張秋華，周 愷

（池州學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 池州 247000）

一類具有庇護(hù)所效應(yīng)的階段結(jié)構(gòu)時(shí)滯Holling-III型捕食-食餌模型的穩(wěn)定性和Hopf分支

張秋華，周 愷①

（池州學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 池州 247000）

利用對(duì)平衡點(diǎn)處特征方程特征根的判斷，給出一類具有庇護(hù)所效應(yīng)的階段結(jié)構(gòu)時(shí)滯Holling-III型捕食-食餌模型局部穩(wěn)定性的條件，并進(jìn)一步給出模型在正平衡點(diǎn)處產(chǎn)生Hopf分支的條件.

捕食-食餌系統(tǒng)；階段結(jié)構(gòu)；時(shí)滯；局部穩(wěn)定性；Hopf分支

0 引言

眾所周知，捕食-食餌系統(tǒng)是種群動(dòng)力學(xué)中的一類重要模型，已經(jīng)被許多數(shù)學(xué)及生物學(xué)家廣泛研究.在自然現(xiàn)象中，生物種群經(jīng)常處于不同的階段，如哺乳階段、成熟階段等；另一方面，在種群動(dòng)力學(xué)中，時(shí)間滯后也是不容忽視的一個(gè)因素.結(jié)合上面兩點(diǎn)，近年來，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注更為實(shí)際的具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食-食餌系統(tǒng)［1-3］.

1946年，Crombic通過實(shí)驗(yàn)的方法較早地將庇護(hù)所效應(yīng)引入了食餌－捕食者模型.所謂“庇護(hù)所效應(yīng)”指的是，在一些捕食-食餌系統(tǒng)中，食餌種群總是會(huì)進(jìn)入一些所謂的安全區(qū)域，即不會(huì)被捕食者捕食的區(qū)域，體現(xiàn)出的作用就是有助于保持食餌種群的數(shù)量規(guī)模，一定程度上保持了自然群落的生物多樣性.文獻(xiàn)［4］建立了具有庇護(hù)所效應(yīng)的捕食-食餌模型，討論了庇護(hù)所中食餌數(shù)量與現(xiàn)有食餌數(shù)量呈正比例的情形.文獻(xiàn)［5-6］研究了具有庇護(hù)所效應(yīng)的Lotka-Volterra捕食-食餌模型，得出了庇護(hù)所效應(yīng)能夠增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性的結(jié)論.特別地，文獻(xiàn)［7］研究了食餌具有庇護(hù)所效應(yīng)的階段結(jié)構(gòu)時(shí)滯Beddington-DeAngelis型捕食-食餌模型

的局部穩(wěn)定性和Hopf分支問題.由于在脊椎動(dòng)物的種群動(dòng)力學(xué)研究中，通常采用Holling-III型功能性反應(yīng)函數(shù)，本文將研究具有庇護(hù)所效應(yīng)的階段結(jié)構(gòu)時(shí)滯Holling-III型捕食-食餌模型

的局部穩(wěn)定性和Hopf分支問題，其中x1(t),x2(t)和y(t)分別表示未成熟食餌、成熟食餌和捕食者的種群密度，a是未成熟食餌的自然增長率，r1,r2和r分別代表三個(gè)種群的死亡率，b表示從未成熟種群向成熟種群過渡的轉(zhuǎn)化率，α為成熟種群內(nèi)部的競(jìng)爭(zhēng)率，β(1-m)是捕食者的捕獲率，d表示捕食者捕獲到生長的轉(zhuǎn)化率.假設(shè)系統(tǒng)（2）滿足初始條件：

其中R3+={(x1,x2,y):x1≥0,x2≥0,y≥0}.

1 E0和E1的局部穩(wěn)定性

在判斷各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性之前，我們先給出一些假設(shè)條件：

如果（H2）、（H3）成立，則系統(tǒng)（2）存在唯一的正平衡點(diǎn)其中

相應(yīng)特征方程為

特征方程（3）在平衡點(diǎn)E0(0，0，0)處變成下面形式：

如果（H1）成立，則（4）式的所有根均具有負(fù)實(shí)部，從而平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；如果（H2）成立，則（4）式至少有一個(gè)正根，所以E0是不穩(wěn)定的.

當(dāng)（H2）成立時(shí)，方程的兩個(gè)根均具有負(fù)實(shí)部.方程（5）的其余根由方程確定.記

如果（H2）、（H3）成立，容易驗(yàn)證：F(0)＜0，且有F(λ)→+∞(λ→+∞)，所以方程F(λ)=0至少有一個(gè)正實(shí)根.從而方程（5）至少有一個(gè)正實(shí)根，故E1不穩(wěn)定.如果（H2）、（H4）成立，則F(0)＞0，由文獻(xiàn)［8］知，對(duì)于所有的τ≥0，邊界平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的.總結(jié)上面的討論，有下面結(jié)論.

定理1對(duì)于方程（2），有如下結(jié)論：

（i）當(dāng)（H1）成立時(shí)，方程（2）的零平衡點(diǎn)E0(0，0，0)是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)（H2）成立時(shí)，E0是不穩(wěn)定的；

（ii）當(dāng)（H2）、（H4）成立時(shí)，方程（2）的邊界平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)（H2）、（H3）成立時(shí)，平衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定的.

2 E*的局部穩(wěn)定性和Hopf分支

（6）式進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化成

為了方便起見，將（7）式寫成下面形式：

其中

2.1 τ=0時(shí)

由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知，當(dāng)(P2+Q2)(P1+Q1)-(P0+Q0)＞0時(shí)，正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

2.2 τ＞0時(shí)

令λ=iω(ω＞0)是方程（8）的根，則

將（9）的實(shí)部和虛部分離，得到

進(jìn)一步，有

將方程（10）、（11）兩邊平方且相加，得到

其中

顯然，當(dāng)條件（H5）成立時(shí)，，則（13）式無正實(shí)根.因此，由文獻(xiàn)［8］知，對(duì)所有的τ≥0，正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)（H6）成立時(shí)，有P0-Q0＜0，則方程（13）存在唯一的正根ω0.由（12）式可知，

記

則±iω0是方程（8）在τ=τn時(shí)的一對(duì)純虛根.因此，方程（8）除了在τ=τ0時(shí)有根±iω0外，在τ∈[0,τ0)時(shí)所有根均具有負(fù)實(shí)部.從而，當(dāng)時(shí)，正平衡點(diǎn)E*在τ∈[0,τ0)時(shí)保持穩(wěn)定.下面斷言：

在方程（8）兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)（注意到λ是τ的隱函數(shù)），得到

進(jìn)一步可得，

從而，進(jìn)一步計(jì)算可得，

由（10）和（11）式易知，

從而，

因此，橫截條件成立，故在ω=ω0，τ=τ0時(shí)產(chǎn)生Hopf分支.綜合上面的分析，得到下面定理：

定理2 對(duì)于方程（2），當(dāng)（H3）、（H5）成立時(shí)，對(duì)于所有的τ≥0，方程（2）的正平衡點(diǎn)都是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)（H3）、（H6）成立時(shí)，存在τ0＞0，使得平衡點(diǎn)E*在τ∈[0,τ0)時(shí)是局部漸近穩(wěn)定的，且當(dāng)τ=τ0時(shí)，方程（2）在E*處產(chǎn)生Hopf分支.

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Stability and Hopf Bifurcation for a Delayed Predator-prey System with Holling-III Type Functional Response and Stage Structure for Prey Incorporating Refuge

ZHANG Qiuhua，ZHOU Kai
（School of Mathematics and Computer，Chizhou University，247000，Chizhou,Anhui,China）

By analyzing the character equations at different equlibria，we obtain the stability and Hopf bifurca?tion conditions for a delayed predator-prey system with Holling-III type functional response and stage struc?ture for prey incorporating refuge.

predator-prey system；stage structure；delay；local stability；Hopf bifurcation

O 175.1

A

2095-0691（2017）03-0001-05

2017-02-23

2014年安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（皖教秘人［2014］181）；安徽省教育廳高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目（KJ2016A517）；安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（1708085QA13）

張秋華（1981- ），男，安徽無為人，碩士，講師，研究方向：隨機(jī)微分方程.