北京北方長城光電儀器有限公司 徐衛(wèi)星

靜態(tài)中立體帶電導(dǎo)體電荷分布概率的計算及趨膚效應(yīng)的詮釋

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為了能夠了解導(dǎo)體內(nèi)電荷的分布概況,利用麥克斯韋方程組中電場積分式,令其電場強度與閉環(huán)回路(或封閉空間)的積分和為零的理念,建立坐標(biāo)模型和數(shù)學(xué)模型進行運算求得分布概率結(jié)果所采用的一種方法。

麥克斯韋方程積分式；庫侖定律；導(dǎo)體內(nèi)電場強度處處為零；電荷分布概率；趨膚效應(yīng)

引言

上兩篇論文闡述了對線性帶電導(dǎo)體電荷分布概率的計算方法(發(fā)表在《電子技術(shù)與軟件工程》2016年16期第138頁 國際刊號ISSN 2095-5650)和對平面帶電導(dǎo)體電荷分布概率的計算方法(發(fā)表在《電子世界》2017年9月期刊 國際刊號ISSN 1003-0522)本次繼續(xù)論述關(guān)于立體導(dǎo)體電荷分布概率的計算。

1.為了更好地描述這種方法先闡述幾個基本概念

1.1 立體分割：將帶電導(dǎo)體分割成n×m×l多個邊長為2△正方形小塊體。

1.2 中心電荷條（線）：將條狀帶電體分割成n×m多個邊長為2△條形狀。

1.3 單端電源：導(dǎo)體一端或兩端與具有電勢（位）單電源體的連接。（會形成電荷的靜態(tài)分布）

1.4 雙端電源：導(dǎo)體兩端與具有不同電勢（位）兩個電源體的連接。（會形成電流）

1.5 多端電源：導(dǎo)體多處與兩個以上具有不同電勢（位）多個電源體的連接。（會形成電流）

1.6 趨膚時間Th：從電開通到形成電密度一致均勻電流的時間。

1.7 外電場：除導(dǎo)體自身電荷作用以外其它電源電場的作用。

1.8 外層面：帶電導(dǎo)體相對于外電場力方向所有垂直平面的邊緣環(huán)線。

2.證明論述

2.1 計算方法：將任意立體的帶電導(dǎo)體分割出n×m×l多個小正方體。(一般邊長是2△的正方體)將n×m×l多個凡是存有電荷小正方體中的電荷量，集中在選定的各自小正方體中的中心電荷點處。n×m×l多個中心點電荷的相互電場力可利用庫侖定律建立函數(shù)關(guān)系。再經(jīng)過合力分解方法轉(zhuǎn)化為三條互相垂直的線性上，令其處處為零。解出各小正方體的電荷量，從而求得各自密度值。

2.2 計算步驟：在任意立體的帶電導(dǎo)體中任意分割出厚為2△的片，在片上任意分割二條垂直于片平面間距為2△的平行面，在二平行面中取n多個邊長2△的正方體，左右外延直至導(dǎo)體的邊緣。將二平行面以同樣方法前后外延m多個平行面，直至導(dǎo)體的邊緣，將片平面以同樣方法上下外延直至導(dǎo)體的邊緣。并取得n×m×l個邊長2△的正方體。在含有導(dǎo)體的小正方體中心確定中心電荷點。（因?qū)w往往處于不規(guī)則形狀，會有小正方體中沒有導(dǎo)體存在）利用庫侖定律建立出每個中心電荷點相互作用力的關(guān)系，并分解為水平縱向分量、水平橫向分量和垂直分量。建立測試點使其各自為零。推算出各個電荷量，便求得電荷分布概率。即：

式中ρijk為電荷體密度，Qijk為中心電荷點電量，V為導(dǎo)體體積。

2.3 可行性論證：在立體導(dǎo)體中任取一個分割小體積，此處為某一小正方體。如圖1當(dāng)求得測試點q1、q2、q3、…q12、都為零時q0測試點處必為零。其它小正方體具有同理。而當(dāng)n→∞，m→∞，l→∞，△→0時，因?qū)w是連續(xù)、電荷分布是連續(xù)，所以任意點處在平衡狀態(tài)下是無電場力和電荷移動的存在，任何閉環(huán)的積分必為零。

圖1

3.舉例

為了更好地理解這種方法，下面舉幾個簡單而有特性的例子。

3.1 扁正方體帶電導(dǎo)體

3.1.1 環(huán)境與條件：

一塊邊長為4△×6△×6△的正方體帶有QS電量的導(dǎo)體，在沒有任何電磁場干擾的理想情況下計算電荷分布概率。

3.1.2 闡述：

將帶有電荷導(dǎo)體分割為n=3，m=3，l=2，邊長為2△的18個小正方體。如圖2,其中Q111、Q112、Q113、Q121、Q122、Q123、Q131、Q132、Q133、Q211、Q212、Q213、Q221、Q222、Q223、Q231、Q232、Q233為中心電荷點，q111y、q112y、q121y、q122y、q131y、q132y、q211y、q212y、q221y、q222y、q231y、q232y為水平橫向測試點，q111x、q112x、q121x、q122x、q131x、q132x、q211x、q212x、q221x、q222x、q231x、q232x為水平縱向測試點。

Q11z、q12z、q13z、q21z、q22z、q23z，q31z、q32z、q33z為垂直測試點。

例如：Q111對測試點q132y的電場作用力根據(jù)庫侖定律為：

（K為庫侖常量，q為測試點電量，Q111為中心電荷點電量，r為Q111與q132y的距離），即：

其水平分量為：

以此類推。

3.1.3 圖例：

為了觀察清晰只畫一部分

圖2

3.1.4 根據(jù)圖示和運算方法建立數(shù)學(xué)模型：

3.1.5 運算結(jié)果：約去△、K、q解得：

3.2 柱形體帶電體：

3.2.1 環(huán)境與條件：有一條4△×6△長度很長的柱形帶電導(dǎo)體。在沒有任何電磁場干擾的理想情況下，為了便于計算在柱狀導(dǎo)體軸向上只取2△長度中存儲電荷量QS0來加以計算，進行密度的相對比較。

3.2.2 闡述：如圖3，從第一篇論文中可知非常大平面導(dǎo)體其中部電荷密度值是一樣的，因此可以認為在很長的柱狀導(dǎo)體中軸向方向每條平行條上電荷密度是一致的。而徑向長度只有4△和6△長,所以徑向電荷會有很大的變化。在此將柱狀帶電導(dǎo)體分割為n=3，m=2條邊長2△×2△條狀體,建立6個中心電荷條（線）ρQi(i=1、2、3、4、5、6)和7個測試點q14、q25、q36、q12、q23、q45、q56，l為測試點到中心電荷條的距離，A為測試點到電荷點dQi的距離，ρQi為中心電荷條的密度。

由于軸向電荷密度一致，將中心電荷點改用中心電荷條，采用積分的方法將條上各個電荷點對測試點的電場徑向作用力進行積分并令其各個為靜態(tài)，可求得電荷分布概率。

對于中心電荷條上每個電荷點ρQi2△dt(i=1、2、3、4、5、6)對測試點q的徑向作用力為：

將(3-2)代入(3-1)得：

對式(3-3)進行2倍0-90度的積分。

3.2.3 圖例：

圖3

3.2.4 根據(jù)圖示和運算方法建立數(shù)學(xué)模型：

3.2.5 運算結(jié)果：約去△、K、q，解得：

3.3 球形帶電體：

如圖4在球形靜態(tài)導(dǎo)體中任取一點A，在過A點直徑的切平面上電場力為零時，必然存在這么一種情況，在球內(nèi)有無數(shù)個相對于此直徑的對稱點，其對稱點中的電荷密度分別必相等。在此條件下必然存在切面方向的靜態(tài)平衡。而當(dāng)某一趨近于此直徑的對稱點如B、C兩點若Qb點要等于Qc則ρb必等于ρc。(導(dǎo)體為連續(xù)的電荷分布也是連續(xù)的)由于對稱性的球形，直徑與B、C兩點可存在于以圓心為軸心的任何球內(nèi)地方，所以同半徑的球形曲面中的電荷密度是相等的。也同時證明此直徑的所有對稱點的電荷密度也是分別相等的。而直徑方向電荷密度的變化在上一篇論文圓平面的計算證明邊緣密度大于中心的，同樣球表面的電荷密度也是大于球心的，由于球體計算十分復(fù)雜這里就不闡述了。

圖4

4.對趨膚效應(yīng)的詮釋

在外電場開始作用的瞬間，由于靜態(tài)平衡導(dǎo)體外層面的電流密度必定很大，而中心會很小。而雙端源兩個端頭的電勢不同，電荷密度的分布會有很大的差異，而帶電導(dǎo)體根據(jù)自身所帶容余電荷的不同（或是電子或是空穴）使其端頭的邊緣、中心與雙源兩端頭邊緣、中心產(chǎn)生不同電勢差，而且會使一端電勢差比另一端要大（或?。┨貏e是在外層面上，在極短的時間內(nèi)使得導(dǎo)體外層面流入流出的電荷量大但不相等。這會使外層面的電荷密度下降，當(dāng)最外層面的電荷密度下降到與次外層電荷密度一樣時，最外層面的電荷與次外層電荷會產(chǎn)生共同變化。成為導(dǎo)體內(nèi)電流密度最大、流入流出此層面電荷差值最大，電荷密度下降最快。同樣繼續(xù)達到更次外層面電荷密度后又與更次外層面電荷共同變化，依此類推。外層面電流厚度逐漸增加直到與中心電荷密度相同。電流才均勻分布在整個橫截面上。

這個過程再快也是需要時間。如果是直流或低頻交流即周期T＞Th時導(dǎo)體會成為均勻的電阻體，而當(dāng)T≤Th時只有外層面和其它次外層面成為導(dǎo)體。（即不均勻的電阻體）當(dāng)T〈〈Th導(dǎo)體會成為非常非常薄外層面的導(dǎo)電體。

在變化過程中會不會產(chǎn)生靜態(tài)分布狀態(tài)?答案是不會的。因為在外電場力作用下無法產(chǎn)生。如圖5，當(dāng)A區(qū)域電荷在垂直外電場力的平面上移到B區(qū)域，使B區(qū)域電荷密度高于周圍區(qū)域時，很快在外電場力作用下使的流進B區(qū)域電荷少于流出的量。直到B區(qū)域電荷密度與周圍區(qū)域一樣為止。A區(qū)域也是同樣道理。

圖5

當(dāng)雙端電源為交流時，兩端電勢的高低是交替互換的，當(dāng)兩端電勢差為零時，會形成單端效果即導(dǎo)體形成靜態(tài)分布狀態(tài)。周而復(fù)始，產(chǎn)生了趨膚效應(yīng)的機理。

5.結(jié)束語

通過上述的論證得到了以下結(jié)果：

5.1 帶電導(dǎo)體中心與表面的電荷密度值是不相等的，離中心區(qū)域越遠密度越高。

5.2 處于靜態(tài)平衡的帶電導(dǎo)體，由于電荷密度分布不均勻，在其內(nèi)部不同位置形成的電勢（位）也不同。

5.3 從不同的角度詮釋了趨膚效應(yīng)，同樣也在驗證此論證推理的實際效果。

有不對之處請多指正。

[1]迪派克(Dipak,L．S)唯迪斯(Valdis,V．L)著;沈遠茂等譯．應(yīng)用電磁學(xué)與電磁兼容[M]．北京:機械工業(yè)出版社,2009．

[2]汪泉弟,張淮清．電磁場[M]．北京:科學(xué)出版社,2013．

[3]張洪欣,沈遠茂,韓宇南．電磁場與電磁波[M]．北京：清華大學(xué)出版社,2013．

[4]付云起,張光甫,莫錦軍,吳微微．天線理論與工程[M]．北京:電子工業(yè)出版社,2015．

徐衛(wèi)星（1957-），高級工程師，主要研究方向：電氣測量。