王慧平，李 昕，周 晶

(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧 大連 116024)

考慮橢圓化和材料各向異性的管道極限 彎矩承載力解析解研究

王慧平，李 昕，周 晶

(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧 大連 116024)

已有的管道極限彎矩承載力解析方法忽略了截面的橢圓化變形，且假設(shè)管道截面達(dá)到全塑性抵抗力，這對(duì)于薄壁管道是不合理的。針對(duì)這些不足，在已有解析解的基礎(chǔ)上，考慮管道截面塑性區(qū)的橢圓化變形以及管道軸向與環(huán)向材料的各向異性，推導(dǎo)了管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合荷載作用下的極限彎矩承載力解析解。并通過定義材料屈服后不同的廣義模量，提出了管道極限彎矩承載力的上限解析解和下限解析解。在此基礎(chǔ)上，研究了材料各向異性系數(shù)、徑厚比以及初始荷載等參數(shù)對(duì)極限彎矩承載力上限和下限解析解的影響，并得到了一些有益的結(jié)論。

管道； 聯(lián)合荷載；橢圓化；材料各向異性；彎矩承載力；解析解

Abstract: The previous analytic solution ignored the ovalization of the pipe cross-section, and assumed the pipe section able to attain its fully plastic capacity, which seems inappropriate for pipeline with large diameter to thickness ratio. On this basis, by considering the ovalization of the plastic region and the pipe material’s anisotropy of the axial and circumferential direction, an analytical solution of the ultimate bending capacity of pipeline subjected to combined internal pressure, axial forces and bending moments was derived in this research project. Both the lower and upper bound solutions are proposed based on the selection of a general modulus in the process of calculation. Based on the analytical solution, the effect of the anisotropy coefficient, the ratio of diameter to thickness, and the initial loading on moment capacity was studied, and some useful conclusions are obtained.

Keywords: pipeline; combined loading; ovalization; material anisotropy; ultimate bending capacity; analytical solution

隨著海洋油氣資源的開發(fā)，海底管道被廣泛應(yīng)用在海上油氣田的開發(fā)、生產(chǎn)和產(chǎn)品運(yùn)輸中。海底管道建設(shè)日益增多，被稱為海上油氣田的“生命線”[1-2]。一般情況下，內(nèi)壓荷載是確定海底管道壁厚的控制荷載，而當(dāng)管道受到滑坡、沉降、地震等影響時(shí)，由土體運(yùn)動(dòng)引起的彎矩荷載成為管道設(shè)計(jì)的控制荷載[3-6]。

在過去的四十年間，眾多學(xué)者致力于聯(lián)合荷載作用下海底管道的極限彎矩承載力研究。早期的研究主要集中于在內(nèi)壓和軸向力作用下管道極限彎矩承載力的實(shí)驗(yàn)研究[7-9]，20世紀(jì)開始，眾多學(xué)者致力于海底管道在復(fù)雜荷載作用下的極限彎矩承載力理論研究。20世紀(jì)90年代期間，Mohareb和Bai等[10-13]采用Mises屈服準(zhǔn)則，基于理想彈塑性假設(shè)得到了鋼制管道在內(nèi)/外壓和軸向力作用下的極限彎矩承載力解析方程，該解析解被DNV規(guī)范[14]采用。Hauch和Bai[15]推導(dǎo)了管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合作用下的極限彎矩承載力解析解，并計(jì)入了管道材料各向異性系數(shù)的影響。隨后，Mohareb發(fā)展了管道在軸向力、內(nèi)/外壓、扭矩、雙軸彎矩和雙軸剪力聯(lián)合作用下的無量綱相互作用方程[16-17], 與他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好[11,18]。黨學(xué)博等[19]考慮材料各向異性系數(shù)的影響，推導(dǎo)出深水海底管道在彎矩、軸向拉力和外壓共同作用下的極限承載能力公式，并應(yīng)用到S型深水鋪管施工受力分析中。陳嚴(yán)飛等[20-21]在Mohareb方程的基礎(chǔ)上，考慮了管道軸向與環(huán)向材料強(qiáng)度的各向異性，提出了腐蝕缺陷管道在內(nèi)壓、軸力和彎矩組合荷載作用下極限彎矩承載力的一組廣義解。

實(shí)驗(yàn)研究表明[22-24]，Mohareb解析解預(yù)測(cè)得到的彎矩承載力與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果符合較好，具有一定的可靠性且計(jì)算簡(jiǎn)便，因此常被用作實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值預(yù)測(cè)結(jié)果的基準(zhǔn)。然而，Mohareb以及Hauch和Bai[15]的解析方法在推導(dǎo)過程中忽略了截面橢圓化的影響，且假設(shè)管道截面達(dá)到全塑性抵抗力。這使得解析解無法給出管道在外力作用下的變形特性，且這些假設(shè)對(duì)于薄壁管道不合理。本文針對(duì)這些不足，在Mohareb解析解的基礎(chǔ)上，考慮管道截面塑性區(qū)橢圓化變形和管道軸向與環(huán)向材料強(qiáng)度的各向異性，發(fā)展了管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩荷載聯(lián)合作用下極限承載力解析解。

1 基本假定和屈服準(zhǔn)則

1.1基本假定

Mohareb[11,22]，Bai和Hauch[15]推導(dǎo)了管道在內(nèi)壓、軸向力作用下極限彎矩承載力解析解，這里沿用其部分基本假定：1)忽略管道材料塑性部分的應(yīng)力強(qiáng)化效應(yīng)；2)在達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)，塑性中性軸將管道橫截面分為壓縮和拉伸兩個(gè)區(qū)域；3)不考慮應(yīng)變局部化的影響。在此基礎(chǔ)上，又引入如下假設(shè)：1)管道在彎矩作用下，管道的橫截面逐漸發(fā)生橢圓化變形，但是仍然在同一平面內(nèi)；2)管道彎曲變形后，曲率半徑沿管道截面的變化可以忽略不計(jì)，在推導(dǎo)過程中，采用管道截面中心線的曲率半徑作為計(jì)算值；3)根據(jù)受力特性，把屈服后的管道結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為拱梁。

1.2屈服準(zhǔn)則

管道在內(nèi)壓、軸力和彎矩作用下發(fā)生塑性變形時(shí)，表現(xiàn)為管道材料在多軸應(yīng)力下的屈服，其中徑向應(yīng)力和剪應(yīng)力分量可忽略不計(jì)?？紤]到管道加工過程中會(huì)引起材料軸向和環(huán)向的各向異性[25-27]，則軸向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力的相互作用方程可表示為[21,28-29]：

由式(1)得到管道軸向壓應(yīng)力和拉應(yīng)力的極限值：

其中，R為管道的平均半徑，t為管壁厚度。

2 內(nèi)壓和軸向力作用下管道極限彎矩承載力解析解

2.1橢圓化應(yīng)力

在彎曲荷載作用下管道的橫截面發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)變形，進(jìn)而使軸向壓應(yīng)力σc與軸向拉應(yīng)力σt產(chǎn)生向內(nèi)的應(yīng)力分量qc和qt，如圖1所示。qc和qt會(huì)使管道橫截面發(fā)生橢圓化變形，稱其為橢圓化應(yīng)力。根據(jù)圖1，由平衡方程和幾何方程，可得到：

其中，下標(biāo)c和t分別代表橫截面壓縮和拉伸區(qū)的變量，dsc、dst分別為橫截面上壓縮和拉伸塑性區(qū)的長(zhǎng)度，dl為管道小微段長(zhǎng)度，ρ為彎曲變形后的曲率半徑，θ為管道變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角，如圖1。

由公式(3)和(4)，可得到橢圓化應(yīng)力：

圖1 管道截面橢圓化變形機(jī)理圖Fig. 1 Ovalization mechanism of the pipe cross-section

圖2 管道截面在橢圓化應(yīng)力作用下的變形Fig. 2 Deformation of pipe cross-section under inward stress

2.2彎矩承載力影響系數(shù)

在某一彎矩荷載的作用下，假設(shè)管道截面的分布為：[αc,π-αt]與[π+αt,2π-αc]為彈性區(qū)；[2π-αc,αc]與[π-αt,π+αt]為塑性區(qū)，如圖2所示。

管道材料剛度越大，截面的橢圓化變形就越小。材料進(jìn)入塑性后，剛度急劇降低，橢圓化變形與彈性區(qū)的橢圓化相比會(huì)大很多。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，只考慮塑性區(qū)的橢圓化變形及其對(duì)彎矩荷載的影響，彈性區(qū)的橢圓化變形被忽略。因此彈塑性區(qū)分界點(diǎn)Ac、Bc、At、Bt的豎向位移為零。在qc與qt的作用下，這些點(diǎn)只有水平向位移，分別移動(dòng)到Ac'、Bc'、At'和Bt'，如圖2所示。為了計(jì)算塑性區(qū)橢圓化對(duì)彎矩承載力的影響，把壓縮和拉伸塑性區(qū)簡(jiǎn)化為拱梁結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 塑性區(qū)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意Fig. 3 Simplified structures of the plastic regions

在qc與qt作用下，管道截面最外側(cè)點(diǎn)Gc和Gt分別移動(dòng)到Gc'和Gt'，可求得其豎向位移為：

其中，E'為管道材料屈服后的廣義模量，關(guān)于E'的討論見第三部分。

由于Δdc、Δdt相對(duì)管道半徑R較小，因此可以把塑性區(qū)的豎向位移看作是線性變化的。即有：

壓縮或拉伸塑性區(qū)對(duì)管道中心線的彎矩可分為兩部分：一部分為塑性區(qū)對(duì)截面彈性與塑性分界線AcBc或AtBt的彎矩；另一部分為從分界線到管道中心線的移軸彎矩。其中第一部分彎矩受橢圓化的影響，而第二部分與橢圓化變形無關(guān)。為了得到橢圓化變形后的彎矩承載力，只需求出橢圓化變形對(duì)第一部分彎矩的影響即可。橢圓化變形后，塑性區(qū)對(duì)分界線的彎矩可以表示為：

把式(7)代入式(8)中，得到：

由最小勢(shì)能原理[31]可知，當(dāng)殼體結(jié)構(gòu)在內(nèi)壓、軸力和彎矩作用下且處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生向內(nèi)凹陷的變形。因此當(dāng)Δdc>Lc或Δdt>Lt時(shí)，令Δdc=Lc，Δdt=Lt。

2.3壓縮與拉伸塑性區(qū)夾角

若要得到管道橫截面的彎矩承載力，還需要求出壓縮和拉伸塑性區(qū)的夾角αc、αt。圖4和圖5分別為一般截面應(yīng)力分布圖和相應(yīng)的軸向變形圖。

圖4 管道橫截面的應(yīng)力分布Fig. 4 Stress distribution of pipe section

圖5 管道截面的軸向變形Fig. 5 Deformation along the axial direction

由圖4和圖5，可以得到：

其中，E為管道材料的彈性模量，εc和εt為壓縮和拉伸彈性區(qū)最外側(cè)的軸向應(yīng)變，Δlc和Δlt為相應(yīng)的變形，如圖5所示。

由式(11)、(12)，可以得到：

2.4管道的彎矩承載力

在計(jì)算過程中，將管道橫截面的彎矩M分為六部分：M1為受壓塑性區(qū)對(duì)彈塑性分界線的彎矩；M2為受壓塑性區(qū)從分界線到截面中心線的移軸彎矩；M3為受壓彈性區(qū)對(duì)中心線的彎矩；M4為受拉彈性區(qū)對(duì)中心線的彎矩；M5為受拉塑性區(qū)對(duì)分界線的彎矩；M6為受拉塑性區(qū)從分界線到中心線的移軸彎矩。對(duì)于給定的曲率半徑ρ，根據(jù)塑性區(qū)的位置，可以分為以下四種工況來求解管道的彎矩承載力。

這種工況為管道截面全部在彈性范圍內(nèi)，管道截面最外側(cè)的軸向壓應(yīng)力和拉應(yīng)力分別為σc'和σt'。與式(11)和(12)類似，有：

根據(jù)式(14)和(15)，可得到：

則橫截面的軸向力為：

在已知實(shí)際軸力的情況下，可根據(jù)式(17)采用二分法[32]求出中性軸夾角ψ。從而求出管道截面的彎矩承載力M：

這種工況為僅部分壓縮區(qū)達(dá)到屈服，軸向力可以表示為式(19)，同理可由此確定中性軸夾角ψ。

彎矩承載力M由應(yīng)力沿整個(gè)截面的積分得到：

其中，M4與式(18)中M4相同。

這種工況為僅部分拉伸區(qū)達(dá)到屈服，此時(shí)管道截面軸力F和彎矩M可表示如下：

其中，M3與式(18)中M3相同。

這種工況為截面壓縮區(qū)和拉伸區(qū)都達(dá)到了屈服，此時(shí)管道截面軸向力F和彎矩M可表示為：

其中，M1、M2、M3見式(20)，M4、M5、M6見式(22)。

3 參數(shù)分析

由上一節(jié)的推導(dǎo)可知，E′是用于求解壓縮和拉伸塑性區(qū)的豎向位移Δdi的一個(gè)材料參數(shù)，見式(6)。管道材料進(jìn)入塑性后，應(yīng)力-應(yīng)變曲線是非線性的，材料的切線模量不斷變化。為了求出考慮橢圓化的彎矩承載力，在計(jì)算過程中可以引入一個(gè)確定的E′值來代替不斷變化的切線模量，稱為屈服后的廣義模量。從物理意義上講，E′的取值范圍應(yīng)該在應(yīng)變強(qiáng)化模量Et和彈性模量E之間，其中Et為材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線上屈服點(diǎn)和極值點(diǎn)連線的斜率。因此，E′=Et和E′=E分別代表管道下限解析解和上限解析解。與前人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比表明[33]，理論推導(dǎo)所得到的下限解和上限解可以很好地預(yù)測(cè)管道的極限彎矩承載力。

下面開展管道極限彎矩承載力的參數(shù)分析，分別研究了材料各向異性系數(shù)α、徑厚比D/t以及初始荷載對(duì)極限彎矩承載力上限解析解和下限解析解的影響，其中初始荷載包括初始內(nèi)壓和初始軸向力荷載。計(jì)算管道的幾何參數(shù)為：直徑508 mm，壁厚7.9 mm，彈性模量196 110 MPa。

3.1各向異性系數(shù)α對(duì)極限彎矩荷載的影響

研究X80管道在不同內(nèi)壓和軸向壓力作用下，各向異性系數(shù)對(duì)極限彎矩承載力的影響。表1給出了不同計(jì)算工況下，管道材料環(huán)向和軸向的屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度以及管道材料的各向異性系數(shù)[27]。圖6給出了不同內(nèi)壓作用下，管道的彎矩承載力的下限值和上限值。其中，P代表管道承受的內(nèi)壓作用力，M代表管道的彎矩承載力。

從圖6可以看出，當(dāng)各向異性系數(shù)為0.5，即材料為各向同性時(shí)，材料的屈服應(yīng)力越高，管道的極限彎矩承載力越大。當(dāng)材料的環(huán)向屈服強(qiáng)度相同時(shí)，管道的彎矩承載力隨軸向屈服強(qiáng)度的增大而增大。當(dāng)材料的軸向屈服強(qiáng)度相同時(shí)，環(huán)向屈服強(qiáng)度對(duì)彎矩承載力的影響與內(nèi)壓值有關(guān)：內(nèi)壓值越大，環(huán)向屈服強(qiáng)度的影響也越大，且管道的彎矩承載力隨環(huán)向屈服強(qiáng)度的增大而有所提高。

這里還計(jì)算了不同軸向力作用下，管道彎矩承載力的下限值和上限值。理論上來說，管道在軸向力和彎矩共同作用下的承載力只與管道的軸向屈服強(qiáng)度有關(guān)，與環(huán)向屈服強(qiáng)度無關(guān)，這與本文的解析結(jié)果相同。由于篇幅的限制，這里沒有列出相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。

表1 X80管道材料參數(shù)Tab. 1 Material properties for X80 pipe

圖6 內(nèi)壓作用下各向異性系數(shù)對(duì)彎矩荷載的影響Fig. 6 Effect of anisotropy coefficient on the moment capacity under internal pressure

圖7 徑厚比對(duì)彎矩承載力的影響Fig. 7 Effect of radio of D/t on moment capacity

3.2徑厚比D/t對(duì)極限彎矩荷載的影響

工程中使用的管道的徑厚比D/t大多為30～100，因此在直徑不變的基礎(chǔ)上計(jì)算了八種不同徑厚比的管道，分別為30、40、50、60、70、80、90、100。管道的材料參數(shù)取為工況1，α=0.5。圖7給出了在純彎矩作用下，管道極限彎矩承載力下限值和上限值隨徑厚比的變化情況。

從圖7中可以看出，管道的極限彎矩承載力隨著徑厚比的增大而減小。在徑厚比相對(duì)較小的情況下，管道的彎矩承載力隨徑厚比的增大急劇減小，當(dāng)徑厚比較大時(shí)，彎矩承載力的變化趨勢(shì)逐漸趨于平緩。上限值和下限值的變化趨勢(shì)一致。

3.3初始荷載對(duì)極限彎矩荷載的影響

圖8給出了在不同的軸向力作用下，無量綱的內(nèi)壓對(duì)極限彎矩承載力下限值和上限值和的影響。其中，P與F為管道實(shí)際的內(nèi)壓和軸向力荷載，Py與Fy為管道的屈服內(nèi)壓和屈服軸力，Py=2σyt/D，F(xiàn)y=σyA，A為管道截面面積。F/Fy為負(fù)值代表管道承受軸向壓力，F(xiàn)/Fy為正值代表管道承受軸向拉力。

從圖8中可以看出，無論是下限還是上限解析解，軸向壓力會(huì)大大降低管道內(nèi)壓荷載的作用范圍，而軸向拉力會(huì)增加內(nèi)壓荷載的作用范圍。對(duì)于無軸向力作用或承受軸向壓力作用的管道，隨著內(nèi)壓荷載的增加，管道的極限彎矩承載力會(huì)逐漸降低；對(duì)于承受軸向拉力作用的管道，隨著內(nèi)壓荷載的增加，管道的極限彎矩荷載表現(xiàn)為先增加后減小的趨勢(shì)。

從圖8中還可以看出，對(duì)于無內(nèi)壓作用的管道，當(dāng)承受相同的軸向拉力和軸向壓力時(shí)，管道的彎矩承載力也是相同的，也就是說在無壓狀態(tài)下軸向拉力和軸向壓力對(duì)管道的極限彎矩承載力的削弱程度相同。

圖8 內(nèi)壓、軸向力對(duì)極限彎矩荷載的影響Fig. 8 Effect of axial force and internal pressure on moment capacity

4 結(jié) 語

考慮管道截面塑性區(qū)橢圓化以及材料各向異性的影響，發(fā)展了在內(nèi)壓和軸向力組合荷載作用下管道的極限彎矩承載力上限和下限解析解，并研究了材料各向異性系數(shù)、徑厚比、初始內(nèi)壓和軸向力荷載對(duì)管道極限彎矩承載力的影響。得到如下結(jié)論：

1)管道材料為各向同性時(shí)，材料的屈服應(yīng)力越高，管道的極限彎矩承載力越大。

2)當(dāng)無內(nèi)壓作用時(shí)，管道的極限彎矩承載力只與管道的軸向屈服強(qiáng)度有關(guān)，與環(huán)向屈服強(qiáng)度無關(guān)。當(dāng)有內(nèi)壓作用時(shí)，各向異性系數(shù)對(duì)管道的極限彎矩承載力有一定的影響。內(nèi)壓值越大，環(huán)向屈服強(qiáng)度對(duì)彎矩承載力的影響也越大，且管道的彎矩承載力隨環(huán)向屈服強(qiáng)度的增大而有所提高。

3)管道的極限彎矩承載力隨著徑厚比的增大而減小。在徑厚比相對(duì)較小的情況下，管道的彎矩承載力隨徑厚比增大急劇減小，當(dāng)徑厚比較大時(shí)，彎矩承載力的變化趨勢(shì)逐漸趨于平緩。

4)對(duì)于無軸向力作用或承受軸向壓力作用的管道，隨著內(nèi)壓荷載的增加，管道的極限彎矩承載力會(huì)逐漸降低；對(duì)于承受軸向拉力作用的管道，隨著內(nèi)壓荷載的增加，管道的極限彎矩荷載表現(xiàn)為先增加后減小的趨勢(shì)。

5)對(duì)于無內(nèi)壓作用的管道，軸向拉力和軸向壓力對(duì)管道極限彎矩承載力的削弱程度是相同的。

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Analytical solution of ultimate bending capacity of pipeline considering ovalization and material anisotropy

WANG Huiping, LI Xin, ZHOU Jing

(State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

TE973；P756.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.01.008

1005-9865(2017)01-0071-09

2016-01-15

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2011CB013702); 新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助(NCET-11-0051)

王慧平(1985-)，女，吉林長(zhǎng)春人，博士研究生，主要從事海底管道承載能力的研究。E-mail：whpwanghuiping@126.com

李 昕。E-mail：lixin@dlut.edu.cn