杜海堂,張榮興

(江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

空間3-RPC柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)*

杜海堂,張榮興

(江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

為了獲得空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型,基于傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)原型，采用拓?fù)鋬?yōu)化理論對(duì)空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。首先，以空間3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立機(jī)構(gòu)的微運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量連續(xù)映射Jacobian矩陣。然后，建立空間3-RPC柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化SIMP模型，運(yùn)用優(yōu)化準(zhǔn)則算法(Optimization Criterion)對(duì)所建立的SIMP模型求解。最后，運(yùn)用曲線擬合方法對(duì)拓?fù)浜蟮臉?gòu)型輪廓進(jìn)行擬合修正，采用SolidWorks 軟件建立其擬合修正后的模型，進(jìn)而通過HyperWorks有限元軟件對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析。仿真結(jié)果表明：與同構(gòu)型的傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，拓?fù)鋬?yōu)化后的空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有相同的微動(dòng)特性，因而驗(yàn)證了空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

3-RPC柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)；微運(yùn)動(dòng)矢量映射；拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)；靜力學(xué)仿真

0 引言

精密制造是衡量一個(gè)國家制造水平高低的重要標(biāo)志，目前，精密制造行業(yè)已經(jīng)在航空航天、汽車、微機(jī)電系統(tǒng)、醫(yī)療等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1]。隨著科技的發(fā)展，空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)也在不斷地發(fā)展，對(duì)其要求也在不斷的提高。同時(shí)，面臨的挑戰(zhàn)和機(jī)遇也越來越多。從當(dāng)前國內(nèi)外發(fā)展情況來看，現(xiàn)階段對(duì)自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究相對(duì)而言比較少，而對(duì)二維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究相對(duì)比較成熟，三維結(jié)構(gòu)主要集中在構(gòu)件結(jié)構(gòu)的研究上面，仍處于發(fā)展階段[2]。饒柳生等[3]以車床筋板為載體，使用多目標(biāo)優(yōu)化加權(quán)的設(shè)計(jì)理念對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì)，提高了機(jī)床的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能，但沒有研究車床筋板在多階固有頻率下的特性。陳建超等[4]以載荷路徑的遺傳算法為基礎(chǔ)，為了達(dá)到機(jī)翼輕量化設(shè)計(jì)的目標(biāo)，分別從單一材料和復(fù)合材料的角度出發(fā),對(duì)機(jī)翼前緣進(jìn)行優(yōu)化，但是多材料組合形式機(jī)翼的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模非常復(fù)雜。劉林華等[5]以越野車車架為載體，采用多目標(biāo)方法對(duì)越野車車架進(jìn)行研究，但是平均頻率法建模只能近似地反映車架的運(yùn)動(dòng)性能。與成熟的二維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化相比，三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化還處在發(fā)展階段，具有一定的難度和挑戰(zhàn)。再加上空間并聯(lián)機(jī)器人因其具有精度高、剛度大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等特點(diǎn)，在實(shí)際生產(chǎn)中有廣闊的應(yīng)用前景，如：微操作機(jī)器人、虛擬軸機(jī)床以及用于精密裝配的機(jī)械手等[6-8]。為了更好地將拓?fù)鋬?yōu)化方法與空間并聯(lián)機(jī)器人相結(jié)合，以改善空間并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性和動(dòng)態(tài)性能。本文主要基于機(jī)構(gòu)的輸入輸出矢量連續(xù)映Jacobian矩陣，并結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化方法[9]對(duì)空間3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，將拓?fù)鋬?yōu)化后的構(gòu)型與傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析和對(duì)比，仿真結(jié)果表明無論是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)還是運(yùn)動(dòng)精度，空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)均比傳統(tǒng)的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)更具有優(yōu)越性，并定量證明了拓?fù)鋬?yōu)化方法的合理性和可行性。

1 機(jī)構(gòu)的矢量連續(xù)映射Jacobian矩陣

1.1 3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

3-RPC是對(duì)稱形式的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)定平臺(tái)以三條支鏈的形式相連接，其每條支鏈含有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R，一個(gè)移動(dòng)副P和一個(gè)圓柱副C。R副與定平臺(tái)相連，C副與動(dòng)平臺(tái)相連，P副連接著R副和C副。動(dòng)定平臺(tái)由兩個(gè)等邊三角形△abc和△ABC組成。分別在模型的動(dòng)定平臺(tái)建立坐標(biāo)系o-xyz和O-XYZ,o和O分別是動(dòng)定平臺(tái)的中心。其中，動(dòng)定平臺(tái)的邊長分別為m和n，驅(qū)動(dòng)桿的長度為l,支鏈與定平臺(tái)的夾角為φi。

圖1 3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

1.2 矢量連續(xù)映射Jacobian矩陣求解

對(duì)于多自由的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可采用螺旋法求解其輸入輸出的Jacobian矩陣。但是對(duì)于少自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，螺旋法得到的矩陣往往不是方陣，且不能避免計(jì)算過程中求解超越方程組的問題。應(yīng)用微運(yùn)動(dòng)法求解Jacobian矩陣，無需求解超越方程組，所得到的Jacobian矩陣為非奇異方陣，可以直接作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿真系統(tǒng)的理論參考輸入值。微運(yùn)動(dòng)法的基本思想為：當(dāng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度α,β,γ或者移動(dòng)的距離dx,dy,dz較小時(shí)，下列等價(jià)形式成立：

(1)

式中：δv表示α,β,γ,dx,dy,dz及其高階量。

假設(shè)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系的x,y,z軸相對(duì)于定平臺(tái)分別轉(zhuǎn)動(dòng)了γ,β,α以及平移了dx,dy,dz，根據(jù)靜坐標(biāo)系變換原則，可得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣Rα,β,γ和平移變換矩陣Ttrans。

其中，c()=cos(),s()=sin()，下同。

綜上，可得到齊次坐標(biāo)變換矩陣：

定平臺(tái)各個(gè)鉸鏈中心a,b,c在O-XYZ中的坐標(biāo)向量為：

動(dòng)平臺(tái)各個(gè)鉸鏈中心A,B,C在o-xyz中的坐標(biāo)向量為：

根據(jù)齊次變換矩陣T，由公式P′=TP可得動(dòng)平臺(tái)各個(gè)鉸鏈中心a,b,c旋轉(zhuǎn)變換后在O-XYZ中的齊次坐標(biāo)向量如式(1)所示。由于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要實(shí)現(xiàn)的是沿x軸，y軸和z軸的平移，所以將機(jī)構(gòu)沿x軸的平移dx，沿y軸的平移dy和沿z軸的平移dz作為機(jī)構(gòu)的輸出量。根據(jù)dx,dy,dz求解各桿的桿長變化，并將其作為機(jī)構(gòu)的輸入量。

將機(jī)構(gòu)的所有參數(shù)寫入Matlab的m文件中，編寫求解桿長變化量和輸入輸出矢量連續(xù)映射關(guān)系的Jacobian矩陣程序。通過Matlab計(jì)算各桿長的變化量，可得到Δli與dx,dy,dz之間的關(guān)系，其齊次坐標(biāo)形式如式(2)所示。

(2)

2 空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 SIMP優(yōu)化模型的建立

材料的構(gòu)成與結(jié)構(gòu)單元屬性之間的映射關(guān)系主要是由材料的插值模型體現(xiàn)，不同的材料插值模型會(huì)產(chǎn)生不同形式的優(yōu)化結(jié)果[10]，從而對(duì)最終的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)產(chǎn)生不同的影響。本文選擇SIMP插值模型對(duì)全柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。SIMP插值模型如下：

(3)

根據(jù)螺旋和反螺旋原理可知，三自由度的空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在三個(gè)輸出量。為了達(dá)到承載能力更強(qiáng)的目的，以柔度最小為目標(biāo)函數(shù)、以體積最小為約束條件和以質(zhì)量作為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行設(shè)計(jì)，以SIMP材料插值法為前提提出并建立空間三自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜態(tài)柔度拓?fù)鋬?yōu)化模型：

(4)

式中：c(x)，U，u0，F(xiàn)，K，k0，f，V(x)，V0,N分別代表三維結(jié)構(gòu)的整體柔度、整體位移矩陣、單元位移矩陣、整體力矩陣、整體剛度矩陣、單元初始剛度矩陣、約束體積比、優(yōu)化后體積、優(yōu)化前結(jié)構(gòu)初始體積、離散總單元數(shù)，xmin和xmax分別代表優(yōu)化過程中的最小密度和最大密度值。

2.2 優(yōu)化模型求解

由于空間三自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問題屬于單目標(biāo)、單約束問題，通過分析比較，可知優(yōu)化準(zhǔn)則法(OC)更適合優(yōu)化求解，因此本文選擇OC算法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行更新迭代，公式如下所示：

式中：Ve為單元的第k步迭代體積。Λ(k)為體積約束下第i步迭代的Lagrange乘子，其采用雙向凸線性規(guī)劃法的更新準(zhǔn)則。

3 拓?fù)鋬?yōu)化模型仿真

對(duì)建立的空間3-RPC柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浞治?。具體參數(shù)設(shè)置如下: 將設(shè)計(jì)區(qū)域及非設(shè)計(jì)區(qū)域材料均定為鋼材，實(shí)體部分的彈性模量為205GPa,泊松比為0.3,優(yōu)化體積比為0.3,最小過濾半徑設(shè)置為1.5，最小離散網(wǎng)格大小設(shè)置為1.5mm，輸入力大小為F1=F2=F3=1000N。分別對(duì)空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行約束邊界條件的設(shè)置、力的加載設(shè)置、網(wǎng)格劃分設(shè)置以及優(yōu)化條件設(shè)置，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，以柔度最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，密度為設(shè)計(jì)變量，對(duì)空間機(jī)構(gòu)的體積進(jìn)行約束，選取體積約束比為0.3，對(duì)3-RPC柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，初始設(shè)計(jì)分析及設(shè)計(jì)工況如圖2所示。

圖2 3-RPC型并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿真設(shè)計(jì)模型

其中：粉色表示非設(shè)計(jì)區(qū)域，即壓電陶瓷預(yù)留安裝區(qū)及向其四周擴(kuò)散的6mm區(qū)域，綠色表示設(shè)計(jì)區(qū)域(即優(yōu)化區(qū)域)，紅色表示加載的驅(qū)動(dòng)力，藍(lán)色表示所設(shè)計(jì)的約束，分別對(duì)動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)進(jìn)行約束并將動(dòng)平臺(tái)設(shè)置成統(tǒng)一的剛性體。

以所設(shè)計(jì)的工況為基礎(chǔ)，在OptiStruct中對(duì)3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，得到拓?fù)鋬?yōu)化后的新構(gòu)型，在Hyperview中對(duì)其密度云圖進(jìn)行察看，得到迭代曲線如圖3所示，優(yōu)化后的構(gòu)型如圖4所示。

圖3 目標(biāo)函數(shù)與迭代次數(shù)變化關(guān)系圖

圖4 拓?fù)鋬?yōu)化后的結(jié)構(gòu)密度云圖

從圖3觀察可以得出：隨著迭代次數(shù)的增加，優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果逐漸趨于穩(wěn)定趨勢(shì)，到第九步的時(shí)候已成穩(wěn)定趨勢(shì)，基本完成優(yōu)化構(gòu)型，到第十五步的時(shí)候已經(jīng)滿足迭代精度要求，優(yōu)化結(jié)束。將閥值設(shè)定為0.5，在有限元軟件中查看優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)，如圖5所示。

圖5 閥值為0.5的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)

從圖5觀察可以得出：將其優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)作為重新建立三維模型的參考依據(jù)， 然后進(jìn)行輪廓擬合和邊界光順處理并將其在Ossmouth中導(dǎo)出，保存為IGS格式并導(dǎo)入Solidworks軟件中，建立空間三自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維實(shí)體模型，如圖6所示。

圖6 柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)體模型

4 靜力學(xué)分析

對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化后的3-RPC空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析。首先，在Solidworks中對(duì)其進(jìn)行三維模型的建立，并以STEP格式保存。其次，將STEP格式的三維模型導(dǎo)入Hyperworks中，分別進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分、材料屬性的賦予、控制卡片的選擇、邊界條件的設(shè)置以及力的加載。最后，力的加載設(shè)置和約束條件為工況的前提下，在Radioss中對(duì)其進(jìn)行靜力學(xué)分析。通過Hyperview觀察3-RPC空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿真結(jié)果，并將機(jī)構(gòu)的仿真結(jié)果和矢量映射關(guān)系計(jì)算所得出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。機(jī)構(gòu)X,Y,Z三個(gè)方向的位移云圖如圖7～圖9所示。

設(shè)置動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)的初始設(shè)計(jì)條件定為正三角形，邊長分別為75mm,75mm,150mm，驅(qū)動(dòng)邊與定平臺(tái)夾角設(shè)為φ=75°，輸入分別設(shè)為dx=5.3×10-3mm,dy=2.4×10-2mm,dz=-3.43mm。通過式(2)可以得出機(jī)構(gòu)在X,Y,Z三個(gè)方向上的輸出結(jié)果分別為Δl1=1.30×10-3mm,Δl2=-8.99×10-2mm,Δl3=9.01×10-2mm，轉(zhuǎn)動(dòng)均值為0°，理論值與仿真結(jié)果對(duì)比如表1所示。

圖7 X方向位移云圖

圖8 Y方向位移云圖

圖9 Z方向位移云圖

表1 理論值與仿真值對(duì)比

從表1對(duì)比可知：①拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法所設(shè)計(jì)出的新3-RPC柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)在X、Y、Z三個(gè)方向可以達(dá)到微米級(jí)的位移精度；②理論計(jì)算所得的參數(shù)與優(yōu)化設(shè)計(jì)仿真所得到的參數(shù)在同一個(gè)數(shù)量級(jí)上。因此，以上可驗(yàn)證采用拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)得到的空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)是可行有效的。

5 總結(jié)

本文分析了3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入輸出之間的矢量連續(xù)映射關(guān)系，在此基礎(chǔ)上建立了空間柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的SIMP 拓?fù)鋬?yōu)化模型，并運(yùn)用 OC 算法對(duì)所建立的模型進(jìn)行求解。通過曲線擬合方法對(duì)拓?fù)浜蟮臉?gòu)型輪廓擬合修正并建立其三維實(shí)體模型。運(yùn)用HyperWorks有限元軟件對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析，結(jié)論如下：

①在相同載荷輸入的條件下，與同構(gòu)型的傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，拓?fù)鋬?yōu)化后的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有相同的運(yùn)動(dòng)特性，驗(yàn)證了基于微運(yùn)動(dòng)矢量映射Jacobian矩陣拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。②拓?fù)鋬?yōu)化得到的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有微動(dòng)特性，可達(dá)到微米級(jí)的位移精度。

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(編輯李秀敏)

OptimizationDesignfortheSpatial3-RPCCompliantParallelMechanism

DU Hai-tang，ZHANG Rong-xing

(School of Mechanical and Electrical Engineering, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou Jiangxi 341000, China)

In order to get the spatial compliant parallel mechanism, based on the design prototype of parallel mechanism topology optimization design was carried out by using topology optimization theory. Firstly, based on the spatial 3-RPC parallel mechanism, the differential continuous vector mapping relationship between the compliant parallel mechanism and the traditional parallel mechanism was established. Secondly, the topology optimization SIMP model of spatial 3-RPC compliant parallel mechanism was established, and the model was solved by using the optimization criterion algorithm. Finally, based on the curve fitting method, the whole configuration profile was fitted and by using SolidWorks software the 3D model was established, and then the static simulation analysis and comparison were presented based on finite element software. The simulation results show that the spatial compliant parallel mechanism after topology optimization and the traditional parallel mechanism have the same movement characteristics, which qualitatively verified the effectiveness of the topology optimization method for the spatial parallel mechanism.

3-RPC compliant parallel mechanism; micro-motion vector mapping; topology optimization design; static simulation

TH112；TG659

：A

1001-2265(2017)09-0031-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.09.009

2016-11-24；

：2016-12-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51165009, 51105077);中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013M541874)

杜海堂(1989—)，男，江西贛州人，江西理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合及其智能控制，(E-mail)1477802269@qq.com。