雙曲線、圓柱面、拋物面的擬合處理研究。

[1] 厲東偉．工業(yè)測量系統(tǒng)在國內外的發(fā)展現(xiàn)狀．科技信息．2011，22（08）：130-132

[2] Sung Joon Ahn．Last Squares Orthogonal Distance Fitting of Curves and Surfaces in Spare．Springer Berlin Heidelberg New York：Springer，2004，9-34

[3] 杜福洲，王小強，段桂江．基于最小二乘的幾何元素擬合算法研究．航空制造技 術．2011，15（21）：65-68

[4] 王解先，季凱敏．工業(yè)測量擬合．北京：測繪出版社．2008，36-78

[5] 孫佳龍．工業(yè)測量數(shù)據(jù)處理及三維可視化系統(tǒng)的研究與開發(fā)[碩士學位論文]．山東科技大學，2006

[6] 周興林．大尺寸截面幾何形狀視覺測量系統(tǒng)的研究[博士學位論文]．天津大學，2007

[7] 蔡強．工業(yè)測量擬合與設備幾何要素分析技術的研究[碩士學位論文]．山東科技大學，2011．

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1007-6344（2017）10-0257-02