安然，王敏，梁新剛

（中國空間技術(shù)研究院 通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 100094）

基于不變流形的地-月L2點轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設(shè)計

安然，王敏，梁新剛

（中國空間技術(shù)研究院 通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 100094）

在地-月L2點月球中繼衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移設(shè)計中，采用高比沖、小推力的電推進器可以大大增加衛(wèi)星的有效載荷比，但會增加軌道設(shè)計的難度?；诘厍騁EO軌道為初始軌道，地-月L2點的halo軌道為目標軌道，通過最優(yōu)控制中的混合法及平動點軌道的不變流形，研究了作為拓展任務(wù)的利用地月系統(tǒng)不變流形的小推力變軌方案，可以有效簡化轉(zhuǎn)移的軌道設(shè)計。仿真結(jié)果表明：得到了任意推力情況下最節(jié)省推進劑燃料的推力方向控制方案，對月球中繼衛(wèi)星的軌道設(shè)計及其平動點軌道設(shè)計具有工程意義。

電推進；最優(yōu)控制；混合法；小推力；平動點

0 引 言

位于平動點附近的周期或擬周期軌道可為多種探測任務(wù)或中繼通信任務(wù)提供良好的工作場所。地-月L2的（擬）周期軌道是為位于月球背面的探測衛(wèi)星提供通信中繼的最佳場所。由于月球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)速度相同，月球背面始終處于對地不可見的陰影區(qū)域。而地-月L2點位于地-月連線，并且一顆星可以實現(xiàn)對月球背面平均87.6%區(qū)域的覆蓋。無論是通信衛(wèi)星壽命末期進行的試驗拓展任務(wù)，或是基于月球背面探測器的中繼需要，研究從GEO軌道出發(fā)到地-月L2點的轉(zhuǎn)移軌道都是必要的。

電推進技術(shù)通過電能驅(qū)動工質(zhì)高速噴出獲得推力，具有高比沖、低推力和長壽命等特點[1-3]。目前越來越多的地球靜止軌道衛(wèi)星開始配置電推力器執(zhí)行軌道轉(zhuǎn)移及位置保持等任務(wù)。全電推衛(wèi)星的有效載荷質(zhì)量比采用傳統(tǒng)化學推進劑的有效載荷質(zhì)量比高，故而在位于GEO的通信衛(wèi)星壽命末期，可以考慮進行深空拓展任務(wù)，以完成短時期的探測任務(wù)或是深空探測試驗驗證任務(wù)。

目前國際上尚未利用電推進進行平動點探測的衛(wèi)星任務(wù)，這主要是由于雖然利用電推進器可以增加有效載荷比，但卻使得軌道任務(wù)設(shè)計的難度大大增加。并且地-月系統(tǒng)相較于日-地系統(tǒng)而言，地球處于圓形限制性三體模型中大天體的位置，使得地-月系統(tǒng)平動點的不變流形與近地軌道并無相交，必須進行近地段的小推力上升變軌設(shè)計。本文建立了地-月系統(tǒng)不變流形與上升段的拼接坐標系轉(zhuǎn)換方法，并完成了小推力轉(zhuǎn)移段設(shè)計。

1 不變流形設(shè)計及計算

不變流形與平動點周期軌道緊密相連，它是一族空間軌道的集合，在空間中形成管狀通道。不變流形分為穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形，穩(wěn)定流形上的質(zhì)點會自發(fā)地趨近于周期軌道[4]，所以利用穩(wěn)定流形進行軌道轉(zhuǎn)移可以節(jié)省燃料。將halo軌道上任意一個不動點積分一個周期后得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱為單值矩陣[5]，通過計算單值矩陣中小于1的特征值對應(yīng)的特征向量Vs，得到穩(wěn)定流形

其中：d為設(shè)計參數(shù)，對于月球中繼衛(wèi)星，可取50 km[6]。

halo軌道上的不動點通過相位角描述，每一不動點對應(yīng)兩條不變流形，halo軌道所有不動點的穩(wěn)定流形及組成了周期軌道的穩(wěn)定流形管道，如圖 1所示。

圖1 X點的不變流形Fig.1 Invariant manifold of X

由于不變流形是在圓形限制性三體模型的會合坐標系中求解計算的，在進行小推力轉(zhuǎn)移軌道的拼接設(shè)計時，需要把會合坐標系中的不變流形轉(zhuǎn)換到地球J2000慣性坐標系中。在位置轉(zhuǎn)換時，首先求出衛(wèi)星在高精度會合坐標系下相對地球的位置，而后完成高精度星歷會合坐標系向慣性坐標系旋轉(zhuǎn)，最后將歸一化單位轉(zhuǎn)化為國際單位制。得到位置轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中：x、y、z為衛(wèi)星在會合坐標系中的位置坐標；xi、yi、zi為衛(wèi)星在地球J2000慣性坐標系中的位置坐標；i、Ω、ω、θ分別代表月球在地球J2000坐標系下的實時軌道傾角、升交點赤經(jīng)、近地點角距、真近點角；D為圓形限制性三體模型中會合坐標系的歸一化長度單位；R為歸一化地月實時距離。

計算速度轉(zhuǎn)換時，需要考慮牽連速度及衛(wèi)星相對地球的相對速度，再完成坐標系旋轉(zhuǎn)及單位轉(zhuǎn)化，得到速度轉(zhuǎn)換關(guān)系

其中：ω為歸一化單位下瞬時旋轉(zhuǎn)角速度；為瞬時平動點的速度；為月球速度；為圓形限制性三體模型中會合坐標系的歸一化時間單位。

2 基于混合法的改進春分軌道根數(shù)小推力優(yōu)化方程

改進春分點軌道根數(shù)模型在小推力轉(zhuǎn)移變軌中只在i=180°時，會出現(xiàn)奇異，優(yōu)于笛卡爾模型及經(jīng)典軌道根數(shù)模型，所以采用改進春分點軌道根數(shù)模型進行小推力變軌優(yōu)化設(shè)計，模型定義為[7]

2.1 混合法

通過運用極小值原理，軌跡優(yōu)化問題最終會轉(zhuǎn)化為一個由正則方程組、初始與終端物理邊界及橫截條件構(gòu)成的兩點邊值問題，通過求解該兩點邊值問題可以得到軌跡優(yōu)化問題的解，這種方法成為間接法。協(xié)狀態(tài)方程組對協(xié)狀態(tài)初始猜測高度敏感，協(xié)狀態(tài)初始猜測與其真實值要足夠接近問題才能收斂，不“好”的初始猜測會導(dǎo)致數(shù)值積分中斷，使得求解過程無法繼續(xù)，問題收斂半徑非常小。而協(xié)狀態(tài)本身沒有物理意義，很難提供足夠“好”的初始猜測，所謂“好”是指足夠地接近真實值。大量的研究文獻與數(shù)值計算實驗表明，在當前技術(shù)條件下，求解該兩點邊值問題是一件極其困難的工作，特別是發(fā)動機開關(guān)機次序受開關(guān)函數(shù)控制的兩點邊值問題[8]。

一些學者放棄對兩點邊值問題的求解，轉(zhuǎn)而使用所謂的“混合法”對軌跡優(yōu)化問題進行求解。混合法將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為針對協(xié)狀態(tài)初值（及其它諸如開關(guān)機時刻等系統(tǒng)參數(shù)）的參數(shù)優(yōu)化問題，只滿足初始與終端物理邊界約束，不考慮橫截條件，通過合適的非線性規(guī)劃算法求解。性能指標的最優(yōu)性由非線性規(guī)劃算法保證。一方面，混合法引入?yún)f(xié)狀態(tài)，利用正則方程組的結(jié)構(gòu)，可以得到光滑的控制；另一方面，它不去求解兩點邊值問題，不考慮橫截條件，減少了終端約束，增大了收斂半徑。

由軌跡優(yōu)化問題得到正則方程組后，若任意給定一組協(xié)狀態(tài)初始值及其它相關(guān)參數(shù)β，通過數(shù)值積分積到tf時刻，即可得到一組終端狀態(tài)進而得到Mayer型性能指標。因此，可以將性能指標與終端狀態(tài)都看作是協(xié)狀態(tài)初值與未知參數(shù)β的函數(shù)。這樣，軌跡優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為針對未知參數(shù)與β的參數(shù)優(yōu)化問題。即：尋找參數(shù)與β，使性能指標J最小

同時滿足物理終端約束

混合法只考慮物理終端約束，不考慮由橫截條件得到的對協(xié)狀態(tài)終值的約束。由式（5）與式（6）構(gòu)成了針對與β的參數(shù)優(yōu)化問題，可以通過合適的非線性規(guī)劃算法進行求解，性能指標的最優(yōu)性由非線性規(guī)劃算法保證。而且，除式（6）表示的等式約束外，還可以將不等式約束包含到問題的求解過程中?；旌戏o法由開關(guān)函數(shù)確定精確的開關(guān)次序，需要事先人為指定開關(guān)次序，將開關(guān)機時刻作為未知參數(shù)去優(yōu)化。參數(shù)β表示除協(xié)狀態(tài)初值外的所有系統(tǒng)未知參數(shù)，如發(fā)動機開、關(guān)機時刻，未知終端時刻等。

2.2 小推力優(yōu)化方程

春分點根數(shù)描述的動力學方程可表示為

矩陣B為

利用控制方程，可得到最優(yōu)控制推力方向為[9]

對哈密頓函數(shù)對狀態(tài)求偏導(dǎo)數(shù)，得到共軛方程為

對小推力變軌優(yōu)化問題，動力學方程式（5），共軛方程式（9）和邊界條件組成一個參數(shù)優(yōu)化問題。求解參數(shù)優(yōu)化問題可得到衛(wèi)星的最優(yōu)飛行軌跡，同時獲得共軛狀態(tài)的變化軌線。通過控制方程可確定式（8）相應(yīng)的最優(yōu)控制軌線。本文采用非線性規(guī)劃算法求解上述參數(shù)優(yōu)化問題，以協(xié)狀態(tài)量初值作為優(yōu)化變量，以小推力軌道轉(zhuǎn)移時間最短作為優(yōu)化目標?；诟倪M春分點根數(shù)的小推力混合優(yōu)化法原理如圖 2。

3 數(shù)值仿真

對于電推進的平動點軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)，通過利用地-月L2點飛行軌道的不變流形，航天器在轉(zhuǎn)移軌道中，只要進入不變流形即可以熄火，所以小推力轉(zhuǎn)移弧段的末狀態(tài)即為不變流形中任一點的位置與速度?？紤]時間最優(yōu)方案，電推進器持續(xù)點火，比沖恒定，通過調(diào)節(jié)俯仰角和偏航角得到最優(yōu)的轉(zhuǎn)移方案。

3.1 滑行段軌道設(shè)計

在圓形限制性三體模型下一個周期的halo軌道上，選取按時間均分的50個不動點。在每一點處將動力學方程線性化，求出不動點積分一個周期后的單值矩陣。以t=0時刻的不動點為例，單值矩陣的特征值為

λ2為t=0時刻不動點的穩(wěn)定特征值λs，對應(yīng)的特征向量Vs為該不動點的穩(wěn)定特征向量。通過式（1）可求出該不動點對應(yīng)的穩(wěn)定流形的出口點。

通過對50個不動點分析計算即可得到全部的穩(wěn)定流形出口點，動力學積分后即可得到全部的穩(wěn)定流形。同理也可以求出所有的不穩(wěn)定流形。

地-月系L2點halo軌道的穩(wěn)定流形及如圖 3所示，積分時間約為30 d。

返回的路上，經(jīng)過一條很深的過山渠，豬牯見鬼一樣跑到渠邊，前腿梭地往下滑，我父親眼疾手快拽住豬尾巴，再慢慢去夠它的后腿，結(jié)果是豬一蹬上來了，我父親卻失去重心掉了下去。摔得很慘，搶救一天一夜，命總算保住了，可人全身癱瘓，話也說不清楚。當初搶救時，迷迷糊糊的，他倒是說過幾段經(jīng)典的胡話，一是說豬牯夠浪漫想采花呢，二是說新廁夠氣派那么多蹲位象征生源充足呀，三是問那個東家會叫縣中老師重新寫過春聯(lián)嗎，還叮囑我，講義夾里記下的人家將來記得要一一拜訪。這句不算胡話，應(yīng)是遺囑，管了豬生仔還不夠呀，還要管它們瓜瓞綿綿嗎？

圖2 小推力混合優(yōu)化法示意圖Fig.2 Low-thrust hybrid optimal design algorithm

圖3 地-月系L2點halo軌道的穩(wěn)定流形Fig.3 Stable manifold of L2 halo orbit

圖中綠色實點表示地球及月球的位置，紅色實點為地-月系L1的位置，紅色實線為地-月系L2點附近垂直幅值為5 000 km的halo軌道，藍色實線為halo軌道的穩(wěn)定流形。

通過對該穩(wěn)定流形進行分析，發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定流形分兩支：一支靠近地球，一支遠離地球。取其中靠近地球的一族流形軌道，如圖 4，綠色實點表示地球及月球，紅點表示L1及L2點。

圖4 地-月系L2點一類halo軌道的穩(wěn)定流形Fig.4 A cluster of stable manifold for L2 halo orbit

末狀態(tài)為不變流形中的不動點，采用不變流形的設(shè)計方法，求得地-月L2點附近幅值為5 000 km的halo軌道不變流形中離地球距離最近的一點Q，將不動點從圓形限制性三體模型會合坐標系轉(zhuǎn)換到地球J2000慣性坐標系下，得到入口點的位置速度信息為

3.2 小推力上升段軌道設(shè)計

在軌道動力學積分時，應(yīng)盡量避免出現(xiàn)奇點，所以軌道動力學模型選為改進春分點根數(shù)模型?？刂屏繛楦┭鼋恰⑵浇?；狀態(tài)量為位置、速度及質(zhì)量；協(xié)狀態(tài)量為位置、速度及質(zhì)量對應(yīng)的協(xié)狀態(tài)量。

初始軌道選用地球靜止軌道，正則距離單位選為42 164 km，初始軌道經(jīng)過單位正則化后

不對真近點角進行約束。比沖為3 000 s，g選為9.81 m/s2。末狀態(tài)位置即為式（13）的不變流形入口點的位置速度信息。

真近點角的初值選擇區(qū)間為0°～360°，質(zhì)量初值為1，協(xié)狀態(tài)初值選擇區(qū)間為-1～1的任意實數(shù)。

根據(jù)前文介紹的基于混合法的小推力優(yōu)化方程，分別求出初始推力加速度為0.000 4 m/s2（1 t衛(wèi)星400 mN推力）至初始推力加速度為0.000 8 m/s2（1 t衛(wèi)星600 mN推力）的時間最優(yōu)轉(zhuǎn)移方案，并列出所需時間、推進劑消耗（衛(wèi)星質(zhì)量為1 t）如表 1。

表1 小推力最優(yōu)轉(zhuǎn)移方案對比Table 1 Cooperation of low-thrust transfer trajectory optimal design

從表 1數(shù)據(jù)可以得知，當衛(wèi)星質(zhì)量已知時，推力越大，轉(zhuǎn)移軌道所需時間越少。而推進劑消耗質(zhì)量隨著推力自大而小的變化先減小后增大，這是由于電推進推力減小到一定程度后，攝動力對衛(wèi)星的影響增加，從而使得衛(wèi)星消耗了較多的推進劑。把推力大小同樣作為優(yōu)化目標進行轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計，得到推進劑消耗最少時對應(yīng)的推力初始加速度為0.000 623 m/s2，即衛(wèi)星質(zhì)量為1 t時，推力器為623 mN，最節(jié)約推進劑。

以電推進器初始推力加速度為0.000 4 m/s2為例，由于電推進系統(tǒng)推力大小恒定，示意控制量即電推進器的推力方向變化隨時間變化如圖 5所示。

圖5 控制量隨時間變化示意圖Fig.5 Governing variables

半長軸、偏心率、軌道傾角、質(zhì)量等主要狀態(tài)量隨時間變化如圖 6。

圖6 狀態(tài)量隨時間變化示意圖Fig.6 State variables

電推進器初始推力加速度為0.000 4 m/s2時，J2000坐標系下的軌道轉(zhuǎn)移過程如圖 7所示。

圖7 J2000坐標系下的軌道轉(zhuǎn)移過程Fig.7 Transfer trajectory in the Earth J2000 coordinate system

通過對地-月L2點的月球中繼衛(wèi)星的轉(zhuǎn)移軌道仿真，可以得到近地上升段的小推力轉(zhuǎn)移方案，衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移至不變流形后，關(guān)閉電推進器，衛(wèi)星可以沿不變流形進入地-月L2點附近的halo軌道內(nèi)，從而進行月球中繼的通信任務(wù)。

4 結(jié) 論

本文以通信衛(wèi)星為研究對象，通過最優(yōu)控制原理中的混合法計算了以月球中繼任務(wù)為拓展任務(wù)的GEO軌位通信衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化方案。得到衛(wèi)星質(zhì)量為1 t時，從地球GEO同步軌道出發(fā)時的時間最優(yōu)轉(zhuǎn)移方案并給出衛(wèi)星俯仰角及偏航角隨時間的變化關(guān)系，為獲得工程上切實可用的月球中繼衛(wèi)星轉(zhuǎn)移軌道提供了有益借鑒。

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Transfer Trajectory Optimal Design for Earth-Moon L2 Based on Invariant Manifolds

AN Ran，WANG Min，LIANG Xingang
（Institute of Telecommunication Satellite，China Aerospace Science and Technology Corporation，Beijing 100094，China）

During the optimal design of transfer trajectory to translunar libration point，the payload launch capacity of Lunar Relay Satellite can be improved greatly if the electric thrusters which have high specific impulse and low thrust can be used as main propulsion.The optimal design of low-thrust transfer trajectory is studied which makes use of the invariant manifolds of Earth-Moon system based on the hybrid method.GEO is the initial orbit and halo orbit around translunar libration point L2 is the aim orbit of the transfer trajectory.The simulation result shows that thruster direction control strategy which consumes the least propellant for transfer trajectory has been obtained.The result is of great important engineering meaning.

electric thruster；optimal control theory；hybrid method；low-thrust transfer；translunar libration point

V412.4+1

A

2095-7777（2017）03-0252-06

[責任編輯：高莎，英文審校：朱魯青]

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.03.008

安然，王敏，梁新剛.基于不變流形的地-月L2點轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設(shè)計[J].深空探測學報，2017，4（3）：252-257.

Reference format：An R，Wang M，Liang X G.Transfer trajectory optimal design for Earth-Moon L2 based on invariant manifolds[J].Journal of Deep Space Exploration，2017，4（3）：252-257.

2017-03-20

2017-06-01

安然（1993- ），女，碩士，主要研究方向：地-月L2點的軌道設(shè)計。

通信地址：北京市海淀區(qū)友誼路102號院青年公寓（100094）

電話：（010）68745369

E-mail：emma1270789119@163.com