尚 旭,李龍剛

(1.浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江金華321004;2.濟(jì)邦教育科技,陜西西安710000)

不定方程整數(shù)解的討論

尚 旭1,李龍剛2

(1.浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江金華321004;2.濟(jì)邦教育科技,陜西西安710000)

在高斯整數(shù)環(huán)中,利用代數(shù)數(shù)論的方法,研究幾個(gè)不定方程的整數(shù)解,推進(jìn)了不定方程的研究.

高斯整環(huán);不定方程;整數(shù)解;代數(shù)數(shù)論

設(shè)A、B∈N,A無平方因子,關(guān)于不定方程

Ax2＋B＝Cyn,(x,y,n∈N,n≥2)(1)解的問題是數(shù)論中的一個(gè)重要問題.近些年,研究者用代數(shù)數(shù)論的方法研究了許多形式的不定方程,如:當(dāng)A＝1,B＝1,C＝1時(shí)Ledesgue證明了無整數(shù)解;Nagell證明了當(dāng)A＝2,B＝1,C＝1,n＝5時(shí),僅有整數(shù)解(x,y)＝(±11,3);孫樹東證明了A＝1,B＝64,n＝13,C＝1時(shí)無整數(shù)解;楊全證明了A＝1,B＝16,n＝9,C＝1時(shí)無整數(shù)解;李中恢,張四保證明了A＝1,B＝16,n＝11,C＝1時(shí)無整數(shù)解;張四保,呂明富證明了A＝1,B＝64,n＝13,C＝4時(shí)無整數(shù)解.基于此,研究當(dāng)A＝1,B＝256,C＝4,n＝3,5,7時(shí)方程x2＋256＝4yn的整數(shù)解問題.[1－6]

1 定理及其證明

引理17[]設(shè)M是惟一分解整數(shù)環(huán),正整數(shù)k≥2,以及α,β∈Z,(α,β)＝1αβ＝τk,τ∈M,則有α＝ε1μk,β＝ε2νk,μ,ν∈M,其中ε1,ε2是M中的單位元素,并且ε1ε2＝εk,ε為單位元素.

引理28[]不定方程x2＋64＝y(tǒng)3當(dāng)x≡1 (mod 2)時(shí),無整數(shù)解.

引理39[]不定方程x2＋64＝y(tǒng)5無整數(shù)解.

引理410[]不定方程x2＋64＝y(tǒng)7僅有整數(shù)解(x,y)＝(±8,2).

定理1:不定方程x2＋256＝4y3x,y∈Z (2)

僅有整數(shù)解(x,y)＝(0,4).

證明:分兩種情況說明

(1)當(dāng)x≡1(mod2)時(shí)

則在Z i[]中,(2)可以等價(jià)為(x＋16i)(x－16i)＝4y3,x,y∈Z.

因?yàn)閤≡1(mod2)時(shí),有x＋16i≡1(mod2),所以η≠2.

產(chǎn)生矛盾,所以η＝1.

由此和引理1得

x＋16i＝4(a＋bi)3,x,a,b∈Z

因此得

由(4)式得b＝±1,±2,±4

當(dāng)b＝1時(shí),由(4)式得

16＝4(3a2－1),

即 5＝3a2.(5)

因?yàn)閍∈Z,所以找不到a使(5)式成立.

所以b＝1時(shí)不成立.

當(dāng)b＝－1時(shí),由(4)式得

16＝－4(3a2－1),

－3＝3a2.(6)

顯然(6)不成立.所以b＝－1時(shí)不成立.

似上述證明,可知當(dāng)b＝±2,±4時(shí)不成立.

則當(dāng)x≡1(mod2)時(shí),不定方程(2)無整數(shù)解.

(2)當(dāng)x≡0(mod2)時(shí)

易知x為偶數(shù),可設(shè)x＝2x1,x1∈Z代入(2)得x12＋64＝y(tǒng)3(7)

接下來,討論x2＋64＝y(tǒng)3的整數(shù)解情況.

也分兩種情況,當(dāng)x≡1(mod2),引理2已經(jīng)證明無整數(shù)解.

當(dāng)x≡0(mod2)時(shí)

易知x為偶數(shù),y也是偶數(shù),則設(shè)x＝2x1,y＝2y1x1∈Z,y1∈Z代入x2＋64＝y(tǒng)3中得

x12＋16＝2y13

易知x1為偶數(shù),設(shè)x1＝2x2,x2∈Z,代入上式得:2x22＋8＝y(tǒng)13

易知y1為偶數(shù),設(shè)y1＝2y2,y2∈Z,代入上式得:x22＋4＝4y23

易知x2為偶數(shù),設(shè)x2＝2x3,x3∈Z,代入上式得:x32＋1＝y(tǒng)23

易求得上式只有整數(shù)解(x3,y2)＝(0,1).

從而我們可知x12＋64＝y(tǒng)3僅有整數(shù)解(x1,y)＝(0,4).

綜上,可知不定方程(2)僅有整數(shù)解(x,y)＝(0,4).

定理2:

不定方程 x2＋256＝4y5x,y∈Z(8)

無整數(shù)解.

證明:分兩種情況說明

(1)當(dāng)x≡1(mod2)時(shí)

則在Z i[]中,(8)可以等價(jià)為(x＋16i)(x－16i)＝4y5,x,y∈Z.

因?yàn)閤≡1(mod2)時(shí),有x＋16i≡1(mod2),所以η≠2.

產(chǎn)生矛盾,所以η＝1.

由此和引理1得

x＋16i＝4(a＋bi)5x,a,b∈Z

則在Z i[]中,(14)可以等價(jià)為(x＋16i)(x－16i)＝4y7,x,y∈Z.

因?yàn)閤≡1(mod2)時(shí),有x＋16i≡1(mod2),所以η≠2.

產(chǎn)生矛盾,所以η＝1.

由此和引理1得

x＋16i＝4(a＋bi)7x,a,b∈Z

因此得

x＝4(a5－10a3b2＋5ab4),(9)

16＝4b(5a4－10a2b2＋b4).(10)

由(10)式得b＝±1,±2,±4

當(dāng)b＝1時(shí),由(10)式得

16＝4(5a4－10a2＋1)

3＝5(a4－2a2)(11)

因?yàn)?不能整除3,所以(11)不成立.

所以b＝1不成立.

當(dāng)b＝－1時(shí),由(10)式得

16＝－4(5a4－10a2＋1)

－1＝a2(a2－2)(12)

(12)式要成立,則a2＝1,

代入(12)式a2(a2－2)＝－1成立.

將a2＝1,b＝－1代入(9)式,解得x＝±16,然而這與x≡1(mod2)矛盾,所以不成立.

所以b＝－1不成立.

似上述證明,可知當(dāng)b＝±2,±4時(shí)不成立.

則當(dāng)x≡1(mod2)時(shí),不定方程(8)無整數(shù)解.

(2)當(dāng)x≡0(mod2)時(shí)

易知x為偶數(shù),可設(shè)x＝2x1,x1∈Z代入(12)得

x12＋64＝y(tǒng)5(13)

而對于(13)式的不定方程,引理3已證明無整數(shù)解.

綜上,不定方程(8)無整數(shù)解.

定理3:不定方程

x2＋256＝4y7x,y∈Z(14)

僅整數(shù)解(±16,2).

證明:分兩種情況說明

(1)當(dāng)x≡1(mod2)時(shí)

因此得

x＝4(a7－21a5b2＋35a3b4－7ab6),(15)

16＝4b(7a6－35a4b2＋21a2b4－b6).(16)

由(16)式得b＝±1,±2,±4

當(dāng)b＝1時(shí),由(16)式得

5＝7(a6－5a4＋3a2)(17)

因?yàn)?不能整除5,所以不存在a∈Z滿足(17)式.所以b＝1不成立.

當(dāng)b＝－1時(shí),由(16)式得

－3＝7(a6－5a4＋3a2)(18)

因?yàn)?不能整除－3,所以不存在a∈Z滿足(18)式.

類似上述證明,可知當(dāng)b＝±2,±4時(shí)不成立.

所以當(dāng)x≡1(mod2)不定方程(14)無整數(shù)解.

(2)當(dāng)x≡0(mod2)時(shí)

易知x為偶數(shù),可設(shè)x＝2x1,x1∈Z代入(14)得x12＋64＝y(tǒng)7

(19)

而對于形如(19)式的不定方程,引理4已證明此方程僅有整數(shù)解(±8,2).

繼而可求得(x,y)＝(±16,2)

綜上,可知不定方程(14)僅有整數(shù)解(x,y)＝(±16,2)

2 結(jié)語

不定方程的整數(shù)解問題是一個(gè)悠久的研究課題,許多數(shù)學(xué)家都有所研究,推進(jìn)了不定方程整數(shù)解問題的發(fā)展,本文研究了x2＋256＝4yn(n＝3, 5,7)的整數(shù)解問題,得出了不定方程x2＋256＝4yn當(dāng)n＝3僅有整數(shù)解(x,y)＝(0,4),n＝5無整數(shù)解,n＝7時(shí)僅有整數(shù)解(x,y)＝(±16,2)的結(jié)論和證明,接下來希望能進(jìn)一步研究不定方程的整數(shù)解的問題.

[1]Lebesgue V A.Surl′impossibilite en nomber entiers de equation xm＝y(tǒng)2＋1[J].Nouvelle Annals of Mathematics, 1850(1):178－181.

[2]Nagell T.Sur Limpossibilite de quelques equations deux indeterminees[J].Norsk Marem Fornmings Skrefter Senel, 1921(1):65－82.

[3]孫樹東.不定方程x2＋64＝y(tǒng)13的整數(shù)解[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015(3):78－80.

[4]楊 全.關(guān)于不定方程x2＋16＝y(tǒng)9的解[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2013(8):119－120.

[5]李中恢,張四保.關(guān)于不定方程x2＋16＝y(tǒng)11的解[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009(3):216－218.

[6]張四保,呂明富.關(guān)于不定方程x2＋64＝4y13的解[J].喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010(3):22－23.

[7]潘承洞,潘承彪.代數(shù)數(shù)論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2014:34－39.

[8]李亞卓.關(guān)于2個(gè)不定方程的求解[J].高師理科學(xué)刊,2009(1):50－51.

[9]高媛媛,郭金保.關(guān)于不定方程x2＋64＝y(tǒng)5[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010(1):6－7.

[10]張 杰.關(guān)于不定方程x2＋64＝y(tǒng)7的解的討論[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012(3):27－28.

[責(zé)任編輯 范 藻]

Discussion on the Integer Solution to Diophantine Equation

SHANG Xu1,LI Longgang2
(1.Department of Mathematics,Zhejiang Normal University,Jin hua Zhejiang 321004; 2.Ji BangScience and Technology Education,Xi’an Shaanxi 710000,China)

By using themethod of algebraic number theory,we study the integer solution of some Diophantine equations in the Gauss domain,which has advanced the study of the Diophantine equation.

Gauss domain;Diophantine equation;integer solution;algebraic number theory

0156.2

A

1674－5248(2017)05－0007－03

2017－05－04

尚 旭(1989—),男,陜西西安人.碩士,主要從事算子代數(shù)與初等數(shù)論研究.