武忠文，馬德香

（華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100026）

一類帶p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程的Lyapunov不等式

武忠文，馬德香①

（華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100026）

對(duì)于一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題，求出一些新的Lyapunov不等式.把微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程，利用邊值條件寫出解的具體表達(dá)式，從中選取要研究的格林函數(shù)G(t,s)和H(t,s).通過求導(dǎo)判斷兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性，求解出G(t,s)和H(t,s)的上下界.將G(t,s)和H(t,s)帶入解的表達(dá)式，利用范數(shù)的定義和兩個(gè)函數(shù)的上界，求解出相應(yīng)的Lyapunov不等式.在應(yīng)用方面，求解出一類分?jǐn)?shù)階微分方程的特征值范圍.

分?jǐn)?shù)階微分方程；格林函數(shù)；Lyapunov不等式；p-Laplacian算子

0 引言

在描述一些物理和自然現(xiàn)象時(shí)，p-Laplacian算子出現(xiàn)在微分方程模型中，還有一些模型用來(lái)描述湍流運(yùn)動(dòng).

下面，來(lái)考慮問題

讓回顧一些已經(jīng)研究的Lyapunov不等式.文獻(xiàn)［1］中，Lyapunov研究下面邊值問題：

q(t)是一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù).如果（2）存在非奇異解，則

文獻(xiàn)［2］研究一類Caputo分?jǐn)?shù)階邊值問題的Lyapunov-type不等式：

q(t)是一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù).如果（4）式存在非奇異解，則

顯然，令α=2，由（5）式推導(dǎo)出（3）式.

文獻(xiàn)［3］研究一類在混合邊界條件下的Caputo分?jǐn)?shù)階邊值問題的Lyapunov-type不等式：

χ(t)是一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù).如果（6）式存在非奇異解，則

1 預(yù)備知識(shí)

令 f∈C[a,b]，C[a,b]是實(shí)值連續(xù)函數(shù)的集合，且α≥0.f的階數(shù)為α的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為和

這里Γ(α)是Gamma函數(shù).f的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階左導(dǎo)數(shù)定義為

引理1.1令α＞0.如果，則

這里n=[]

α+1.

引理1.2令，則下面問題

存在唯一解

這里

證明由引理1.1，有

對(duì)于一些實(shí)常數(shù)ci,i=1,2,3,有

由條件u(a)=0，推導(dǎo)出c3=0.因此，

由條件u′(a)=0，推導(dǎo)出c2=0.則

因?yàn)閡(b)=0，有

故

對(duì)于唯一性，假設(shè)u1,u2是考慮問題的兩個(gè)解.定義u=u1-u2.由線性性質(zhì)，u滿足下面邊值問題

問題存在唯一解u=0.因此，u1=u2.唯一性證畢.

引理1.3令y∈C[ ] a,b,2＜α≤3,2＜β≤3,p＞1,并且則下面問題

存在唯一解

這里

證明由引理1.1，有

這里ci,i=1,2,是實(shí)常數(shù).

又因?yàn)?/p>

也即

因此，有

令

有

最后，由引理1.2，得到結(jié)論.

引理1.4有0≤G(t,s)≤G(t,t),( ) t,s∈[a,b]×[a,b].

證明對(duì)s求導(dǎo)，得到

令

顯然，

因此，對(duì)于s∈[t,b]，有

這里

即

故當(dāng)s∈[a,t]時(shí)，G(t,s)≥0.對(duì)于g1(t,s)，令g1(t,s)=0，則

因此s*≥a.同理，

則

而

引理1.5有

證明當(dāng)a≤s≤t≤b時(shí)，

故

當(dāng)a≤t≤s≤b時(shí)，

2 主要結(jié)論

定理2.1假設(shè)2＜α≤3,2＜β≤3,p＞1,并且χ:[a,b]→R是一個(gè)連續(xù)函數(shù).如果問題（1）存在非奇異解，則

證明由Chebyshev范數(shù)的定義‖‖u∞=max{ ||u(t): } a≤t≤b,u∈C[a,b].假設(shè)u∈C[a,b]是問題（1）的一個(gè)非奇異解.由引理1.3，有

有

由引理1.4和引理1.5，有

推論2.2假設(shè)2＜α≤3,1＜β≤2,p＞1,且χ:[a,b]→R是一個(gè)連續(xù)函數(shù).如果問題（1）存在一個(gè)非奇異解，則

證明令則

故把上式帶入不等式（9）即得不等式（10）.

對(duì)于p=2，問題（1）變成

這里2＜α≤3,2＜β≤3,且χ:[a,b]→R是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

推論2.3假設(shè)2＜α≤3,2＜β≤3，且χ:[a,b]→R是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果（11）式存在一個(gè)非奇異解，則有

推論2.4假設(shè)2＜α≤3,1＜β≤2，且χ:[a,b]→R是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果（11）式存在一個(gè)非奇異解，則有

3 特征值問題的應(yīng)用

推論3.1令λ是問題（12）的一個(gè)特征值

這里2＜α≤3,2＜β≤3，且p＞1，則

證明假設(shè)λ是問題（12）的一個(gè)特征值，則由定理2.1有

而

故代入可得結(jié)果.

推論3.2令λ是下面問題的一個(gè)特征值

這里2＜α≤3,2＜β≤3，則

證明不等式（13）中令p=2，即得不等式（14）.

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［11］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟(jì)南：山東科技出版社，1985.

Lyapunov Inequalities for a Fractional p-Laplacian Equation

WU Zhongwen，MA Dexiang

（Department of Mathematics，North China Electric Power University，100026,Beijing，China）

For some boundary value problems of fractional differential equations，some new Lyapunov inequali?ties are obtained.Firstly，The differential equation is transformed into the integral equation，and then the con?crete expression of the solution is written by the boundary condition，and the Green functionG(t,s)，H(t,s)is selected.Taking the derivative of two functions，by judging function monotonicity，upper and lower bounds of two functions is obtained.Then the functionG(t,s)andH(t,s)is bought into the expression of the solution，and by using the definition of norm and the upper bounds of the two functions，the corresponding Lyapunov inequality is solved.As for application，the eigenvalue range of a class of fractional differential equations is gotten.

fractional differential equation；Green function；Lyapunov inequalities；p-Laplacian operator

O 175.8

A

2095-0691（2017）03-0006-07

2017-03-03

武忠文（1992- ），女，安徽淮南人，碩士生，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程.