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        調(diào)和p方凸函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的定義及其判別法

        2017-10-16 08:10:21
        關(guān)鍵詞:定義

        沈 君

        (海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 海南 ???571158)

        調(diào)和p方凸函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的定義及其判別法

        沈 君

        (海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 海南 ???571158)

        給出了調(diào)和p方凸函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的定義以及判定方法,建立了調(diào)和p方凸函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的Jensen不等式

        凸函數(shù); 調(diào)和p方凸函數(shù); 調(diào)和p次冪s-凸函數(shù); Jensen不等式

        凸函數(shù)是一類(lèi)應(yīng)用比較廣的函數(shù),特別在數(shù)學(xué)規(guī)劃和不等式的研究中發(fā)揮著重要的作用.近年來(lái),研究者們開(kāi)始研究由凸函數(shù)延伸出來(lái)的函數(shù)類(lèi),例如:幾何凸函數(shù)[1]、平方凸函數(shù)[2]、r-平均凸函數(shù)[3]、調(diào)和凸函數(shù)[4]和r次冪平均s-凸函數(shù)[5]等,給出了其延伸函數(shù)類(lèi)的概念、判定定理及其應(yīng)用.

        f(λx1+(1-λ)x2)≤λsf(x1)+(1-λ)sf(x2),

        則稱(chēng)f(x)是I上的調(diào)和凸函數(shù);如果不等號(hào)方向相反,則稱(chēng)f(x)是I上的調(diào)和凹函數(shù).

        1 調(diào)和p方凸函數(shù)定義及其判定定理

        s-凸函數(shù)和調(diào)和凸函數(shù)的研究已經(jīng)比較深入,特別是對(duì)Jensen不等式的研究取得了很多成果[1-7],得到了一些很有意義的結(jié)論.受此啟發(fā),筆者把調(diào)和凸函數(shù)定義中的-1次冪推廣到-p次冪,提出了調(diào)和p方凸函數(shù),又結(jié)合s-凸函數(shù)與調(diào)和p方凸函數(shù),提出了調(diào)p和次冪s-凸函數(shù),研究了2類(lèi)凸函數(shù)類(lèi)的判別法和Jensen不等式,得到一些結(jié)論,豐富了凸分析的內(nèi)容.

        則稱(chēng)f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p方凸(凹)函數(shù).

        顯然,當(dāng)p=1時(shí),調(diào)和p方凸函數(shù)就是調(diào)和凸函數(shù).

        定理1 設(shè)f(x)是定義在[a,b]?(0,+∞)上的正值函數(shù),f(x)為[a,b]上調(diào)和p方凸(凹)函數(shù)的充要條件為g(x)=[f(x-1/p)]-p是[b-p,a-p]上的凹(凸)函數(shù).

        即證明了f(x)為[a,b]上調(diào)和p方凸函數(shù).

        即證明了g(x)是[b-p,a-p]上的凹函數(shù).

        證畢.

        定理2 設(shè)f(x)是定義在I?(0,+∞)上的二階可導(dǎo)的正值函數(shù),則f(x)是I上調(diào)和p方凸(凹)函數(shù)的充分必要條件是

        (p+1)x(f′(x))2-xf(x)f″(x)-(p+1)f(x)f′(x)≤0(≥0).

        證明必要性 若是區(qū)間I上調(diào)和p方凸函數(shù),由定理1知,g(x)=[f(x-1/p)]-p是I上的凹函數(shù),即

        整理上式,并把上式中x-1/p用x代替,得

        .

        (p+1)x(f′(x))2-xf(x)f″(x)-(p+1)f(x)f′(x)≤0.

        充分性 將必要性證明過(guò)程逆推即得充分性的證明過(guò)程.

        證畢.

        2 調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的定義及其判別定理

        則稱(chēng)f(x)是區(qū)間I上的調(diào)p和次冪s-凸(凹)函數(shù).

        從而證明了f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p次冪s-凸函數(shù).

        因此g(x)為I-p上的s-凹函數(shù).

        證畢.

        (x3-x2)s(f(x1))-p-(x3-x1)s(f(x2))-p+(x2-x1)s(f(x3))-p≥0(≤0) .

        把λ代入上式,整理即可得.

        (x3-x2)s(f(x1))-p-(x3-x1)s(f(x2))-p+(x2-x1)s(f(x3))-p≥0 .

        充分性 上述證明過(guò)程逆推即可得充分性成立.

        證畢.

        (p+1)x(f′(x))2-xf(x)f″(x)-(p+1)f(x)f′(x)≥0

        成立,則f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p次冪s-凹函數(shù).

        t(f(x1))-p≤ts(f(x1))-p,(1-t)(f(x2))-p≤(1-t)s(f(x2))-p

        成立,從而

        (t(f(x1))-p+(1-t)(f(x2))-p)-1/p≥[ts(f(x1))-p+(1-t)s(f(x2))-p]-1/p,

        由已知條件知f(x)是I上的調(diào)和p方凹函數(shù),即有

        即證明了f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p次冪s-凹函數(shù).

        同理可證,若f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p次冪s-凸函數(shù),則f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p方凸函數(shù).

        3 調(diào)和p方凸函數(shù)的Jensen不等式

        建立了調(diào)和p方凸(凹)函數(shù)的離散型和積分型Jensen不等式.

        證明只證f(x)是調(diào)和p方凸函數(shù)的情況,當(dāng)f(x)是調(diào)和p方凹函數(shù)時(shí)同理得證.

        令g(x)=[f(x-1/p)]-p,由定理1知g(x)為[b-p,a-p]上的凹函數(shù),利用凹函數(shù)的Jensen不等式,得

        代換,即得結(jié)果

        定理6中Jensen不等式還有另一種一般加權(quán)形式的表示.

        推論1′ (積分型Jensen不等式的一般加權(quán)形式) 設(shè)φ(x),w(x)是區(qū)間[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù),f(x)是φ([a,b])上連續(xù)、正值的調(diào)和p方凸(凹)函數(shù),則

        證明參照文獻(xiàn)[7-8],利用定積分的定義即可證明推論1′.

        推論2′ (積分型Jensen不等式) 設(shè)φ(x)是定義在[a,b]?(0,+∞)上的正值連續(xù)函數(shù),f(x)是φ([a,b])上正值、連續(xù)的調(diào)和p方凸函數(shù),則

        證明在推論1′中令p(x)=1即得證.

        4 調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)Jensen型不等式

        證明用數(shù)學(xué)歸納法可得證明.

        5 小 結(jié)

        給出了調(diào)和p方凸(凹)函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸(凹)函數(shù)的定義及其判定定理,建立了調(diào)和p方凸函數(shù)的離散型和積分型的Jensen不等式,建立了調(diào)和p次冪s-凸(凹)函數(shù)的離散型Jensen不等式,豐富了凸分析的內(nèi)容.

        [1] 張小明.幾何凸函數(shù)的幾個(gè)定理及其應(yīng)用[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,25(2):11-13.

        [2] 宋振云.P方凸函數(shù)的性質(zhì)及Hadamard不等式[J].阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,27(4):20-24.

        [3] 施未來(lái),時(shí)統(tǒng)業(yè),陸敏.與P方凸函數(shù)有關(guān)的單調(diào)函數(shù)[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,27(5):29-30.

        [4] 吳善和.調(diào)和凸函數(shù)與琴生不等式[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,27(4):382-386.

        [5] 宋振云,陳少元,胡付高.r次冪平均s-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,48(4):19-24.

        [6]HudzikH,MaligrandaL.Someremarksons-convexfunction[J].AequationsMathematicae,1994,48(1):100-111.

        [7] 宋振云. 關(guān)于調(diào)和凸函數(shù)的積分型Jensen不等式[J].湖北技術(shù)職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2012,15(1):101-104.

        [8] 黃大榮,李志艷. 關(guān)于Jensen不等式的幾個(gè)推廣[J].甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2000,14(增刊2):4-7.

        Abstract:In the report, the harmonic powerp-convex functions and the harmonicp-th powers-convex functions were proposed, and the Jensen inequalities for the harmonic powerp-convex functions and the harmonicp-th powers-convex functions were established.

        Keywords:convex function; harmonic powerp-convex function; harmonicp-th powers-convex function; Jensen inequality

        HarmonicPowerp-ConvexFunctionandHarmonicp-thPowerMeans-ConvexFunctionandItsCriterions

        Shen Jun

        (School of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou 571158, China)

        O 17

        A DOl:10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0033

        2017-04-05

        海南省自然科學(xué)基金(117123)

        沈君(1979-),女,河北保定人,副教授,碩士,研究方向:不確定信息處理、高等數(shù)學(xué),E-mail:407519785@qq.com

        1004-1729(2017)03-0201-04

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