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        結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算鍍層表面輪廓曲線分形維數(shù)的適應(yīng)性研究

        2017-10-11 08:08:17魏靜吳成寶田巨陳崢華劉傳生龔煜王艦李璐瑤
        電鍍與涂飾 2017年17期
        關(guān)鍵詞:空間頻率維數(shù)鍍層

        魏靜,吳成寶,*,田巨,陳崢華,劉傳生,龔煜,王艦,李璐瑤

        (1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院飛機(jī)維修工程學(xué)院,廣東 廣州 510470;2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,廣東 廣州 510640;3.廣州白云國(guó)際機(jī)場(chǎng)地勤服務(wù)有限公司機(jī)務(wù)工程部,廣東 廣州 510470)

        結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算鍍層表面輪廓曲線分形維數(shù)的適應(yīng)性研究

        魏靜1,吳成寶1,2,*,田巨1,陳崢華3,劉傳生1,龔煜1,王艦1,李璐瑤1

        (1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院飛機(jī)維修工程學(xué)院,廣東 廣州 510470;2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,廣東 廣州 510640;3.廣州白云國(guó)際機(jī)場(chǎng)地勤服務(wù)有限公司機(jī)務(wù)工程部,廣東 廣州 510470)

        為驗(yàn)證結(jié)構(gòu)函數(shù)法(SFM)計(jì)算鍍層表面輪廓曲線分形維數(shù)的適應(yīng)性,利用W?M分形函數(shù)生成了空間頻率相關(guān)參數(shù)(λ)和特性參數(shù)(G)不同,但理論分形維數(shù)(D)均為1.5的標(biāo)準(zhǔn)表面輪廓曲線,并用SFM測(cè)算了它們的D。統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果發(fā)現(xiàn):λ一定時(shí),SFM的計(jì)算相對(duì)誤差為0.04% ~ 0.07%,平均相對(duì)誤差僅為0.05%;G一定時(shí),SFM的計(jì)算相對(duì)誤差為0.27% ~ 1.01%,平均相對(duì)誤差為0.62%。較低的相對(duì)誤差表明SFM在測(cè)算不同特性曲線的D時(shí)具有極強(qiáng)的適應(yīng)性。

        鍍層;輪廓曲線;分形維數(shù);結(jié)構(gòu)函數(shù)法;適應(yīng)性;相對(duì)誤差

        Abstract:The standard surface profile curves with different values of characteristic parameter (G) and spatial frequency parameter (λ) but the same fractal dimension (D = 1.5) were generated by the W-M fractal function, and their D values were calculated by the structure function method (SFM).The statistical analysis of calculated results indicated that the relative error of SFM is in a range of 0.04%-0.07% with an average value of 0.05% when the λ is constant, and the relative error of SFM ranges from 0.27% to 1.01% and is 0.62% averagely when the G is constant.The small relative errors show that the SFM is highly adaptable to calculate the D values of the curves with different characteristics.

        Keywords:coating; profile curve; fractal dimension; structure function method; adaptability; relative error

        First-author’s address:School of Aircraft Maintenance Engineering, Guangzhou Civil Aviation College, Guangzhou 510470, China

        鍍層表面具有分形結(jié)構(gòu),可以用分形維數(shù)來定量表征[1-5]。筆者課題組的前期工作[6]評(píng)價(jià)了垂直界面法、尺碼法、盒維數(shù)法、方差法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法(SFM)、協(xié)方差加權(quán)法、功率譜法和均方根法用于計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)表面輪廓曲線的分形維數(shù)(D)時(shí)的準(zhǔn)確性。從研究結(jié)果可以初步判斷:在上述8種常用方法中,結(jié)構(gòu)函數(shù)法最準(zhǔn)確。但評(píng)價(jià)的對(duì)象是由具有相同的空間頻率相關(guān)參數(shù)( )和特性參數(shù)(G)的標(biāo)準(zhǔn)分形函數(shù)生成的曲線,而真實(shí)的鍍層表面形貌空間頻率是隨機(jī)的。因此,具有最高準(zhǔn)確度的結(jié)構(gòu)函數(shù)法是否適應(yīng)于計(jì)算具有不同空間頻率和不同特性參數(shù)值的曲線的分形維數(shù)還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。本文用W-M分形函數(shù)生成了理論分形維數(shù)為1.5,但具有不同特性參數(shù)和空間頻率相關(guān)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分形曲線,分析了結(jié)構(gòu)函數(shù)法的計(jì)算誤差,驗(yàn)證了該方法的適應(yīng)性。

        1 結(jié)構(gòu)函數(shù)法的簡(jiǎn)介

        將輪廓曲線視為一個(gè)時(shí)間序列Z(x),則具有分形特征的時(shí)間序列能使其采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足式(1)[7-8]:

        則D與斜率α的轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(2)所示。

        2 標(biāo)準(zhǔn)輪廓曲線的生成

        2.1 W-M分形函數(shù)

        W-M分形函數(shù)是由1875年發(fā)現(xiàn)的連續(xù)但處處不可微的函數(shù)演變而成。1980年,M.V.Berry詳細(xì)討論了W-M分形函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì),奠定了W-M分形函數(shù)廣泛傳播和適用的基礎(chǔ)。后來,B.B.Mandelbrot、H.O.Peitgen等人提出了輪廓曲線具有統(tǒng)計(jì)自相似分形特征,可用W-M分形函數(shù)來刻畫表征。1990年為了適合工程表面的應(yīng)用,M.Majumdar和B.Bhushan提出了對(duì)原W-M分形函數(shù)的修正形式,簡(jiǎn)稱M-B模型。其表達(dá)式如式(3)[9]所示。

        式中, Z(x)為隨機(jī)輪廓高度; 為輪廓的位置坐標(biāo);G為特征尺度系數(shù),反映 Z(x)的幅值,它決定 Z(x)的尺寸;D為W-M分形曲線的分形維數(shù),它描述函數(shù) Z(x)在所有尺度上的不規(guī)則性,但不能確定 Z(x)的尺寸,即兩個(gè)完全不同尺度上的分形曲線可以具有相同的分形維數(shù);λn為輪廓的空間頻率, 為大于1的常數(shù),對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)輪廓, = 1.5可適用于高頻密度及相位的隨機(jī)性,由于粗糙度輪廓是非穩(wěn)定的隨機(jī)過程,輪廓結(jié)構(gòu)的最低頻率與粗糙度樣本長(zhǎng)度的關(guān)系為; nL是W-M分形函數(shù)的初始項(xiàng),是整數(shù); L1為粗糙度樣本取樣長(zhǎng)度;n為樣本取樣長(zhǎng)度上的取樣個(gè)數(shù),是整數(shù)。

        2.2 W-M分形函數(shù)的MATLAB實(shí)現(xiàn)

        由式(3)可知,W-M函數(shù)主要由D、G、、n所確定,同時(shí)要避開0λ=的點(diǎn),另經(jīng)大量計(jì)算發(fā)現(xiàn)n不可能取無窮大,也不需要取過大值,實(shí)際應(yīng)用中一般為10 ~ 100, 則在[0.5, 0.8]區(qū)間內(nèi)取值。

        在Matlab中,D為1.5時(shí)的模擬程序如下(其他情況只需將程序中的D改成相應(yīng)的分形維數(shù)值):

        subplot(2,2,1)

        x=0.5:0.0001:0.8

        c=0

        for n=1:100

        g=0.01,lambda=1.5, D=1.5

        z=g.^ (D-1)* cos(2*pi*lambda.^n*x)/lambda.^ ((2-D)*n)

        c=c+z

        end

        plot(x,c)

        3 結(jié)果與分析

        D為1.5,G分別為0.01、0.1、10和100時(shí),W-M分形函數(shù)的模擬圖如圖1所示。

        D為1.5, 分別為1.4、1.6、1.8和2.0時(shí),W-M分形函數(shù)的模擬圖如圖2所示。

        為驗(yàn)證結(jié)構(gòu)函數(shù)法的適應(yīng)性,考察了當(dāng) = 1.5時(shí)不同特征尺度系數(shù)(G值)條件下D為1.5的W-M曲線的實(shí)測(cè)值,其計(jì)算曲線見圖3。用最小二乘法原理線性回歸分析各數(shù)據(jù)點(diǎn),結(jié)果見表1。

        由圖3可知,計(jì)算曲線呈線性相關(guān)。結(jié)合表1可以看出,結(jié)構(gòu)函數(shù)法的D值計(jì)算曲線的相關(guān)系數(shù)都大于0.99,且波動(dòng)僅為0.03%,這表明結(jié)構(gòu)函數(shù)法具有十分顯著的穩(wěn)定性。此外,又選擇了在G= 1,分別為1.4、1.6、1.7、1.8和2.0的條件下,理論D值為1.5時(shí),分析結(jié)構(gòu)函數(shù)法的準(zhǔn)確性。其計(jì)算曲線如圖4所示。用最小二乘法原理線性回歸分析各數(shù)據(jù)點(diǎn)后的結(jié)果見表2。

        圖1 不同G值的W?M分形曲線Figure 1 W-M fractal curves having different G values

        圖2 不同λ值的W?M分形曲線Figure 2 W-M fractal curves having different λ values

        圖3 不同G值條件下W?M分形曲線的D值計(jì)算曲線(λ = 1.5)Figure 3 Plots for calculating the D values of the W-M fractal curves with different G values (λ = 1.5)

        表1 不同G值條件下W?M分形曲線的實(shí)測(cè)D值(λ = 1.5)Table 1 Calculated D values of the W-M fractal curves with different G values (λ = 1.5)

        圖4 不同λ值條件下W?M分形曲線的D值計(jì)算曲線(G = 1)Figure 4 Plots for calculating the D values of the W-M fractal curve with different λ values (G = 1)

        表2 不同λ值條件下W?M分形曲線的實(shí)測(cè)D值(G = 1)Table 2 Calculated D values of the W-M fractal curves with different λ values (G = 1)

        分析圖4及表2不難發(fā)現(xiàn),不同 值條件下,用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算的D值的相對(duì)誤差和誤差波動(dòng)都較小,平均誤差僅為0.62%。這進(jìn)一步說明結(jié)構(gòu)函數(shù)法具有良好的適用性。

        4 結(jié)論

        結(jié)構(gòu)函數(shù)法在計(jì)算具有不同空間頻率相關(guān)參數(shù)和特性參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表面輪廓曲線時(shí),其相對(duì)誤差分別介于0.04% ~ 0.07%與0.27% ~ 1.01%,平均相對(duì)誤差分別為0.05%和0.62%。較低的相對(duì)誤差表明結(jié)構(gòu)函數(shù)法適用于測(cè)算不同特性曲線的分形維數(shù)。

        [1]徐金來, 吳成寶, 劉鈞泉.鍍層表面形貌的分形維數(shù)定量表征[J].電鍍與涂飾, 2009, 28 (5): 31-34.

        [2]汪笑鶴, 徐濱士, 胡振峰, 等.n-Al2O3/Ni-Co納米復(fù)合電刷鍍層表面形貌的分形維數(shù)研究[J].電鍍與涂飾, 2010, 29 (11): 33-36.

        [3]鄭金玲, 胡小芳. 鎳?二氧化硅納米復(fù)合鍍層表面分形維數(shù)與顯微硬度的關(guān)系[J].電鍍與涂飾, 2011, 30 (9): 8-11.

        [4]翁星星, 朱賢博.化學(xué)鍍非晶鎳?磷合金分形分析[J].電鍍與涂飾, 2012, 31 (11): 28-31.

        [5]王洪濤, 李艷, 朱華.具有分形特征的織構(gòu)表面的潤(rùn)滑減摩性能研究[J].表面技術(shù), 2016, 45 (9): 182-187.

        [6]吳成寶, 田巨, 劉傳生, 等.鍍層表面輪廓曲線分形維數(shù)計(jì)算方法的評(píng)價(jià)[J].電鍍與涂飾, 2017, 36 (8): 403-408.

        [7]ZHONG L, ZENG F, XU G X.Comparison of fractal dimension calculation methods for channel bed profiles [J].Procedia Engineering, 2012, 28: 252-257.

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        [9]MAJUMDAR A, BHUSHAN B.Role of fractal geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces [J].Journal of Tribology, 1990, 112 (2):205-216.

        [ 編輯:溫靖邦 ]

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        Study on adaptability of structure function method for calculating the fractal dimension of surface profile curve of coating

        WEI Jing, WU Cheng-bao*, TIAN Ju, CHEN Zheng-hua, LIU Chuan-sheng, GONG Yu, WANG Jian, LI Lu-yao

        TQ153

        B

        1004 - 227X (2017) 17 - 0911 - 04

        2017-07-02

        2017-08-29

        中國(guó)民用航空局2015年民航科技創(chuàng)新引導(dǎo)資金;廣東省二類品牌專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目;2017年廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目。

        魏靜(1975-),女,四川成都人,碩士,副教授,主要從事民用飛機(jī)結(jié)構(gòu)的研究。

        吳成寶,副教授,(E-mail) wuchengbao@126.com。

        10.19289/j.1004-227x.2017.17.002

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