閻晨光

(河北科技大學理學院數(shù)學系,石家莊 050018)

遵從內(nèi)在的召喚：李國偉研究員訪談錄

閻晨光

(河北科技大學理學院數(shù)學系,石家莊 050018)

李國偉先生的研究領(lǐng)域廣泛,涵蓋數(shù)學、哲學、歷史、社會學等領(lǐng)域,并在數(shù)學的科普推廣方面做出了許多工作。這篇訪談中李國偉先生主要談及青年科研工作者如何開展數(shù)學史研究、如何處理數(shù)學和數(shù)學史研究的關(guān)系、如何從方法論層面認識數(shù)學研究與數(shù)學史研究等問題。

口述史 數(shù)學 數(shù)學史 數(shù)學哲學 方法論 李國偉

李國偉,數(shù)學家、數(shù)學史家、數(shù)學活動家。1948年出生于南京,1949年隨父母遷居臺北。早年間就讀于臺北幸安國小和臺北建國中學,后考入臺灣大學數(shù)學系,1971年到美國杜克大學求教于邏輯學大家旬菲德(Joseph R.Shoenfield,1927～2000),1976年獲博士學位后到臺灣“中研院”數(shù)學研究所任職,并于1987年至1993年擔任臺灣“中研院”數(shù)學研究所所長。李國偉先生游歷甚廣,足跡遍布歐美,著述豐富,目前的研究興趣主要在組合數(shù)學,旁及數(shù)學哲學、數(shù)學史以及科學文化。本訪談錄基于2015年7～8月筆者在“中研院”數(shù)學所對李國偉先生的兩次訪談以及若干次談話。

1 數(shù)學與數(shù)學史的不同認識論

閻晨光(以下簡稱“閻”)：在文章中您曾提到“方法論立場的選取會影響我們對史實的品評”。我在想：是不是對于某個歷史事件,數(shù)學家和數(shù)學史家的認識可能會存在某種偏差？您怎么看這個問題？

李國偉(以下簡稱“李”)：這是一個很好的問題!其實我給你的幾篇文章有的寫了蠻久,有些具體細節(jié)我記得不是特別確切,不過文章大體的主軸看法和想法(在我頭腦中)多年來一直是差不多(不變)的。我比別的數(shù)學家對數(shù)學史和歷史方法關(guān)注更多一些,我覺得一個數(shù)學家——純粹數(shù)學家——如果沒有特別的歷史警覺性,他認為自己談論的就是數(shù)學的歷史,可是那種東西跟真正的歷史有很大出入。無論從歷史方法上看還是真去看歷史文獻,這是西方數(shù)學史家都沒辦法否認(有這種理解偏差)的。問題是這種偏差反映了什么？尤其近現(xiàn)代數(shù)學史,數(shù)學實在太難,對于這部分我不能做更多評論。對于我比較熟悉的數(shù)學方面,有時間可以另外再講,也可以提供給大陸研究近現(xiàn)代數(shù)學史學者涉獵和思考。世界一流數(shù)學家的經(jīng)驗非常值得參考,但他也可能會沉浸到所研究的數(shù)學中。盡管有其一定的學習、傳承脈絡,但這個脈絡會影響他的看法。即便是在純數(shù)學中,不同背景的人看法也不一樣,所以數(shù)學史家能有一點這方面的意識,數(shù)學史本身也會有獨立“生命”,并不是完全依附于別人的。我推薦你可以看一個人的書,其實我送給你的文章里也提到過,我一直認為組合數(shù)學家羅塔(Gian-Carlo Rota,1932～1999)*意大利裔美國數(shù)學家、哲學家。的文章和思想非常值得重視,我對他非常推崇,他的思想跟西方許多數(shù)學家非常不一樣。

他是麻省理工學院(當時)唯一一位數(shù)學和哲學雙科教授,組合學領(lǐng)域的一位開山人物。盡管哲學家并不把他的哲學當回事,他的數(shù)學哲學影響力也有限,但我覺得他的很多理論都非常深入。羅塔原是意大利人,年輕時跟隨父母遷往美國。他的哲學主要采用現(xiàn)象學(phenomenology)方法,他非常推崇胡塞爾(Edmund Husserl,1859～1938)*德國哲學家,現(xiàn)象學創(chuàng)始人之一。。胡塞爾也是數(shù)學家出身,有很深的德國唯心哲學傳統(tǒng)和背景,可是胡塞爾的現(xiàn)象學晦澀難懂!但是你去看羅塔講的內(nèi)容,從數(shù)學家的經(jīng)驗角度出發(fā),有了方法論支撐,就沒有那么晦澀艱深。

羅塔認為數(shù)學家傳道(preach)時所講的理論跟他們每天(day to day)去做的事情不是一回事。簡單來說,數(shù)學家每天的活動跟他組織好后發(fā)表的文章是有區(qū)別的。當然并不是說表面的東西就沒有價值,如果你只關(guān)注數(shù)學家發(fā)表的東西,就無法看到數(shù)學家個人或者群體生活里面的內(nèi)容。又比如數(shù)學家談到的一些不能形式化(formalize)的東西,譬如美(beauty),數(shù)學家會說某個理論很美,而且會有高度共識,我們無法否認數(shù)學的美有某種客觀性,盡管這種客觀性沒辦法納入形式化體系,而且到目前為止都沒辦法把它嚴謹化。涉及到數(shù)學美、數(shù)學的深度等等,羅塔稱之為行話(shoptalk),就是數(shù)學家聊天時都知道是怎么回事,但和用邏輯體系所展現(xiàn)的那一面非常不一樣。所以,對數(shù)學家日常生活的這些東西,先不要把它形式化,也不要先入為主,不要認為只有英美的分析哲學才有深度,而應該首先回顧真正的活動是什么。[1]比如說素數(shù)定理的證明,19世紀高斯最早從經(jīng)驗出發(fā)認為這是正確的,數(shù)學家也都相信如此,但不知道為什么如此。第一次嚴格證明由阿達瑪(Jacques Hadamard,1865～1963)*法國數(shù)學家,1896年用復變函數(shù)理論證明了素數(shù)定理。學生中有法國布爾巴基學派的創(chuàng)始成員之一韋伊(André Weil,1906～1998)。和德·拉·瓦·布桑(De la Vallée-Poussin,1866～1962)*比利時數(shù)學家,1896年證明了素數(shù)定理。用復變函數(shù)論方法給出,證是證出來了,但大家覺得素數(shù)定理為什么要用復變函數(shù)理論呢？所以,大家都不滿意,就去尋找簡化方法并設(shè)法讓證明回到最基礎(chǔ)的內(nèi)容。經(jīng)過許多數(shù)學家的努力,到了愛爾德什(Paul Erd?s,1913～1996)*匈牙利數(shù)學家,20世紀最多產(chǎn)的數(shù)學家之一,一生中有超過500位合作者。和塞爾伯格(Atle Selberg,1917～2007)*挪威數(shù)學家,1949年與愛爾德什完成了素數(shù)定理的初等證明。用幾乎是算術(shù)本身的性質(zhì)證明了素數(shù)定理。那時塞爾伯格(相對愛爾德什)更具有傳統(tǒng)數(shù)學家的優(yōu)勢,愛爾德什的工作則被認為太初等,過于零碎,搞得他在普林斯頓高等研究院都待不下去?？墒沁^后你去看這兩位數(shù)學家的貢獻,愛爾德什那種開放的思想和方法,其概率思維配合現(xiàn)在如火如荼的電腦,這種開創(chuàng)性非常非常廣!再比如說阿基米德,不管是用窮竭法還是其他什么方法總能得到結(jié)果,而且結(jié)果也非常深刻,歐幾里得其實是整理別人的現(xiàn)有理論,如果只能按照歐幾里得的系統(tǒng)來發(fā)展,就不會有別的理論,數(shù)學就無法發(fā)展!對不對？數(shù)學史上一直有這種辯證、互動、競爭的關(guān)系。

羅塔還指出要注意并不被主流所觀察到、但其實對數(shù)學發(fā)展有重要影響的東西,這些是不能形式化的,只能不斷地講出來,闡釋他們到底在做什么,剛才的素數(shù)定理就是一個例子。前幾年素數(shù)定理在AMM*即American Mathematical Monthly,《美國數(shù)學月刊》,1894年創(chuàng)刊,由美國數(shù)學會主辦。上兩頁就可以證明了。從最早那么復雜到最后的兩頁證明,從現(xiàn)象上來看,原來搞不懂,好像很唬人,其實到最后核心非常簡單。羅塔認為這個過程就叫“破迷”(debunking)*談到這里時,李先生的原話就是用的“debunking”,筆者這里使用“破迷”這個詞語來表示debunking。,就是要“拆穿他的戲法”的意思(當然這有點夸張了)。

另外,他認為數(shù)學定理追求簡單化(trivialization),就是要把數(shù)學變得非常簡單。羅塔講的數(shù)學發(fā)展脈絡跟通常方向是非常不一樣的,他的許多看法都非常有啟發(fā)性。我本人受到辯證思想很大影響,一向覺得所有事情都有兩個方面,并不因為一個結(jié)論就把原來理論全部推翻,而是要兩邊都審視之后才能弄清楚事物的整體發(fā)展,才能看清楚哪些脈動的影響是深遠的,而這個看法或事情本身就在歷史中辯證地來回翻轉(zhuǎn)。

又比如希爾伯特(David Hilbert,1862～1943)*德國數(shù)學家,哥廷根數(shù)學學派的核心數(shù)學家之一,1900年在數(shù)學家大會上提出23個數(shù)學問題,對20世紀數(shù)學發(fā)展的進程產(chǎn)生了深遠影響。,大家認為他是形式主義代言人。我印象很深的一件事情是,多年前吳文俊先生在臺灣談起機械化證明。他說這個思想的來源一個是中國傳統(tǒng)數(shù)學,另外一個就是希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》的前言,在開頭一段文字中隱含著機械化的過程。當然我也沒有系統(tǒng)去讀這本書,大家一般印象就是希爾伯特在這本書中主要研究幾何公理化系統(tǒng)。可吳先生說希爾伯特在前面講他的思維過程時帶有一些機械化思想的意向(intention)。所以,我覺得這些發(fā)展都是非常錯綜復雜的。比如有些知名數(shù)學家,他講歷史會帶有一種傾向,這種傾向被稱作是“輝格式”歷史,就像那種英雄史歌,當然都很壯觀。但我覺得數(shù)學史研究以及近代科學史研究,跟傳統(tǒng)不一樣的地方在于：(人們)更感興趣(反而是在)那些坑坑洞洞斷裂或者矛盾的地方。

閻：或者是事情發(fā)生轉(zhuǎn)折的地方？

李：對!有些純粹數(shù)學家通常抹掉這些不去關(guān)注,因為如果關(guān)注太多就會搞不清整體脈絡。他們所關(guān)心的是從現(xiàn)有知識中證明(justify)出來的,(有時)純數(shù)學的看法和脈絡就是這個樣子!

說到這里我們可以探討一個問題,那就是思考的角度和方式。就拿數(shù)學中的“角(angle)”來說,怎么去理解？有人認為角是兩條直線所組成的(幾何關(guān)系),有人認為角是兩(相交)直線間的平面部分,就看你怎么看它。中國古代的角大概都跟現(xiàn)今的直角有關(guān)系,別管怎么出入相補,割一部分再補上一部分,總之是從垂直和直角這個關(guān)系出發(fā)的。但是西方幾何中有任意角概念,你看歐幾里得《幾何原本》中角的定義,在希思(Thomas Little Heath,1861～1940)*英國數(shù)學家、古典學者、古希臘數(shù)學史家,將歐幾里得等古希臘學者的著作翻譯為英文出版。的批注版本里有很長的分析說明。這里面有一個類似于格式塔的概念*格式塔屬于心理學概念,也是西方現(xiàn)代心理學的主要學派之一。該學派主張研究直接經(jīng)驗(即意識)和行為,強調(diào)經(jīng)驗和行為的整體性。,就是說雖然資料是一樣的,但從不同角度出發(fā),根據(jù)不同想法會有不同理解。當然這也是因為數(shù)學家教育背景不同、工具方法不同,導致看問題的方法也不同。

眾所周知,史料對數(shù)學史研究很重要,在臺灣要發(fā)掘新的數(shù)學史料是很難的。上世紀老前輩所作的工作就是根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學史料,分析古代數(shù)學家都做了些什么,跟西方類似工作的關(guān)系是什么？我沒有選擇繼續(xù)這樣做,當然并不是因為沒有民族性,而是已經(jīng)不能那么做。在這一點上,我倒是同意曲安京教授的某些提法,比如他提到要重構(gòu)數(shù)學史、研究數(shù)學史的第三種進路等等。

我們并不特別注重誰在哪一年做了什么事情,因為這些礦脈已經(jīng)被挖得差不多了,而是注重這些工作之間所沿襲或秉承的路線,然后將其脈絡闡釋出來。當然,因為你掌握的是一系列散的史實或文獻資料,因此就會有不同的解釋和闡釋方式,可能對某種闡釋方式也會有不同看法,這都沒問題!我們所要做的是按照內(nèi)在關(guān)系將數(shù)學發(fā)展的各種可能都進行推演和闡釋。這種闡釋不僅可以將這些史料組織起來,告訴你數(shù)學是怎么發(fā)展的,還會讓你有一種整體感覺和圖像,最重要的是還對數(shù)學教育有一種現(xiàn)實作用和影響。有些數(shù)學研究過于注重邏輯和抽象,寫出來(的書)一個個定義和定理相連,(當然)這是數(shù)學發(fā)展到一定程度非常成熟的表現(xiàn)之一,但你很難看到背后的數(shù)學發(fā)展脈絡,這就需要數(shù)學史或者哲學方面更多的工作和研究。

2 數(shù)學史研究的方法論

閻：您認為中西學者在數(shù)學史的方法論上有沒有明顯的差別？

李：我的直覺、從旁的觀察是：西方任何一門學問都有它的學術(shù)(scholarship)傳統(tǒng),包括科學史、數(shù)學史的種種傳統(tǒng),有它很嚴謹?shù)囊惶鬃龇?。當然他們的方法不見得是唯一?問題是如果你(要到西方人的天地里面)不使用他們的方法就很難得到認可。如果你認為這不是唯一方法,用其他方法得出的結(jié)果也值得注意,(你認為)理論上這個是可能的,概率大于0,但是大到多少,你有沒有做出一套理論讓人家信服？我認為這是有可能的,但必須要拿出成果來,現(xiàn)在成果還沒有到讓人家信服的程度?；氐街袊@個問題上,一定要經(jīng)過梳理資料的一個階段,以這個作為客觀基礎(chǔ)。以前根本不重視這個,或者有些東西本來跟這個有關(guān)系,但是我們不知道,也沒有這個眼光。所以一定要累積資料、史料,這是老一輩所做的事情?，F(xiàn)在積累還沒到一定程度,就因此說中國人搞數(shù)學史不行,我覺得下結(jié)論也太早。

第二個中國人因為近代歷史的(屈辱)狀況,之前某一段時間一定會從民族性出發(fā)說明中國人不比別人差等等,這個是客觀存在的,沒有辦法,要慢慢等。比如現(xiàn)在改革開放30年,國家強大了,有了自信心,對西方文化了解也更深刻了,慢慢就會解脫。像我自己剛開始搞數(shù)學史時,從來不管中國先不先后不后這些,我的興趣在于人的高等思維為什么會有不同或者其他什么。我不是去比先后,而是看脈絡發(fā)展、對比,我是把數(shù)學發(fā)展當作研究樣本來看待。所以,民族情感其實不是我的考慮,如果我研究里面提到中國(在某些方面)比別人有優(yōu)勢,那是分析了數(shù)學發(fā)展狀況后意識到的,不摻雜任何民族情感動機在里面。人太受民族情感的影響,就會不冷靜,我想年輕人受方法論訓練多了以后,慢慢應該會冷靜下來。

舉一個簡單例子。比如《莊子·天下篇》中有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,很多研究者就因此說中國古代有極限的概念,但這個跳躍太快了。每天去一半,萬世不竭,但萬世也是一個有限數(shù),(最多)只能是算多少次方。如果硬要把它用現(xiàn)代符號來講,說無窮之后有(沒有)極限,這個跳躍太大了。所以我們很多都是“望文生義”,急著替老祖宗爭光,連概念上真正巨大的鴻溝都不知道,就以為能跳過去,這就是專業(yè)訓練的縝密度不夠。這個問題沒有必要替老祖宗說什么,你講到哪里就是哪里,我們關(guān)心兩個“樣本”的對比,到底發(fā)生了什么事情,為什么不同等等,以后搞數(shù)學史的年輕人會慢慢脫離開這種(民族情感的)情懷。

積累了足夠資料后,就要看所選擇的問題,也就是你想要了解什么。假如你選擇一些有深度、能真正發(fā)展的問題,就有機會做出讓西方承認的成果,這其實與數(shù)學研究也有一點關(guān)系。以臺灣為例,早期我剛回到臺灣時消息非常閉塞,至少很有限,信息的傳播也比較慢,我怎么跟人家第一線的外國人去爭搶研究前沿？那時我就體會出一個方式,帶學生的時候我就跟他講：首先你要回到非常基礎(chǔ)的定理,思考它為什么會變得那么基礎(chǔ)。基礎(chǔ)的東西表面看起來并不難,可是它是一些主題的發(fā)源地,會有不同的發(fā)展方向,慢慢發(fā)展后枝葉就非常茂盛。你要跟人家搶那些枝葉的末端,消息不如人家靈通,你搶不過人家,所以總是落后,對不對？那我不跟你搶那些,你那個難是很難,但可能會鉆進牛角尖,而且不見得有那么大意義,我回到根本的地方。它之所以根本,是因為其內(nèi)在面貌非常豐富。這樣我就換一個角度看,重新審視這些基本理論,就可以發(fā)展一個不同的方向。

譬如我研究的組合數(shù)學,我是怎么得到這個經(jīng)驗和信心呢？1976年我從美國回來后,邏輯也不能做,學術(shù)研究往哪里發(fā)展呢？后來通過黃光明老師,我知道原來組合學也是一門新興學科。我就做了一個關(guān)于施佩納定理(Sperner theorem)的東西,這是有限集合簇方面發(fā)展非常多的一個理論,我換了一個角度從它根本的地方問了新的問題。1980年的時候這篇論文發(fā)表在《組合理論學報》(JournalofCombinatorialTheory)上[2],這是組合領(lǐng)域最頂尖的學術(shù)期刊。這篇文章是我(從邏輯學)改行(到組合數(shù)學)后第一篇文章,也是臺灣第一篇發(fā)表在這個期刊上的組合學論文,臺灣組合數(shù)學界就把我當作頭頭,原因在這里。我那次得到的經(jīng)驗就是：技術(shù)不要最難,但問題必須是最頂尖的,這是一條可行的路。你不能完全跟人家搶最末端的前沿,那樣會永遠落在人家后面,研究的問題可能難得要命而且不見得有意思。可是你回到那些重大領(lǐng)域的開端問題,嘗試從不同角度去看它,用的技術(shù)不要那么難,得出來的結(jié)果任何人都不能忽略,因為這是一個領(lǐng)域的主要源頭,有任何新的結(jié)論別人都會注意到。我覺得數(shù)學史研究也是這個樣子,問題是數(shù)學史中什么是那個比較基本的問題,這跟數(shù)學選題有些不太一樣。

閻：您之前就有這種想法,還是經(jīng)過對現(xiàn)狀的一些考慮才產(chǎn)生的？

李：因為組合學我是自己半路學的,不知道這個領(lǐng)域的熱門是什么,只是心里覺得原來的邏輯走不下去了,要找一個方向,朦朦朧朧知道一點片段的東西。那時候同辦公室一個做分析的人跟我講,有些分析問題做到最后的核心部分就是組合,并跟我講了碰到的一個困難。我當時沒什么事可做,就把他的問題再簡化,繼續(xù)“剝”下去,到后來就是一些有限集合誰包含誰、求那些極大極小值之類的東西,再去查資料,原來這方面有一個施佩納定理作為核心,在20世紀60和70年代已經(jīng)發(fā)展了不少東西。

閻：這是偶然發(fā)現(xiàn)的問題,但是研究方法還是經(jīng)過您深思熟慮的。

李：對,我研究了這個問題之后,特別有這么一個體會。本來整個領(lǐng)域我都搞不清楚,也沒有預期這個問題做出來有什么價值,會不會引起人家注意等等,結(jié)果投出去還發(fā)表了。那時候也是勇氣大,也不在乎多一篇文章發(fā)表,臺灣當時也沒有人可問,干脆就從最好的投起吧,即使不發(fā)表,總要打回票給我點意見吧,況且我也不在乎打回票,沒想到很快就接收了。我不知道怎么回事就一箭中的,就去反省為什么人家會重視這個東西,就歸納出前面講的那一套。后來我?guī)W生做的東西,基本上都帶有這個味道。我自己沒有耐性把技術(shù)搞得那么深刻,也不喜歡那種鉆牛角尖的題目,我喜歡回到最基本、比較結(jié)構(gòu)性的問題,技術(shù)性不要太難。

閻：但是這個問題必須是一個比較重要的問題。

李：必須是主流,或者是可以作為人家出發(fā)點的問題,后來的數(shù)學研究我常采取這種方法。

閻：我想這個對數(shù)學史,特別是對近現(xiàn)代數(shù)學史研究,也是適用的。

李：當然具體細節(jié)我不太懂,我認為從這個角度來看,是有一些值得去做的方向。我覺得要跟西方人不太一樣,但又不要離開其核心,這個做出來會吸引人。我暫時有一個想法,當然不見得準確。比如有關(guān)法國數(shù)學家的工作,如謝瓦萊(Claude Chevalley,1909～1984)*法國數(shù)學家,布爾巴基學派創(chuàng)始人之一。等,純數(shù)學當然是非常重要的。你可以做一個對比,因為我做組合學,對計算理論、邏輯有興趣。其實19世紀布爾發(fā)明的邏輯是特別非主流的,雖然跟代數(shù)有關(guān)系,但根本就不是當時代數(shù)的主流!結(jié)果特別非主流的布爾代數(shù),經(jīng)過麻省理工碩士生香農(nóng)(Claude Shannon,1916～2001)*美國數(shù)學家,信息論創(chuàng)始人。碩士期間,香農(nóng)使用布爾代數(shù)分析并優(yōu)化開關(guān)電路,奠定了數(shù)字電路的理論基礎(chǔ)。發(fā)展之后跟電腦有了關(guān)系。又比如圖靈(Alan Turing,1912～1954)*英國數(shù)學家,被譽為人工智能之父。1936～1938年間,圖靈在普林斯頓大學跟隨丘奇做研究,并于1938年獲博士學位。,他的文章中證明那些不可決定等等結(jié)果其實都不是他首先做出來的,有些是丘奇(Alonzo Church,1903～1995)*美國數(shù)學家,在數(shù)理邏輯及計算機科學理論領(lǐng)域做出了開創(chuàng)性的工作。先做出來的,可是為什么現(xiàn)在圖靈的模型越來越重要？因為丘奇的理論適用范圍有很大局限性,但圖靈的理論有更廣泛的適用性。所以,不一定是最先做出結(jié)果的人最有影響。在某種程度上,邏輯方面和人的認知發(fā)展是不太一樣的,這個我之前也提到過。邏輯等價的不同理論,如果有一個更適合大家發(fā)展,就會對人類文明產(chǎn)生(更大)影響。我們不能只從純數(shù)學家的角度看數(shù)學,當然這并不是要否認數(shù)學家的評價,但更重要的是數(shù)學對人類文明的影響,對其他科學的影響,這也是我的興趣所在。誰都不能否認,圖靈的理論通過計算機對人類文明影響竟然這么大。

剛剛講的是一個背景,那么我來問你一個問題：從布爾巴基*20世紀法國數(shù)學的一個學派,使用Nicolas Bourbaki的筆名發(fā)表文章,因而被稱為布爾巴基。布爾巴基從結(jié)構(gòu)出發(fā)看待數(shù)學、開展數(shù)學研究的方式對數(shù)學界具有深刻影響,其主要工作是在集合論的基礎(chǔ)上用公理方法重新構(gòu)造整個現(xiàn)代數(shù)學,出版了多卷本巨著《數(shù)學原理》(éléments de mathématique),其作品追求徹底的嚴格性和一般而又抽象的敘述方法,這被稱為“布爾巴基風格”。到格羅滕迪克(Alexander Grothendieck,1928～2014)*法國數(shù)學家,現(xiàn)代代數(shù)幾何的奠基者,曾經(jīng)是布爾巴基學派的骨干成員之一。,法國人對當代純粹數(shù)學的影響當然很大,對數(shù)學統(tǒng)一影響也很大,那么對人類影響很大的計算理論,法國人有什么貢獻嗎？

閻：您是說在20世紀初那段時間里面嗎？

李：從19世紀末布爾代數(shù)開始到現(xiàn)在吧。這期間一些重大的事情,概念上的重大轉(zhuǎn)折,這種演算思維(跟我們中國傳統(tǒng)數(shù)學有很大關(guān)系)、算法(Algorithm)的數(shù)學發(fā)展,目前看對人類影響非常非常大。法國數(shù)學是講究統(tǒng)一、抽象,我們提這個問題之前,你就沒覺得這里面有問題,你就被法國數(shù)學那一套的輝煌罩在殼里面了。

閻：對啊!我之前沒有覺得這里面有問題。

李：在東方如果搞西方數(shù)學史,到他們的領(lǐng)域里面去,你就比他短口氣,因為他的語言等等都比你厲害?？墒俏椰F(xiàn)在提出不同的問題：從歷史發(fā)展看,數(shù)學對文化的影響,統(tǒng)一抽象和算法規(guī)則哪方面比較重要？為什么法國發(fā)展出這種東西？為什么算法等在另外一個地方得到了發(fā)展？這種對比,(我印象中)西方也沒有深入了解和研究,可是這種研究對數(shù)學本質(zhì)其實很重要。正如純數(shù)學家所說：數(shù)學的統(tǒng)一是一個夢,這是一個“迷夢”,搞不好害了數(shù)學也不一定?，F(xiàn)在的年輕數(shù)學家,比如陶哲軒*華裔澳大利亞數(shù)學家,2006年因其在偏微分方程、組合學、調(diào)和分析及數(shù)論等方面的貢獻而獲得菲爾茲獎。也強調(diào)數(shù)學統(tǒng)一性,可他并不是搞一個很抽象的理論,他的統(tǒng)一性強調(diào)不同方法不同問題的互通,是一種互通的統(tǒng)一。陶哲軒研究的問題當然(外行覺得)很抽象,對數(shù)學家來講,他研究的很多問題都有具體應用,這跟法國人的統(tǒng)一是不一樣的。法國數(shù)學發(fā)展,跟拿破侖以來法國的心理也有關(guān)聯(lián)。英國人因為在非主流邊緣,所以就將很冷門的邏輯思想發(fā)展得很好,對人類產(chǎn)生這么大的影響,當初他們自己也不見得知道這套理論將來那么重要。所以,數(shù)學發(fā)展要多元,不能隨便瞧不起那些邊緣理論?，F(xiàn)在圖靈的身影越來越由淡而濃,重要性越來越高,將來甚至重要性會超過哥德爾(Kurt G?del,1906～1978)*奧地利裔美國數(shù)學家、邏輯學家、哲學家,對現(xiàn)代數(shù)學及數(shù)學哲學有重要影響。!哥德爾對純數(shù)學邏輯基礎(chǔ)的研究當然很深刻,可是他概括的形式很難推廣到直接計算。所以,你看最后對人類的影響,是法國數(shù)學的抽象統(tǒng)一影響大呢,還是圖靈等人的計算方面的大？我認為要從更多角度來看數(shù)學的發(fā)展,而且要超越克萊因(Morris Kline,1908～1992)*美國數(shù)學家、數(shù)學史家,其出版的《古今數(shù)學思想》及《數(shù)學：確定性的喪失》等在數(shù)學史界享有盛譽。那種內(nèi)史方法,就是要研究數(shù)學跟文化、社會的互相影響,這種研究成果能讓數(shù)學在人類世界里面的存在更有道理。這樣關(guān)聯(lián)起來,你就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學三千多年發(fā)展,不斷地推陳出新,有它自己的道理。所以,要有一個全盤看法,而不是只在數(shù)學里面,這樣的話,對社會和歷史當然要知道一些,可是也不需要陷入里面的細節(jié)。

閻：這是一個很好的問題和方向。

李：是的,如果問題本身的基礎(chǔ)很有趣,數(shù)學技術(shù)并不需要那么困難,反而你做的東西人家覺得很有意義。

閻：您在論述證明時提出“證明就是一個說服過程”,并寫道：嚴謹性的起伏變化,是在一種社會因素的基層上流動,也就是一種相對于數(shù)學社群的傳訊標準。后面的這個“傳訊標準”怎么來理解呢？我感覺您剛才上面的話,好像也在表達著一種觀點：數(shù)學家群體的看法也會反映到時代的標準？是這樣嗎？

李：大概意思是說,所謂嚴謹性本身也不是(抽象出來)絕對的[3]。中古時代的數(shù)學家靠通信來傳達知識,如果有一個數(shù)學家能共同接受的嚴謹標準,那溝通就可以繼續(xù)下去。當然通信大概要比書的嚴謹性弱一點,可是為什么數(shù)學家之間仍然可以溝通,知識仍然可以傳遞,而不是完全胡說八道？原因在于,嚴謹嚴格的標準并不是形式化出來的東西,而是通過溝通存在于共同體里面的,跟共同體是共存的。當然嚴謹性本身也會變化,看什么東西都要有一個時間演化的眼光。

3 數(shù)學和數(shù)學史遵循的進路

閻：雖然我們有“格物致知”的一貫傳統(tǒng),但現(xiàn)在“學以致用”的論調(diào)更占主流,學東西就是為了去應用,經(jīng)世也好,治國也好,我們很少(像西方那樣)去研究一些看似無用的東西。您怎么看我們的這種傳統(tǒng)？

李：這本來就是我們傳統(tǒng)文化里面很濃重的一種思想,甚至隨著西方經(jīng)濟發(fā)展,就連英國的高等教育也受很大影響。我今天早晨還在想：有時候同樣的事情從不同角度去理解和描述就會有差別。古代大部分人的生活是很苦的,掌權(quán)的有錢人就讓一些學者(不管是他們所眷養(yǎng)的學者還是其他的學者)有余力去研究一些影響深遠、暫時與國計民生沒有關(guān)系的東西,這種思想后來對人類文化有重要影響?，F(xiàn)在大部分民眾生活上基本沒有什么特別擔憂的地方,主要精力用來發(fā)展經(jīng)濟,反而是能有余力、不受功利影響進行思想的空間被擠壓得越來越小。其實科學研究應該有相當?shù)牟糠植荒芡耆媱澓皖A期,大自然就是如此。大自然怎么可能讓你處處可以預期？認為科學研究可以通過計劃來完成,完全就是“人定勝天”思想的另外一種表現(xiàn),但人不可能絕對勝過天,“人定勝天”是一個好的意向或意愿,科學之所以能發(fā)展是因為大自然有其不可預期性。當然有人會說如果不計劃的話,可能會有人在里面瞎混。任何東西,包括社會的管理,計劃得好就需要付出很多其他成本。前幾年有人曾攻擊美國的社會福利制度,說竟然有人都死掉好幾年了還在領(lǐng)錢,后來有學者提醒說美國現(xiàn)在的制度已經(jīng)做得比較精密,如果系統(tǒng)和制度要將所有的弊病都清除掉,需要很高的成本,其實這是一個平衡問題。假如社會發(fā)展變成“學”必須要“致用”,“研究”都有“目標”,而沒有留下余?？臻g,我不覺得長遠下去對科學本身有好處,更不要說對知識和文化的影響了。如果留下了余?？臻g,大家都認真對待學術(shù),鉆空子的人只是極少數(shù)。對整個社會而言,是付出了那一點成本,但這樣就能讓科學研究真正最核心的價值得以長遠地發(fā)展下去,付出一點成本也值得。所以,功利思想太嚴重對人類思想的長遠發(fā)展是有壞處的。特別是現(xiàn)在人類面對地球環(huán)境的嚴峻考驗,很多事情是我們以前不了解的,這種復雜系統(tǒng)的內(nèi)部關(guān)系錯綜復雜。如果沒有余?？臻g讓人思想上可以互相聯(lián)通和想象,就根本無法知道整個宇宙是怎樣一種互相的關(guān)聯(lián)關(guān)系。當然要解決社會問題,也要強調(diào)數(shù)學跟社會文化,要靠辯證思想,事物的某一方面是重要的,但是不能完全都搞成那樣。所以純粹學術(shù)思想要給人以自由空間還是最要緊的。

閻：這就引到下面一個問題,作為橫跨數(shù)學及歷史,研究涉及離散數(shù)學、數(shù)學哲學、數(shù)學邏輯、數(shù)學史、數(shù)學文化多個領(lǐng)域的數(shù)學家,您認為年輕學者——既包括數(shù)學工作者,也包括數(shù)學史工作者——在科研起步時,應該遵從先數(shù)學再歷史的道路,還是先歷史而數(shù)學的進路？

李：其實我不能擺出一副“前輩”的態(tài)度來說,我講的完全是自己的感覺。我本身是自然地發(fā)展,并不是當初特別著意去計劃什么。有的時候?qū)W生也會問我這個問題,基本上我的回答就是內(nèi)在的召喚(inner calling)。當然這句話好像比較抽象,就是說人的內(nèi)心,或者你的秉性其他的說不清什么因素,如果覺得某件事情非常吸引你,從內(nèi)心發(fā)出熱忱要去做這件事,你也有精力去做這件事情,就不會感到疲倦。所以,年輕人最要緊就是有機會去嘗試各種事情,之后聽從自己的內(nèi)在召喚,到底什么事情讓你覺得感動？如果有那樣的感動,你就盡力投入,即使現(xiàn)在不是主流方向,畢竟那只是外在環(huán)境。如果你投入了,可能會有完全不同的看法和新的建樹,而且學術(shù)傳統(tǒng)從來也不在于勢力是否壯大之類的因素,而在于能不能講出一些事情讓人真正覺得受到啟發(fā)。當然我用的這些字眼,也很難去定義,因為很難用傳統(tǒng)的話去描述,但你還是可以了解大概意思。年輕的時候就拼命計劃將來要做哪些研究(是不行的),世界變化如此之快,現(xiàn)在你覺得有發(fā)展,但十年之后會是另外一番情形了。所以,我認為基本上還是自己從心里要感動,我小時候就受到歷史、哲學的吸引。近現(xiàn)代數(shù)學史研究的困難,我了解一些,其實臺灣的數(shù)學史幾乎都不能稱作是一個行當,只有少數(shù)個別人在做。洪萬生老師在臺師大,他的學生有些已經(jīng)是中學老師,沒有就業(yè)顧慮,碩士和博士就做數(shù)學史研究,但也沒有形成西方那樣健全的學術(shù)圈。即便如此,我們個別對數(shù)學史有興趣的人還是不絕如縷,一直在做自己的研究。

我覺得有兩點,一是計算理論這種邊緣理論跟法國主流數(shù)學中心的歷史研究,厘清這種歷史不完全是為了數(shù)學家服務。純數(shù)學家那種輝格式的歷史講法有其作用,是為了要發(fā)展數(shù)學理論。從歷史學家來看數(shù)學發(fā)展中的成功和失敗,成功不見得比失敗更精彩。為什么有些本來處于邊緣的思想,后來印證于社會的發(fā)展從而成為主流。這些課題是很重要的,西方人也不見得在這方面著力那么大。這是第一個可能。

另外,雖然羅塔并沒有給出一套完整理論,但是你從他提出的角度來看近現(xiàn)代數(shù)學就充滿了有趣的事情,而且與人文學科有一種互通。論文和教科書中所表現(xiàn)的數(shù)學家,是裝點好門面的數(shù)學家。用羅塔的話講,那只是數(shù)學家表示出來的一種方式和面貌!作為一個人,數(shù)學家的七情六欲以及數(shù)學發(fā)展中的成功失敗、群體間的緊張關(guān)系或者數(shù)學家自己的心理狀態(tài),這都是歷史研究可以更有趣更豐富的另一面!當然現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展如此迅速蓬勃,這種研究還是需要更多的數(shù)學專業(yè)知識,但都不是不可及的。你花點時間讀他們的文章,知道他們在做什么,也不是不能克服的。我覺得最近一百年的數(shù)學界太精彩了!我小時候怎么會想到費馬定理和龐加萊猜想能夠得到解決,但不到半個世紀都解決了,這給我們提供了非常有趣的材料!如果是純數(shù)學家,注重數(shù)學的細節(jié)則是另外一種搞法。如果一名數(shù)學史家來考察數(shù)學共同體的發(fā)展,庫恩(Thomas Kuhn,1922～1996)*美國歷史學家、科學史家,其代表作《科學革命的結(jié)構(gòu)》在自然科學界和社會科學界都有深遠影響,他提出的范式及范式理論已經(jīng)成為經(jīng)典模式和方法。提供的這些提法都是可以參考的。

閻：比如范式的提法？

李：對,現(xiàn)在不怎么提了,二三十年前討論數(shù)學里面有沒有革命,南京大學的鄭毓信老師還跟我寫過一本小書,講數(shù)學哲學里的革命[4]。他在英國跟外國學者也寫過一些外文文章。

閻：這一方面是不是西方開始更早一些？他們不只關(guān)心數(shù)學本身,對外史研究也非常重視。他們感興趣的點就是您所說的數(shù)學跟人、跟社會的關(guān)系。

李：對啊,從知識角度來說,我前面說的西方如何,并不是我看了他們的研究報告才這樣講,而是跟他們不謀而合。問題很簡單,因為搞當代數(shù)學史的數(shù)學太難了,并且數(shù)學還一直在發(fā)展。盡管數(shù)學內(nèi)史會引起數(shù)學家的共鳴,但我覺得近現(xiàn)代數(shù)學史中歷史的味道比數(shù)學要高,而歷史最關(guān)鍵就是人!所以你要研究共同體中人的變化、成功與失敗,就是我剛才所說的：成功的故事不見得比失敗更精彩!

閻：您的意思是：外史研究必然是他們關(guān)心的關(guān)鍵主題之一？

李：對,更何況整個科學史在半個世紀以來受到人文方面各種思想的很大影響,比如愛丁堡學派所強調(diào)的社會建構(gòu)論之類的思想。另外一個迫切的問題是地球上復雜的大型科學問題,這并不是以前那種如大型粒子對撞機一樣的問題,現(xiàn)在的問題本身就是一個大幅度問題,比如大氣氣候,不是任何單一學科能夠了解的。這種問題對人和社會的影響如何,公民的意見怎么容納進來？比如現(xiàn)在大陸的公共事務決策,一般是專家覺得行就行(即專家決策)。但世界上有些國家就不是這樣,不能只是單方面依靠科學因素。這里面還有一個選擇性,雖然說某種技術(shù)是可行的,但可能生活上并不是必需的。那么公民的意見怎么參與進來,這就需要在處理過程中吸取歷史經(jīng)驗和教訓。“古為今用”不是純粹為了政治目的,而是指吸取前人發(fā)展的過程和經(jīng)驗。雖然古代不見得有現(xiàn)在面對的同樣事情,但可以考察在不同情境里古人面對的狀況是什么,應該有很多值得研究和吸取的經(jīng)驗。那么這種研究一開始可能會碰到一些困難,也會面對各種壓力,年輕人必須要應付這個；如果你看到知識本質(zhì)的發(fā)展,就不會落在舊的窠臼里。如果你做的東西引起了別人興趣,這個環(huán)境就會慢慢改變。如果總認為沒有機會,那確實就沒機會,因為你沒做任何事!這個有點像數(shù)學里面的連續(xù)函數(shù),小范圍看沒什么變化,但是大范圍改變很厲害,就是如此。

閻：這里面有積累效應。

李：對。我為什么對近現(xiàn)代數(shù)學史有信心,就是因為有了歷史素養(yǎng)。

閻：我感覺您非常樂觀!

李：對啊,以前臺灣與外面、與西方也是隔絕的,可是很多年以后,回過頭看看那些發(fā)表的文章,離西方的主流也沒有很遠。雖然我們專業(yè)上還拿不出成績和建樹來和西方對比,但可以印證一下自己的想法,也并不是太離譜,主要是因為核心部分都在合理地發(fā)展。那么年輕的時候應該更廣泛地培養(yǎng)自己的文化素養(yǎng),才會對事情有敏銳的判斷!

閻：德國著名數(shù)學家、數(shù)學史家克萊因(Felix Klein,1849～1925)*德國數(shù)學家、數(shù)學史家、數(shù)學教育家,1872年提出埃爾朗根綱領(lǐng)用群論的思想統(tǒng)一幾何學,對數(shù)學產(chǎn)生了深刻影響?？巳R因的許多觀點至今仍然對數(shù)學家、數(shù)學史家有所啟迪,他的《高觀點下的初等數(shù)學》被譯為多種文字,影響至今不衰。特別請注意將德國數(shù)學家F.Klein與美國數(shù)學史家M.Kline區(qū)別開。在19世紀末的幾次演講中提醒數(shù)學家在面對算術(shù)化(arithmetization)大潮時要時刻保持清醒,不僅要注重數(shù)學邏輯,也要充分認識到數(shù)學直覺的重要作用。您在上個世紀末也出版了一本書《一條畫不清的界線》,提醒人們要從知識架構(gòu)、時間演化、人的行動三個維度來理解和把握數(shù)學及科學。您特別提到：“對科學這個知識系統(tǒng)加以肯定,少不了實證意義外的信念成分。”我覺得從某種意義上講,這種“信念成分”與克萊因所強調(diào)的“直覺”有異曲同工之妙。但克萊因只提到數(shù)學,而您的提法涵蓋范圍更廣泛。

李：首先我先澄清一下,克萊因講的直覺和我講的信念其實是兩個不同的方向[5,6]。如果讓我講直覺,我有別的看法。我當初那個文章主要是針對臺灣一般科學界,并特別將信念跟信仰分開來,這在西方就是科學跟宗教。當時臺灣鬧得很兇,一些人比較傾向于宗教式想法,有人就認為科學跟宗教是完全對立的。我覺得不是對立的,我為什么那樣講？舉一個最通俗的例子,你站在海邊,遠處是海,這邊是陸地,很清楚,對吧？但是海的邊上海水進進出出,哪里是邊界？陸地跟海洋的邊界是不清楚的!所以,科學跟宗教中間有一個“曖昧”的界限。特別是我講到了科學的信念,其實科學家也有很多沒有被審視過的信念在支持著他們做事。比如最簡單的相信宇宙是可理解的(comprehensible),沒有這個信念還做什么？當然這還不是可知論和不可知論,如果你不接受這個信念,整個就會是混沌一片。有這個信念,你就相信今天怎樣,明天不會突然變等等。數(shù)學研究當然是科學研究的一部分,也會有一些沒有被檢驗過的信念。人的頭腦中如果沒有一個框架是沒有辦法去做研究的,你需要大概知道是在什么框架和條件下做研究。

閻：您剛才提到如果研究確實讓知識發(fā)生了一些本質(zhì)變化,從歷史發(fā)展來看會得到承認,但可能年輕人眼光和修為還不夠,您覺得是否有必要講一下,讓年輕人有時間回頭看看老前輩的研究,再審視一下自己,對當下以及將來有更客觀和大范圍的分析。

李：講是講,但是有用沒用很受環(huán)境影響。年輕人呢,社會大環(huán)境(導致)的壓力很大,很值得同情,也可以理解。不過也不能只唱高調(diào),年輕人某種程度上也需要迎接那些挑戰(zhàn),但是學術(shù)研究最后剩下的絕對不能只是那些應付!因為你不斷地應付,不斷有論文出來,尤其是跟人文結(jié)合的研究,就會越做越瑣碎。數(shù)學研究也是一樣,你跟著人家到末端去做研究,很辛苦但不見得做出來什么價值,也不見得特別有啟發(fā)。當然如果你連前面說的那些都應付不了,那就沒什么辦法了。在磨練了自己之外,還是要聽從自己的內(nèi)在召喚。年輕人,特別是搞歷史研究,不積累廣泛的人文素質(zhì)是不可能走遠的,最后也不可能有真正見識。所以,對年輕人施加太多壓力,讓他發(fā)表論文之類的實在是不好的。想想看中國近代有名的陳寅恪先生,什么時候才開始發(fā)表論文??？很晚很晚,但是大家都崇拜他敬仰他的學問,那都是前面的積累。

年輕時發(fā)表一些文章,也是磨練、模仿和練習的過程,但最主要的是周邊素養(yǎng),不僅是讀書的涵養(yǎng),更要有歷史眼光。做研究其實跟生活和做人都有關(guān)系,我并不是唱道德高調(diào),而是說真正的做人要放在人的脈絡里面去品嘗和理解事情的發(fā)展。除了要有同情心以外,還要有一種分離開的冷靜態(tài)度。對于歷史研究,包括數(shù)學史和科學史在內(nèi),成長是一個非常重要的境界。十幾歲之前大概太年輕,不行。二三十歲的時候正好學術(shù)研究剛剛開始,這時如果發(fā)表論文之類的壓力太大,研究就會搞得很零碎。沒有文化的積累就不可能有見識來看到大問題,永遠是撿人家發(fā)展之后的問題去做。我們經(jīng)常會講：問題提到關(guān)鍵點上才能有真正貢獻。如果問題都是從人家那里來的,就只能做微枝末節(jié)的研究,怎么可能有真正創(chuàng)見？年輕人如果內(nèi)心真要走歷史研究這條路,就要有這種雄心壯志和沉得住氣的境界。開始要穩(wěn)一點,可能一時不如其他人論文那么多,但是要沉住氣,積累到一定程度,長遠發(fā)展一定是好的。這是人生自我的一個取舍,就看每個人對自己人生的期望如何。不管世界怎么功利,不同文化里總有一些人在堅持。比如證明龐加萊猜想的俄國人佩雷爾曼(Grigori Perelman,1966～)*俄羅斯數(shù)學家。2003年佩雷爾曼證明了瑟斯頓幾何化猜想從而證明了龐加萊猜想。2006年佩雷爾曼被授予菲爾茲獎,但他拒絕了該獎項。,當然不是要每個人都做到他那種程度,但是(我常常講)這個叫做“存在證明”,也就是說這樣堅持下來的人是存在的,也是可以成功的,你不能說全部不行,這就要看自己的選擇是什么方向。

致謝承蒙李國偉研究員及“中研院”數(shù)學研究所的邀請與資助,筆者得以在該所訪問并對李國偉研究員進行訪談；李先生多次對本談話稿進行深入細致的審查和修改,筆者從李先生談話及稿件修改中受益良多,在此表示誠摯的謝意!

1 Rota G-C.IndiscreteThoughts[M]. Boston: Birkh?user, 1997.

2 Lih K-W. Sperner Families over a Subset[J].JournalofCombinatorialTheory, Series A, 1980, 29(2):182～185.

3 李國偉. 證明的流變：一個數(shù)學哲學與數(shù)學史的綜合觀察[J]. 臺灣哲學研究, 2000, 3: 1～22.

4 鄭毓信, 李國偉. 數(shù)學哲學中的革命[M]. 臺北：九章出版社, 1999.

5 李國偉. 一條畫不清的界線[M]. 臺北：新新聞文化, 1999.

6 Klein F. The Arithmetizing of Mathematics[J].BulletinoftheAmericanMathematicalSociety, 1896, 2(8): 241～249.

ABSTRACTProfessor Lih Ko-Wei (1948-) has worked in fields ranging from mathematics to philosophy, history and sociology, and made many outstanding contributions in the popularization of mathematics. In this interview, Professor Lih focuses on several key issues: how to carry out research on the history of mathematics, how to sort out the relationship between research on mathematics and its history, and how to understand them from a methodological perspective．

KeywordsOral history, mathematics, history of mathematics, philosophy of mathematics, methodology, Lih Ko-Wei

FollowingtheInnerCalling:AnInterviewwithLihKo-Wei

YAN Chenguang

(DepartmentofMathematics,SchoolofScience,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang050018,China)

N092∶K826.1

A

1000- 0224(2017)03- 0426- 13

2017- 02- 04；

2017- 05- 12

閻晨光,1977年生,河北省內(nèi)丘人,副教授,目前主要從事近現(xiàn)代數(shù)學史的研究。

河北省軟科學研究計劃項目(項目編號：164576156D)