程權成

（遼寧機電職業(yè)技術學院 華孚儀表學院，遼寧 丹東 118009）

航天器交會系統(tǒng)非脆弱濾波器的設計

程權成

（遼寧機電職業(yè)技術學院 華孚儀表學院，遼寧 丹東 118009）

針對航天器交會控制系統(tǒng)的濾波控制問題，利用Lyapunov函數(shù)方法、線性矩陣不等式（LMI）技術，運用H∞濾波控制理論，設計滿足性能要求的非脆弱H∞濾波器。仿真實驗表明，非脆弱H∞濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定、有效。

航天器交會系統(tǒng)；LMI；非脆弱；濾波器

Abstract:Considering the fi ltering problem of spacecraft rendezvous system, a non-fragile fi ltering in accordance with the function requirement is designed via linear matrix inequality (LMI) method and Lyapunov function method with the application of H∞ theory. The simulation experiment shows that the non-fragile fi ltering system is stable and effective.

Key words:Spacecraft rendezvous system; LMI; Non-fragile; H∞fi ltering

0 引 言

交會控制是航天器空間控制的關鍵技術之一，航天器交會控制問題受到學者的廣泛關注。為解決航天器交會的實際工程技術需求，張瑩瑾等提出一種合作目標定位方法，取得了較高的精度[1]；針對航天器橢圓軌道，劉偉杰等采用線性定常增益進行航天器自主交會魯棒控制器的設計方法研究[2]；張卓等通過Lyapunov函數(shù)證明航天器交會系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進一步研究多個航天器交會時的協(xié)同控制問題[3]。關于濾波器設計問題的研究也有諸多成果。針對航天器交會對接系統(tǒng)，李艷輝等研究魯棒H∞濾波器的相關設計問題[4]；文獻[5]針對連續(xù)非線性T-S模糊系統(tǒng)，對H∞濾波問題進行研究；文獻[6]針對離散模糊系統(tǒng)，提出一種新的方法來保證濾波系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，由于MATLAB軟件的強大運算功能，該軟件一直是控制領域相關研究人員的主要使用工具[7]。隨著MATLAB軟件中線性矩陣不等式（LMI）工具箱的出現(xiàn)，LMI技術的應用逐步廣泛，在一定程度上促進了LMI技術在控制理論相關領域的應用。本文以航天器交會控制系統(tǒng)為研究對象，利用Lyapunov函數(shù)方法、LMI技術，運用H∞濾波控制理論及非脆弱濾波控制理論，推導出非脆弱H∞濾波器存在的矩陣不等式條件，設計航天器交會系統(tǒng)非脆弱H∞濾波器。

1 問題描述

兩個航天器進行交會對接的相對運動狀態(tài)方程見（1）式，針對該系統(tǒng)方程的交會系統(tǒng)進行濾波器的設計[8]。

其中，x(t)=[OxOyOzO O O?]T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，Ox, Oy, Oz是追蹤航天器相對于目標航天器的位置坐標； u(t)=[TxTyTz]T為系統(tǒng)的控制變量輸入，Tx, Ty, Tz是作用于追蹤航天器三個坐標軸的控制推力；ω(t)為系統(tǒng)的干擾變量；y(t)為系統(tǒng)的測量輸出變量；z(t)為待估計信號變量；A, B, C, E, L為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。

這里，n是目標航天器繞地飛行的角速度，m是目標航天器的質量。

針對航天器交會對接系統(tǒng)的濾波問題，在濾波器的設計過程中，一般假定系統(tǒng)（1）式是穩(wěn)定的，因而考慮如（2）式所描述的狀態(tài)反饋控制器系統(tǒng)模型，以保證航天器交會對接系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

其中K為使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器矩陣增益參數(shù)。

將（2）式代入（1）式中，經(jīng)過數(shù)學方法處理后可得到系統(tǒng)模型為：

為實現(xiàn)航天器交會系統(tǒng)的濾波控制，采用的濾波器結構為：

其中，AF, BF, CF為需要設計的濾波器參數(shù)增益；xF(t)為濾波器的狀態(tài)向量；zF(t)為濾波器的估計變量。ΔAF, ΔBF, ΔCF為濾波器模型中的參數(shù)不確定性變量，且具有形式ΔAF=HAFFAF(t)EAF, ΔBF=HBFFBF(t)EBF,為已知的定常矩陣，為時變參數(shù)，且滿足

定義新的變量ξT(t)=[x(t) xF(t)]T，e(t)=z(t)-zF(t)，綜合系統(tǒng)模型（3）式和濾波器結構（4）式，得到濾波系統(tǒng)模型為：

在考慮非脆弱問題的情況下，設計H∞濾波器增益，使其滿足當ω(t)=0時，濾波系統(tǒng)模型（5）式是漸進穩(wěn)定的，同時對于γ＞0，有不等式關系[5]，即：

主要結論的推導過程使用了以下三個引理：

引理1[11]已知對稱矩陣可得出結論，不等式條件（7）式和（8）式等價。

引理2[12]對于給定適當維數(shù)的實矩陣W=WT, H,E, ΔTΔ≤I，可得出結論，存在任意的常數(shù)ε ＞ 0，使其滿足不等式關系：

引理3當ω(t)=0時，對于系統(tǒng)模型（3）式，若存在矩陣X ＞ 0，Y使得不等式成立，即：

則系統(tǒng)模型（3）式是漸進穩(wěn)定的，且K=YX-1。

證明選取Lyapunov函數(shù)：

對Lyapunov函數(shù)求導可得：

因此，若要保證系統(tǒng)模型（3）式是穩(wěn)定的，則只需不等式成立，即：

定義矩陣變量X=P-1, Y=KX，對不等式左右分別乘以X和它的轉置，則可得到引理3所述的條件。

需要說明的是，引理3的主要意義在于可求解出控制器矩陣參數(shù)K，進而保證系統(tǒng)模型（3）式是穩(wěn)定的，使其滿足濾波器設計的前提條件。

2 非脆弱濾波器的設計

先推導實現(xiàn)非脆弱H∞濾波器的不等式條件，再通過LMI方法，得出非脆弱濾波器的矩陣不等式的設計條件。

定理1對于航天器交會濾波系統(tǒng)模型（5）式，對于給定的H∞性能指標γ＞0，若存在矩陣G＞0，使得下列矩陣不等式成立，即：

可見，航天器交會濾波系統(tǒng)模型（5）式是穩(wěn)定的，且滿足H∞性能指標，其中， , , 的定義見（5）式。

證明若要實現(xiàn)H∞濾波器的設計，則需滿足H∞性能指標：

定義Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)Lyapunov函數(shù)，可得出結論，即φ(0)=0，且φ(∞) ＞ 0，進而得出關系式：

為使濾波系統(tǒng)的H∞性能得到保證，只要滿足不等式關系：

將系統(tǒng)模型（5）式代入（19）式中，可得到不等式關系：

若不等式（21）式成立，那么不等式（20）式也成立。

對不等式（21）式運用引理1，便可得到定理1所述的不等式條件。定理1證畢。

需要說明的是，定理1給出了濾波系統(tǒng)模型（5）式滿足H∞穩(wěn)定的不等式條件，但該條件不能求解出濾波器的參數(shù)，故需要進一步處理，即給出定理2的條件。

定理2利用LMI方法，推導出非脆弱H∞濾波器存在的矩陣不等式條件。

定理2對于航天器交會濾波系統(tǒng)模型（5）式，對于給定的H∞性能指標γ ＞ 0，若存在矩陣G1, G2, R, S,T及常數(shù)λ，ε ＞ 0使得下列矩陣不等式成立：

其中П=G1A+ATG1+G1BK+KTBTG1+SC+CTST，那么航天器交會濾波系統(tǒng)模型（5）式是穩(wěn)定的，且滿足H∞性能指標，濾波器的參數(shù)增益為：

證明定義矩陣變量，同時將,及G代入定理1，然后定義矩陣變量R=G2AF，S=G2BF, T=CF，可得到不等式：

根據(jù)濾波器模型中的參數(shù)不確定性變量的定義，可將矩陣不等式（24）式改寫為矩陣不等式：

對不等式（25）式運用引理2和引理1，便可得到定理2所述的不等式條件。定理2證畢。

3 仿真實驗

為進一步證明濾波器設計方法的有效性，選取數(shù)值實例進行仿真分析。假設追蹤航天器的質量m=300kg，目標航天器的軌道角速度為n=7.2722×10-5rad/s，假定濾波器模型中存在的不確定參數(shù)為：

通過Matlab軟件中LMI工具箱求解定理2中非脆弱H∞濾波器存在的矩陣不等式條件，計算得出濾波器增益參數(shù)為：

圖1 濾波器狀態(tài)向量的響應曲線

4 結 論

本文將非脆弱濾波器設計技術引入到兩個航天器交會系統(tǒng)的應用中，針對航天器交會控制系統(tǒng)的濾波控制問題，利用Lyapunov函數(shù)方法、LMI技術及H∞濾波控制理論，設計滿足性能要求的非脆弱H∞濾波器。所設計的濾波器增益參數(shù)存在條件通過LMI的形式給出，通過Matlab軟件中LMI工具箱直接求解。通過Matlab軟件的simulink技術對所設計的濾波器系統(tǒng)進行仿真實驗，結果表明，當濾波器中時變矩陣參數(shù)改變時，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，具備較強的非脆弱性。下一步將研究多個航天器交會控制問題，不斷增強其實際應用性。

[1] 張瑩瑾，秦世引，胡曉惠.航天器自主交會對接的高精度目標定位方法[J].宇航學報，2014，35（12）：3-6.

[2] 劉偉杰，諶穎.航天器橢圓軌道自主交會的魯棒H∞控制[J].宇航學報，2015，36（2）：179-185.

[3] 張卓，張澤旭，譚浩.基于魯棒協(xié)同控制方法的多航天器交會問題[J].深空探測學報，2016，3（1）：90-96.

[4] 李艷輝，劉暢.網(wǎng)絡環(huán)境下航天器交會對接系統(tǒng)的魯棒H∞濾波[J].中國慣性技術學報，2015，23（4）：522-526.

[5] XIE X P，ZHU X L，GONG D W.Relaxed Filtering Designs for Continuous-time Nonlinear Systems Via Novel Fuzzy H∞Filters[J].Signal Processing，2013，93（5）：1251-1258.

[6] ZHANG J，XIA Y.New LMI Approach to Fuzzy H∞Filter Designs[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems—II：Express Briefs，2009，56（9）：739-743.

[7] 田豐.基于自適應信號處理技術的有源電力濾波器控制方法[J].溫州職業(yè)技術學院學報，2016，16（2）：51-54.

[8] 高會軍，楊學博，王常虹.一種有限推力航天器交會軌道的魯棒設計方法[J].空間控制技術與應用，2009，35（2）：3-6.

[9] WO S，ZOU Y，CHEN Q，et al.Non-fragile Controller Design for Discrete Descriptor Systems[J].Journal of the Franklin Institute，2009，346（9）：914-922.

[10] 程權成，常曉恒.T-S模糊系統(tǒng)非脆弱跟蹤控制器設計[J].電子設計工程，2014，22（17）：1-4.

[11] BOYD S，GHAOUI L E，F(xiàn)ERON E，et al.Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory[M].Philadelphia：Society for Industrial and Applied Mathematics，1994：57-63.

[12] PETERSEN I R.A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Linear Systems[J].Systems & Control Letters，1987，8（4）：351-357.

[責任編輯：喬維德]

Design of Non-fragile Filtering for Spacecraft Rendezvous System

CHENG Quancheng
(School of Huafu Meter Instrument, Liaoning Mechatronics College, Dandong, 118009, China)

V526

A

1671-4326 (2017) 03-0062-05

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2017.058

2017-02-06

遼寧機電職業(yè)技術學院科研項目（2017010）

程權成（1989—），男，遼寧遼陽人，遼寧機電職業(yè)技術學院華孚儀表學院，助理工程師，碩士.