董麗沙，王湘玉

(河北科技師范學(xué)院 a.數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，b.工商管理學(xué)院，河北 秦皇島，066004)

基于三叉樹模型的美式期權(quán)定價及其Matlab算法

董麗沙a，王湘玉b

(河北科技師范學(xué)院 a.數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，b.工商管理學(xué)院，河北 秦皇島，066004)

研究了存在連續(xù)紅利的美式期權(quán)定價的數(shù)值解法，通過尋找三叉樹模型中各個結(jié)點(diǎn)處標(biāo)的資產(chǎn)價格的通項(xiàng)公式，得到了美式期權(quán)數(shù)值解的迭代公式及Matlab算法，結(jié)合Matlab比較了三叉樹模型的穩(wěn)定性優(yōu)于二叉樹模型，并通過控制變量法，直觀地得到了美式期權(quán)價值對其各個影響因素的敏感性結(jié)果分析：美式看漲期權(quán)的價值與無風(fēng)險利率、標(biāo)的資產(chǎn)價格及其波動率和期權(quán)持有期呈正相關(guān)，與敲定價格呈負(fù)相關(guān)。

美式期權(quán)；三叉樹；Matlab；控制變量；敏感性

對于期權(quán)的定價很早就有人進(jìn)行了探索，但都因包含一些主觀參數(shù)而幾乎不具有實(shí)用價值。1973年，Black F等[1]得到了描述期權(quán)價格變化所滿足的偏微分方程，即B-S公式，為各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎(chǔ)。B-S模型的一個局限性問題就是沒有考慮標(biāo)的股票在合同有效期內(nèi)發(fā)放紅利的情況。1976年，Merton將其推廣到股票價格可能會存在跳躍點(diǎn)的情形，包含了標(biāo)的股票連續(xù)支付紅利的情況，將模型的實(shí)用性推進(jìn)了一大步。

雖然B-S模型對于歐式期權(quán)有精確的定價公式，然而目前尚沒有得到美式期權(quán)定價的解析解，其原因就在于美式期權(quán)在到期前的任何時刻都可以被執(zhí)行。1979年，Cox J C等[2]為B-S模型提供了一個比較簡單和直觀的方法——二叉樹期權(quán)定價，通過將連續(xù)時間進(jìn)行等分，從而將標(biāo)的物價格的連續(xù)變化近似看作離散的隨機(jī)游走過程。該模型已成為建立復(fù)雜期權(quán)(美式期權(quán)和奇異期權(quán))定價模型數(shù)值解求解的基本手段。梁義娟等[3]介紹了美式期權(quán)定價的幾種常見方法，尤其對二叉樹方法和蒙特卡羅方法的數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了比較。劉帥[4]引入波動率模型，建立了二叉樹定價方法求解存在紅利和交易費(fèi)用的美式看漲期權(quán)的價值，研究了計(jì)算方法的穩(wěn)定性和收斂性。在考慮隨機(jī)波動率和隨機(jī)利率的前提下，武斌等[5]建立了歐式期權(quán)的三叉樹定價模型，并通過風(fēng)險中性測度理論的假設(shè)，得到了更切合現(xiàn)實(shí)市場的歐式期權(quán)定價公式。

1 模型簡述

不同于以往的資產(chǎn)價格表示模型，為了更加直觀地構(gòu)造期權(quán)價值矩陣中各個結(jié)點(diǎn)與其期權(quán)價值的對應(yīng)關(guān)系，本次研究設(shè)定初始時刻為t1，即0=t1

圖1 多期三叉樹標(biāo)的資產(chǎn)價格示意圖

在期權(quán)到期時刻T(tn+1)時，美式期權(quán)的價值可由下式確定：

美式看漲期權(quán)，vn+1, j=max{Sundj-1-K, 0},(j=1,2,…,2n+1)

美式看跌期權(quán)，vn+1, j=max{K-Sundj-1, 0},(j=1,2,…,2n+1)

其中K是期權(quán)的敲定價格。

類似于二叉樹期權(quán)定價模型的算法，基于三叉樹模型依然采用向后倒推的方法給美式期權(quán)定價。由風(fēng)險中性估計(jì)公式，得到在任意結(jié)點(diǎn)(i,j)(i=1,2,…,n；j=1,2,…,2i-1)處美式期權(quán)價值的迭代公式：

美式看漲期權(quán)，vi, j=max{Sui-1dj-1-K, e-rΔt(puvi+1, j+pmvi+1, j+1+pdvi+1, j+2)}

美式看跌期權(quán)，vi, j=max{K-Sui-1dj-1, e-rΔt(puvi+1, j+pmvi+1, j+1+pdvi+1, j+2)}

2 模型求解及Matlab算法的實(shí)現(xiàn)

何穎俞[7]根據(jù)二叉樹模型定價理論，利用原點(diǎn)矩和中心距的關(guān)系推廣得到三叉樹下相關(guān)參數(shù)的計(jì)算公式：

基于上述討論，存在連續(xù)紅利的美式期權(quán)三叉樹定價模型的Matlab數(shù)值算法(M文件)如下：

function[value]=fun1(S,K,T,r,sig,n) %r為實(shí)際利率與連續(xù)紅利之差

dt=T/n;

M=(exp(r*dt)+exp((3*r+3*sig^2)*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-1)/(2*(exp((2*r+sig^2)*dt)-exp(r*dt)))

u=M+sqrt(M^2-1)

d=1/u;

p1=((1+d)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-d)/((d-u)*(u-1))

p2=((u+d)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-1)/((1-d)*(u-1))

p3=((1+u)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-u)/((d-u)*(1-d))

%T時刻即t(n)時刻期權(quán)價值：

for t=1:1:2*n+1

V(n+1,t)=max(S*u^n*d^(t-1)-K,0); %美式看漲期權(quán)

%V(n+1,t)=max(S*u^n*d^(t-1)-K,0); %美式看跌期權(quán)

end

%(i,j)結(jié)點(diǎn)處期權(quán)價值(i=1,2,.n,j=1,2,.2i-1)：

for i=n:-1:1

for j=1:1:2*i-1V(i,j)=max(S*u^(i-1)*d^(j-1)-K,(exp(-r*dt)*(p1*V(i+1,j)+p2*V(i+1,j+1)+p3*V(i+1,j+2)))); %美式看漲期權(quán)

%V(i,j)=max(K-S*u^(i-1)*d^(j-1),(exp(-r*dt)*(p1*V(i+1,j)+p2*V(i+1,j+1)+p3*V(i+1,j+2))));%美式看跌期權(quán)

end

end

value=V(1,1)

3 實(shí)例研究

已知一個1年的美式看漲期權(quán)，股票初始價格為100，執(zhí)行價格為100，無風(fēng)險利率為每年0.1，股票價格波動率為每年0.4，連續(xù)支付紅利率為0.05。

(1)研究美式期權(quán)定價的二叉樹、三叉樹中隨著參數(shù)n的變化期權(quán)價值的變化。

通過調(diào)用二叉樹算法(Matlab算法見附錄)和三叉樹算法的M文件:

for n=1:1:40

y1(n)=fun1(100,100,1,0.05,0.4,n);%調(diào)用美式期權(quán)三叉樹定價M文件

y2(n)=fun2(100,100,1,0.05,0.4,n);%調(diào)用美式期權(quán)二叉樹定價M文件

axis([0 40 0 25]);

plot(n,y2(n),′*′)

plot(n,y1(n),′r.′)

hold on

end

圖2 隨著樹叉數(shù)的增加二叉、三叉樹圖法計(jì)算期權(quán)價值

x=1:1:40;

plot(x,y2,′--′,x,y1,′r-′)

分別得到二叉樹和三叉樹下隨著樹叉增加時美式看漲期權(quán)價值的變化情況(圖2)。其中虛線和實(shí)線分別表示二叉樹和三叉樹下隨著叉數(shù)的增加期權(quán)價值的變化過程。可以看出，隨著樹叉數(shù)的逐漸增多，二叉樹、三叉樹模型所得的數(shù)值解都可以趨于穩(wěn)定，但顯然當(dāng)樹叉數(shù)N≥10時，三叉樹的期權(quán)價值已基本趨于穩(wěn)定，而二叉樹的穩(wěn)定性卻沒有三叉樹良好。

(2)美式期權(quán)價值對各個因素的靈敏度分析。

期權(quán)的敏感性是指期權(quán)價值對其決定因素變動的敏感程度或反應(yīng)程度[8]。從美式期權(quán)的三叉樹定價模型中，可以看到影響期權(quán)價值的因素有標(biāo)的資產(chǎn)的價格S，期權(quán)的執(zhí)行價格K，期權(quán)到期日T，無風(fēng)險利率r和波動率σ。針對上述例子，利用Matlab程序，通過控制變量法(對某一因素進(jìn)行分析時，其他因素不變)，分別分析各因素對美式看漲期權(quán)價值的影響。

圖3 美式看漲期權(quán)對各因素的敏感性分析

由圖3(a)可以直觀得到美式看漲期權(quán)的價值與其標(biāo)的資產(chǎn)價格呈正相關(guān)，這與看漲期權(quán)期權(quán)價值對標(biāo)的資產(chǎn)價格的敏感性理論結(jié)果一致，即看漲期權(quán)的風(fēng)險指標(biāo)Delta為正，在其他變量不變的條件下，資產(chǎn)價格越高，看漲期權(quán)的價格越高[9]。

圖3(b)直觀得出，在其他變量不變的條件下，敲定價格越高，看漲期權(quán)的價值越低。因?yàn)槠跈?quán)的內(nèi)在價值由敲定價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格決定，而對于看漲期權(quán)而言，期權(quán)的內(nèi)在價值等于標(biāo)的資產(chǎn)價格與敲定價格在初始時刻折現(xiàn)值之差，所以，看漲期權(quán)價值與標(biāo)的物敲定價格呈負(fù)相關(guān)。

圖3(c)，圖3(d)可以看出，無風(fēng)險利率(也是標(biāo)的資產(chǎn)的期望收益)和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率分別與看漲期權(quán)的價值成正相關(guān)，期權(quán)的價格依賴于未來的不確定性。

圖3(e)說明，在其他變量不變的情況下，看漲期權(quán)持有期越長，期權(quán)價值越高，這是由于期權(quán)的時間價值所決定。

本次研究通過適當(dāng)修改三叉樹模型中各個結(jié)點(diǎn)處標(biāo)的資產(chǎn)價格的通項(xiàng)公式，清晰地得到了基于三叉樹模型的美式期權(quán)價值的數(shù)值求解方法，并給出了相應(yīng)的Matlab程序。通過實(shí)例，驗(yàn)證了三叉樹模型的期權(quán)定價公式的穩(wěn)定性更加優(yōu)于二叉樹模型，并通過控制變量法，得到了美式看漲期權(quán)價值對各因素敏感性分析變化圖，以便于掌握期權(quán)的價格變動，有助于衡量和管理風(fēng)險。本次研究關(guān)于美式期權(quán)的三叉樹定價模型及程序也可為復(fù)雜期權(quán)三叉樹期權(quán)定價提供參考。

[1] Black F,Scholes M.The Pricing of Option and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3):637-654.

[2] Cox J C,Ross S A,Rubinstein M.Option Pricing:A Simplified Approach[J].Journal of Financial Economy,1979,7(3):229-263.

[3] 梁義娟,徐承龍.美式期權(quán)定價的數(shù)值方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報,2013,27(1):101-113.

[4] 劉帥.考慮隨機(jī)性因素的美式期權(quán)二叉樹圖定價方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2013(15):83-85.

[5] 武斌,王玉文.隨機(jī)利率與隨機(jī)波動率下三叉樹模型下歐式期權(quán)的定價[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2016,32(1):7-10

[6] Boyle P P.Option Valuation Using a Tree-Jump Process[J].International Options Journal,1986,3:7-12.

[7] 何穎俞.美式期權(quán)的三叉樹定價模型[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)報,2008,25(1):81-84.

[8] 宮文秀,高凌云.復(fù)合期權(quán)的三叉樹定價模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2016(18):83-86.

[9] 葉中行,衛(wèi)淑芝,王安嬌.數(shù)理金融基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2015:201-207.

(責(zé)任編輯：朱寶昌)

附錄1

二叉樹定價美式期權(quán)

function[val]=fun2(S,K,T,r,sig,n)

dt=T/n;

u=exp(sig*sqrt(dt));

d=1/u;

p=(exp((r)*dt)-d)/(u-d);

for t=1:1:n

V(n,t)=max(S*u^(n-t)*d^(t-1)-K,0);%美式看漲

%V(n,t)=max(K-S*u^(n-t)*d^(t-1),0);%美式看跌

end

V;

for i=n-1:-1:1

for j=1:1:i

V(i,j)=max(S*u^(i-j)*d^(j-1)-K,(exp(-r*dt)*(p*V(i+1,j)+(1-p)*V(i+1,j+1))));%美式看漲

%V(i,j)=max(K-S*u^(i-j)*d^(j-1),(exp(-r*dt)*(p*V(i+1,j)+(1-p)*V(i+1,j+1))));%美式看跌

end

end

val=V(1,1);

Abstract: In this paper, we studied the numerical solution of American option pricing with continuous bonus. By looking for the general formula of asset price in each node of the Trinomial Tree method, we obtained the iterative formula and Matlab procedure of numerical solution of American option. By comparison, we concluded the stability of the Trinomial Tree was better than that of the Binary Tree model. And the sensitivity of the American option value to each of its influencing factors was analyzed intuitively by means of the control variable method. The value of the American call option was positively correlated with the risk-free interest rate, the underlying asset price, the volatility and the holding period of the option, but negatively with the finalized price.

Keywords: American option; Trinomial Tree; Matlab; control variable; sensitivity

AmericanOptionPricingBasedonTrinomialTreeModelandItsMatlabProcedure

DONG Lishaa, WANG Xiangyub

(a.School of Mathematics and Information Science & Technology, b.School of Business Administration; Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei,066004;China)

F830.91

A

1672-7983(2017)02-0007-05

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2017.02.002

2017-03-21;修改稿收到日期2017-06-21

董麗沙(1988-)，女，碩士，助教。主要研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。