徐雯雯

一、 教學內(nèi)容

人教版選修2—1第二章第一節(jié)：曲線與方程

二、教材分析

曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數(shù)”的范疇，它們通過直角坐標系而聯(lián)系在一起，曲線的方程是曲線幾何的一種代數(shù)表示，方程的曲線則是代數(shù)的一種幾何表示。在直角坐標系中，點可由它的坐標來表示，而曲線是點的軌跡，所以曲線可用含x、y的方程來表示?！扒€和方程”這節(jié)教材，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一，對解析幾何教學有著深遠的影響，曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化，是數(shù)學方法論上的一次飛躍。

由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而學生用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)時，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析幾何學習的入門之徑。求曲線與方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應該認識到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點內(nèi)容之一。本節(jié)中提出的曲線與方程的概念，它既是對以前學過的函數(shù)及其圖象、直線的方程、圓的方程等數(shù)學知識的深化，又是學習圓錐曲線的理論基礎，它貫穿于研究圓錐曲線的全過程，根據(jù)曲線與方程的對應關(guān)系，通過研究方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，是幾何的研究實現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)與形的有機結(jié)合，在本章中得到了充分體現(xiàn)。

三、教學目標

1.知識目標

1、了解曲線上的點的坐標與方程的解之間的一一對應關(guān)系；

2、初步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；

3、學會根據(jù)已學知識為切入點，引起關(guān)注，引發(fā)數(shù)學思考進而分析、判斷、

歸納結(jié)論

4、強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。

2.能力目標

1、在形成曲線和方程的概念的教學中，學生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學活動過程，探索出結(jié)論，并能有條理的闡述自己的觀點；

2、能用所學集合知識理解新的概念，從中體會轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思

維品質(zhì)，發(fā)展應用意識。

3.情感目標

1、通過問題的引入，讓學生感受從特殊到一般的認知規(guī)律；

2、通過問題解決，培養(yǎng)合作交流、獨立思考等良好的個性品質(zhì)，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學精神。

四、教學重點、難點

1.教學重點

理解曲線的方程和方程的曲線的概念

2.教學難點

對曲線的方程和方程的曲線間的對應關(guān)系的理解

五、教學過程

【問題引入】設計問題，激發(fā)興趣，提出問題

問題1. 你能找到這些常見曲線（拋物線和橢圓）在現(xiàn)實生活的原型嗎？

問題2. 構(gòu)成曲線的基本元素是什么？曲線如何形成？

問題3. 請例舉一些學過的曲線

問題4.我們可以用什么方法研究這些曲線？

說明：1.通過問題串的形式，并且從學生熟悉的模型出發(fā)，讓學生回顧構(gòu)成曲線的基本元素是點，而曲線是滿足一定條件的點的軌跡。進一步回顧以前所學習過的曲線，以及通過方程去研究直線與圓的基本思想，從而引出課題。

2.教師設計了一個好的問題（情境），可以建立數(shù)學與生活的聯(lián)系，喚起學生的經(jīng)驗，引起學生的關(guān)注，引發(fā)數(shù)學思考，引出數(shù)學問題，并且在創(chuàng)設情境的過程中，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。

【問題引學】提出問題，引發(fā)思考

問題5

曲線：一、三象限角平分線；

方程：（1） ；（2） （3） 。

你能找出第一、三象限角平分線的方程嗎？

問題6：以后怎么看方程表示曲線，曲線表示方程？

說明：從學生已學知識為切入點，引起學生的關(guān)注，引發(fā)數(shù)學思考，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。使學生不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、反思與建構(gòu)等思維過程。讓學生在問題中體會曲線的上的點與方程的解的一一對應關(guān)系，引出概念。

【概念形成】通過觀察歸納，形成概念，幫助學生建立數(shù)學理論

曲線的方程、方程的曲線的定義：

一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程 的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

（1）曲線上的點的坐標都是方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點；

那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。

說明：1.結(jié)合問題5、問題6，嘗試歸納，生成概念。在拿出（1）后可以問學生有沒有必要，（1）夠不夠？還有一個你覺得是什么？設法讓學生歸納出第二條。

2.由特殊到一般，從簡單到復雜，使新知的建構(gòu)順暢和自然，既體現(xiàn)在教師引導下學生自我建構(gòu)，又使學生感到知識之間并不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，他們是一個相互聯(lián)系的、密切相關(guān)的整體。

3.深化概念：讓學生從集合的角度去體會，曲線的點集用C表示，方程 的解集用F表示。條件（1）即 條件（2）即 ，所以 。讓學生去體會曲線的點與方程的解的一一對應關(guān)系。

【例題分析】通過運用，鞏固概念

例1.請判斷正誤，并說明理由

（1）到x軸距離等于1的點的軌跡方程為y=1；

（2）三角形ABC的頂點A（0，-3），B（-2，0），C（2，0），D為BC中點，則中線AD的方程為x=0.

（3）已知點A（2，0），到點A的距離為2的點的軌跡方程為x2-4x+y2=0

例2.證明與兩條坐標軸的距離的積是常數(shù)k（k>0）的點的軌跡方程是xy=±k.

說明：1.例1讓學生進一步深化曲線和方程的定義，定義中的（1），（2）兩條缺一不可。并且提升到理論層次，讓學生指出如果不符合，不符合的是哪一條。2.例2首先引導學生如何證明。引導學生從兩方面進行證明。點和解指的都是有關(guān)集合中的全體元素，怎樣解決全體問題。讓學生體會用“任意一個”代表“全體”是數(shù)學證明中常用的方法。最后師生共同來歸納證明已知曲線的方程的一般方法和步驟。第一步，設 是曲線C上任一點，證明 是 的解；第二步，設 是 的解，證明點 在曲線C上。

并且進一步引導學生感受證明已知曲線的方程與證明充要條件的聯(lián)系，使學生把現(xiàn)有的知識與以前的知識進行聯(lián)系。

數(shù)學概念是要在運用中得以鞏固，通過練習，可以糾正錯誤的認識，促使對概念的正確理解。

【課堂小結(jié)】

1、曲線的方程和方程的曲線的概念

2、基本思想與方法

數(shù)形結(jié)合的思想 ， 轉(zhuǎn)化與化歸的思想

說明：讓學生回顧、總結(jié)、聯(lián)系、整合、提高認識、理解。endprint