王榮良

● 問題：計算思維教什么？

自2012年學術界正式開展中小學計算思維教育研究以來，對計算思維的概念研究在中小學信息技術課程領域逐年升溫。然而，有關計算思維教育成功的案例卻鮮有出現(xiàn)，原因是多方面的，但與現(xiàn)有研究與教育實踐脫節(jié)不無關系。

目前的信息技術課程源于計算機課程，無論是教師還是整個課程文化，對計算機教育有著揮之不去的親近感。從計算思維的教學實踐來看，許多教師把恢復計算機原理性的教學內(nèi)容簡單地理解為計算思維教育。例如，有教師把高中基礎模塊“認識圖像”的教學目標設計為“通過對課程的學習，學生能夠理解計算機顯示圖像的原理，掌握以計算機方式表述圖像參數(shù)的基本方法，學會使用PS圖像處理軟件的相關技能，逐步養(yǎng)成以計算機解決問題的思維方式，即計算思維”。且不說在一堂課45分鐘內(nèi)能將“計算機顯示圖像的原理”闡述到什么程度，僅憑“逐步養(yǎng)成以計算機解決問題的思維方式”就認為是計算思維，則是對計算思維的簡單理解。事實上，一線教師也知道計算思維教育不是簡單的計算機原理教學，但苦于缺乏計算思維教育的理論指導和實踐素材，在實際教學中必然會存在一些困難。

從近幾年中小學計算思維教育的研究來看，研究內(nèi)容主要有以下三方面：其一，以文獻綜述為主的計算思維發(fā)展脈絡和概念梳理，提出了計算思維的邏輯能力、算法能力、遞歸能力、抽象能力等解決問題的能力，但卻未涉及計算思維為什么要有這些能力，以及這些能力的具體表現(xiàn)是什么，沒能直接給一線教師的教學提供指導；其二，關于計算思維對信息技術課程的影響研究，闡述的內(nèi)容基本上是正面的，普遍認為“計算思維解決了信息技術課程的學科思維問題”，但很少研究計算思維對應的計算學科與信息技術的關系問題，以及落實在中小學教育的課程內(nèi)容問題；其三，關于信息技術課程中計算思維的挖掘研究，認為計算思維是現(xiàn)有的信息技術課程的內(nèi)在價值，過去沒有被發(fā)現(xiàn)或重視，需要在信息素養(yǎng)培養(yǎng)的框架下深入挖掘，從而豐富信息技術課程的教育內(nèi)涵。顯然這種觀點的狡辯之處在于忽視了需要替換多少課程教學內(nèi)容才能滿足計算思維的挖掘之需，也有意無意地改變了信息素養(yǎng)的內(nèi)涵，其表面上是為信息技術課程的重要性增加砝碼，實際上是混淆了信息技術學科和計算思維的本質(zhì)。

考察上述理論研究與實踐研究，它們有一個共同的特點，都是以現(xiàn)有的信息技術課程實施為起點，以振興或改革信息技術課程為目標，卻鮮有從計算的本質(zhì)、計算學科及計算思維的視角討論計算思維教育在基礎教育中的必要性和可行性。對計算的本質(zhì)及計算思維的學科淵源缺乏理解，必然會影響計算思維的實施。

● 概念：什么是計算

理解計算是研究計算思維教育的邏輯起點，那什么是計算呢？

案例1：小學學習的算術運算，例如，“2+3=5”，是一種簡單的計算，是指數(shù)據(jù)在運算符的操作下，按規(guī)則進行數(shù)據(jù)變換。案例2：初中學習的函數(shù)運算，例如，“f（x）=a*sin（x+x0）+b”，如果已知a和b，把x變成了f（x），也是一種計算。對于這兩種計算，都有運算的對象，即“數(shù)據(jù)”，也有操作的運算符，即“規(guī)則”，也即可以做加法或正弦函數(shù)運算。從小學開始，在數(shù)學課中學習的主要內(nèi)容之一就是各種運算符規(guī)則，有了這些規(guī)則，就可以完成相應的數(shù)值計算了。

現(xiàn)在討論一個稍復雜的問題。案例3：我要從華東師范大學中山北路校區(qū)到浦東金茂大廈，通過電子地圖查找，得出結論：可以在金沙江路乘坐地鐵3號線再換乘2號線到陸家嘴站下。從輸入起始地點，到輸出交通線路，這個過程也是計算。這個例子的計算與前面兩個計算例子的差異主要有三方面：①計算對象的類型不同，前兩個例子的計算對象是數(shù)值，所執(zhí)行的是數(shù)值計算。針對案例3，輸入的是地理位置，計算的結果卻是地鐵線路。②計算的規(guī)則不同，案例1、案例2都是數(shù)學課中學習的運算規(guī)則，包括運算符和運算順序。案例3中所使用的操作主要是比較和判斷，并且其規(guī)則并不是顯性的，也就是說，其計算結果的獲得過程，沒有像案例1和案例2這樣明顯和可以理解。③計算的主體不同，案例1和案例2的主體是人，而案例3則是計算機或數(shù)字地圖軟件系統(tǒng)。從以上三個例子可以發(fā)現(xiàn)，計算的對象可以是具體的數(shù)，可以是一個變量x，也可以是非數(shù)值量的地理位置，這些都屬于廣義的數(shù)據(jù)。如果把計算對象和計算結果用符號串抽象表示的話，就是從已知的符號開始，按預定的規(guī)則，一步一步地改變符號串，經(jīng)過有限步驟，最終得到一個滿足預定條件的符號串的過程。

在關于計算的描述中，可以發(fā)現(xiàn)，有“預定的規(guī)則”“一步一步地”“有限步驟”等關鍵詞。這些關鍵詞在案例1、案例2中用人腦作計算時并不顯得關鍵，因為“預定的規(guī)則”就是數(shù)學課學習的內(nèi)容，肯定是“一步一步”寫運算步驟，并且課堂中出現(xiàn)的題目肯定是可以計算的，是可以在“有限步驟”中完成計算的。在實際教學過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)有些學生并不按照教師教授的步驟完成計算，或跳躍，或另辟蹊徑，也同樣能得到正確的計算結果，而這些學生往往被教師認為是聰明或思維活躍的學生。但是，當計算主體不是人腦而是某一非人類的計算系統(tǒng)時，這些“關鍵詞”就非常關鍵了。所謂“預定的規(guī)則”，說明是人針對特定計算預先編制的；所謂“一步一步地”，則反映了計算系統(tǒng)的自動化屬性；所謂“有限步驟”，則說明計算系統(tǒng)是可以經(jīng)過有限次計算完成的。

再舉若干人類利用工具完成計算的例子。案例4：人們使用算盤完成計算，實際上是兩個因素在起作用：一是物化的算盤，主要的作用是存儲數(shù)據(jù)的中間值和最終結果；二是算盤的運算口訣，這就是運算規(guī)則。案例5：在17世紀，人們就學會了運用對數(shù)將乘法轉(zhuǎn)換為加法以降低計算復雜度的方法，對數(shù)表就是計算工具，這在當時的航海和天文觀察中得到了廣泛的應用，隨后發(fā)明的計算尺也是相同的原理。案例6：計算器是現(xiàn)在常用的計算工具，可以直接進行加減乘除以及更復雜的函數(shù)運算。

這三個例子與案例1一樣，都是數(shù)值計算。不同的是，案例4的運算步驟是由算盤的運算口訣決定的，具有一定的機械計算屬性，但計算主體還是人腦。案例5是把乘法轉(zhuǎn)換成加法和查對數(shù)表，加法是計算，查表也是計算，且計算是可以根據(jù)需要轉(zhuǎn)換的。而案例6中，用計算器完成加法計算，操作者是不需要知道加法規(guī)則或運算口訣的，只需要按鍵輸入，就可以得到運算結果。因此，計算器具有一定的自動化屬性，與案例4不同，使用者根本不需要知道計算器是如何完成計算的。endprint

很累贅地敘述這些實例，只是想說明當計算的主體由人部分地甚至全部變?yōu)橛嬎阆到y(tǒng)的時候，計算規(guī)則是如何呈現(xiàn)與實施的。只有當計算規(guī)則的制定與實施具有機械屬性時，才可以滿足自動化的要求，才涉及計算科學學科的計算思維。當計算的主體是人腦的時候，不適合討論有關計算思維教育的問題，否則在中小學計算思維教育的主要領域應該是數(shù)學課。當計算的主體由人變?yōu)槟硞€機械或電子系統(tǒng)以后，很重要的一點就是自動化和實現(xiàn)自動化的機制。那么如何實現(xiàn)自動化呢？圖靈機就是一個典型的具有自動化屬性的計算模型。

● 核心：計算機科學家的思維

計算思維是使用計算機解決問題的思維方式嗎？關鍵看“使用”是什么意思。受多年來計算機應用軟件操作使用教學慣性的影響，有部分人把計算思維的教學簡單地理解為用計算機解決實際問題。曾看到過這樣一個信息技術課的教學設計，教學生使用某種電子地圖，其教學目標之一是培養(yǎng)學生的計算思維。

事實上，簡單使用電子地圖的人，是不需要計算思維的。否則使用所有電子產(chǎn)品都會涉及計算思維。另一方面，使用傳統(tǒng)的紙質(zhì)地圖，使用者所需要的思維強度明顯比使用電子地圖要高。所以說，學會使用電子地圖，可以說是提升信息素養(yǎng)，但是與培養(yǎng)計算思維是沒有關系的。

計算思維是計算學科的學科思維。通俗地說，具備計算思維的人，應該具備能夠像計算機科學家一樣的思考方式。在了解了什么是計算以后，就可以分析計算機科學家是如何運用計算思維思考問題以至于解決問題的。

問題求解是計算科學的根本目的之一。計算機科學家針對一個需要用計算學科方法解決的問題時，首先思考的是對問題的抽象。建立數(shù)學模型就是通過對現(xiàn)實問題的觀察、歸納、假設，再進行抽象，并將其轉(zhuǎn)換為一個數(shù)學問題。數(shù)學模型是連接數(shù)學和實際問題的橋梁，數(shù)學是工具，解決問題是目的。建立數(shù)學模型的一般步驟是：①對問題進行觀察，研究其運動變化的情況，用自然語言進行描述，初步確定總的變量及相互關系；②確定問題的所屬系統(tǒng)、模型類型以及描述系統(tǒng)所用的數(shù)學工具，提出假說，假說表明了數(shù)學模型的抽象性；③對假說進行擴充和形式化，將問題用數(shù)字、圖表、公式、符號表示出來，經(jīng)數(shù)學的推導，得到定量或定性關系；④根據(jù)現(xiàn)場的實際數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析，形成數(shù)學模型。

其次思考的是問題的映射。客觀世界的問題都是由實體及實體間的相互關系構成的，把客觀世界的實體稱為問題空間或問題對象，世界上各種事物都可以看成對象。運用計算機解決問題就是借助某種語言對計算機世界中的實體施加某種動作，以此動作的結果去映射解，將計算機中的實體稱為解的空間。如果按照人們通常的思維方式來建立問題域的模型，則可以提高現(xiàn)實世界問題域中的軟件模塊化和重用性。軟件開發(fā)過程就是人們使用各種計算機語言將現(xiàn)實世界映射到計算機世界的過程，即現(xiàn)實世界問題域→建立模型→編程實現(xiàn)→計算機世界執(zhí)行求解。

再次思考的是問題求解的算法。解題過程的精確描述可以由有限的、可機械執(zhí)行的、有確定結果的指令或命令構成。算法是解題過程的精確描述，它是利用計算機能夠理解的語言描述解題過程，包括有限多個規(guī)則，并具有自閉的基本特性。算法代表了對問題的解，而程序則是算法在計算機上的實現(xiàn)。

最終，問題求解的實現(xiàn)是利用某種計算機語言編寫該算法的程序，并輸入計算機，計算機按照程序指令要求自動執(zhí)行，并輸出計算結果。

仍以電子地圖為例，作為計算機科學家，要開發(fā)一個電子地圖軟件，首先，需要對現(xiàn)實地圖進行抽象，把地圖上的實際位置用坐標值表示，道路用線條表示，地圖上的其他有用信息也進行相應的量化處理，以便于隨后的計算。當然，也要歸納出基于電子地圖的核心操作是什么。例如，物理定位、最短距離計算等操作。其次，思考是現(xiàn)實世界的道路信息與電子地圖系統(tǒng)中的映射，包括實際的道路、公交線路與經(jīng)抽象的坐標位置、線條形成對應關系，查找公交線路操作與電子地圖系統(tǒng)中實際計算操作的關系等，從而可以將現(xiàn)實世界中有關的地圖信息及操作用形式化的方法表達。最后，就是運用計算科學的方法設計相關算法，并編寫相關程序代碼使之實現(xiàn)。

當然，這里只是勾勒出一個大致的系統(tǒng)開發(fā)過程，實際的開發(fā)要復雜得多，但也反映出計算機科學家的思考過程，這一思考過程滲透著計算思維。這是在計算科學的層面上用計算機解決問題，或者說計算機并不解決問題，它們只是執(zhí)行解決方案。

對于普通使用者來說，運用電子地圖，輸入起始位置和目的地位置，電子地圖就可以給出參考的交通線路，或提供導航等功能。這也是應用計算機解決問題，但這一層面上的解決問題與使用是否掌握計算科學知識毫無關系，這也是電子地圖開發(fā)者的目標之一。

作為計算機科學家，他也會像普通人一樣使用電子地圖。但如果他首次使用電子地圖，或者面對一個成熟的計算機產(chǎn)品，一定會有一些與普通使用者不一樣的、基于計算科學的、出于好奇心的思考，設想該系統(tǒng)的數(shù)學模型，猜測該系統(tǒng)的核心功能和主要算法，并通過一些參數(shù)的輸入來測試與驗證自己的猜想。這就是一個具有計算思維的人的特征。

● 路徑：抽象、形式化表達、構造、自動化

計算思維是一種解決問題的思維。在解決問題中是否體現(xiàn)計算思維并不是以是否使用了計算機作為判斷依據(jù)，而應該看是否運用了計算科學的學科思維和方法。使用電子地圖進行交通導航并不體現(xiàn)計算思維，而使用程序設計的一些常用算法思想來安排日常生活，同樣也則體現(xiàn)了計算思維。

既然計算思維是一種解決問題的思維，那么讓學生體驗解決問題的過程應該是培養(yǎng)學生的計算思維的一種路徑。所以，在許多本科階段的計算機教育中，通過運用計算科學的學科思維和方法解決問題，這是實現(xiàn)計算思維教育的途徑之一。針對中小學生培養(yǎng)計算思維，顯然會受到計算學科知識的制約。沒有掌握很復雜的計算機原理，如何實現(xiàn)計算思維教育？這里還需要回到計算思維的本質(zhì)。

周以真教授提出計算思維的本質(zhì)是抽象（Abstraction）與自動化（Automation）。這個用2A描述的本質(zhì)很規(guī)整，也反映了計算學科的基本事實，因為抽象是計算機要表達現(xiàn)實世界的基本手段，自動化是計算機最根本的特性。那么抽象與自動化之間是什么關系呢？endprint

回顧一個計算機科學家解決計算問題的思考以及操作過程，需要將解決的問題抽象與歸納，抽象操作的輸出就是形式化表達。例如，一伙朋友一起聚餐，最后AA制結算。對于這一問題的解決，首先需要的操作就是抽象，把每個菜的單價、聚餐的人數(shù)等要素提煉出來，而菜的色、香、味等要素則忽略，再提煉出計算的公式，即菜價求和除以人數(shù)，得出每個人的花費。這一過程就是抽象的過程，也是數(shù)學建模的過程，最后輸出的公式可以用變量、數(shù)值、運算符等符號串來表達。

表達是將思維所得的成果用語言、語音、語調(diào)、表情、動作等方式反映出來的一種行為。表達以交際、傳播為目的，以物、事、情、理為內(nèi)容，以語言為工具，以聽者、讀者為接收對象。而形式化表達，則不同于日常語言，需要去除自然語言含糊多義的缺點，運用形式化的方法表達科學化、準確化、嚴格化，而編程就是形式化表達的一種形式。

在形式化表達中，形式化方法在數(shù)學、計算機科學、人工智能等領域得到廣泛運用。它能精確地揭示各種邏輯規(guī)律，制定相應的邏輯規(guī)則，使各種理論體系更加嚴密，同時也能正確地訓練思維，提高思維的抽象能力。

從形式化表達到自動化，其中最關鍵的一步就是構造。自動化是計算思維的重要屬性，系統(tǒng)實現(xiàn)自動化的基本原理就是有限狀態(tài)的自動化，即一步一步地執(zhí)行預設的命令，完成計算。

所謂構造，就是尋求一種結構化的方法，得到一個滿足已知要求的證明，并且能從此證明中，給出一個機械方法，使其經(jīng)過有限步驟后，能得到滿足性質(zhì)的結果。簡單地說，就是能夠具體地給出某個滿足要求的對象，或者給出某個對象的計算方法。例如，一元二次方程的求根公式，通過的求根公式，不僅能夠證明是否存在實數(shù)解，還能按部就班地求出相應的解。而對應的非構造性，往往能夠證明結果成立，但并不能給出獲得結果的機械步驟。例如，著名的羅爾中值定理就是一種存在性證明，可以證明在指定區(qū)間內(nèi)存在某一點的函數(shù)值為零，但并不能確定哪一個坐標點。在計算機科學中，構造需要解決客觀世界問題到計算機解決問題空間的映射；構造需要形成問題求解的算法；構造還需要完成一條條有序的命令序列。

如果說，計算思維是一種解決問題的思維方式，那么這種思維方式形成的解決問題的方法是具有自動化屬性的，或者說，是在分解成若干個有限步驟以后肯定可以實現(xiàn)的，或者說是構造性的。如果說計算思維的本質(zhì)是抽象與自動化，那么自動化是結果，抽象是方法，抽象的目標是為了自動化，但從抽象不能直接到達自動化。抽象→形式化表達→構造→自動化，形成了計算思維的方法路徑。

● 目標：體現(xiàn)計算思維教育的學習內(nèi)容特征

計算思維是計算學科的學科思維。通俗地說，具備計算思維的人應該是具備能夠像計算機科學家一樣的思考方式。把人腦的計算過程表達出來，用非人腦的裝置來實現(xiàn)計算，是一件很有挑戰(zhàn)性的工作。計算思維一定是人腦的思維，是人腦對計算、計算規(guī)則與過程以及計算裝置的概括和間接的反映。

計算思維的教育與培養(yǎng)，重點不是在體驗自動化，而是在如何構造自動化，也就是在于抽象、形式化表達以及構造等形成自動化目標的各種環(huán)節(jié)上。在中小學開展計算思維教育，面臨著學習者關于計算學科基礎知識匱乏的困境。相對而言，編程學習需要的學科基礎知識比較少，起點低，中小學生更容易接受，是一個適合中小學開展計算思維教育的載體。同時，在中小學開展編程學習，目前有比較多的人機交互友好的編程平臺可供選擇。更重要的是，程序設計是一個作品創(chuàng)作的過程，這個過程涵蓋了“抽象→形式化表達→構造→自動化”這一形成計算思維的方法路徑。

信息技術課程的發(fā)展研究與計算思維教育在中小學實施的研究，從原理而言是兩條線索，有交集，但不是簡單地用一條線索覆蓋另一條線索。多年以來，信息技術課程的特征是以人為中心，關注的是人使用計算機，焦點是運用計算機及一系列的應用軟件來構建一套解決方案。而計算機學科則是以計算為中心，關注的是計算如何通過計算機系統(tǒng)來落實的。計算思維教育，應該讓計算成為一面“鏡子”，通過對計算的認識，我們可以用一種新的思維方式理解自然世界、計算機世界以及思想。信息技術課程一旦成為中小學開展計算思維教育的主要渠道，如何讓課程內(nèi)容具備計算思維教育的特征就成為一個很有挑戰(zhàn)性的課題。endprint