黃世平

三角形全等問題中的常見錯(cuò)誤剖析

黃世平

一、理解模糊

例1（2017·湖南懷化）如圖1，AC=DC，BC=EC，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使得△ABC≌△DEC.

圖1

【錯(cuò)解】添加條件：∠A=∠D或∠B=∠E.

【剖析】有些考生由于對(duì)全等三角形判定方法理解模糊，結(jié)果出現(xiàn)了錯(cuò)誤答案.殊不知，當(dāng)∠A=∠D或∠B=∠E時(shí)，結(jié)合已知條件，不能判斷△ABC≌△DEC，它屬于“SSA”型.

【正解】根據(jù)“SSS”可添加AB=DE；根據(jù)“SAS”可添加∠ACB=∠DCE或∠ACD=∠BCE.

【點(diǎn)評(píng)】利用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意角應(yīng)該是兩邊的夾角；有多種添加條件的方法時(shí)，應(yīng)注意選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

二、不會(huì)轉(zhuǎn)化

例2（2017·四川南充）如圖2，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別是點(diǎn)E、F，DE=CF，AE=BF.求證：AC∥BD.

圖2

【錯(cuò)解】∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB=∠AFC=90°.在△DEB和△CFA中，∵DE=CF，∠DEB=∠AFC，AE=BF，∴△DEB≌△CFA（SAS），∴∠A=∠B，∴AC∥DB.

【剖析】錯(cuò)解的解題思路不錯(cuò)，但“SAS”判定方法中的邊必須是三角形的邊，而AE和BF不是△ACF和△BDE的邊，所以要先轉(zhuǎn)化為三角形的對(duì)應(yīng)邊，才能應(yīng)用“SAS”.

【正解】將AE=BF轉(zhuǎn)化成AF=BE即可.

【點(diǎn)評(píng)】說明三角形全等時(shí)，最終判定相等的邊和角必須都是所判定三角形中的，不能找錯(cuò).

三、忽視對(duì)應(yīng)

例3在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°，AC＝17cm，在△DEF中，∠D＝70°，∠E＝80°，DE＝17cm，那么△ABC與△DEF全等嗎？為什么？

【錯(cuò)解】△ABC≌△DEF.∵∠D＝70°，∠E＝80°，∠A＝70°，∠B＝80°，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E.又∵AC＝DE＝17cm，∴△ABC≌△DEF.

【剖析】錯(cuò)解認(rèn)為只要有兩角相等，一組邊相等，兩個(gè)三角形就全等，忽視了三角形全等判定條件中的“對(duì)應(yīng)”.本題中∠A＝∠D，∠B＝∠E，則AC的對(duì)應(yīng)邊是DF，而不是DE，因此盡管具備了AC＝DE，卻不能作為判定全等的條件.

【正解】不全等，如圖3所示，當(dāng)△ABC與△DEF的相等的邊重合，即A與D重合，C與E重合，顯然兩個(gè)三角形不全等.

圖3

【點(diǎn)評(píng)】在使用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意“其中一個(gè)角的對(duì)邊”中的“一個(gè)角”必須是相等的對(duì)應(yīng)角.要說明一個(gè)結(jié)論不成立，只要舉一個(gè)反例即可.

四、盲目遷移

例4如圖4，已知AC、BD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BDC，AD＝BC.試說明△AOD≌△BOC.

圖4

【錯(cuò)解】在△ADC和△BCD中，∵∠A＝∠B，∠ACD＝∠BDC，DC＝CD，∴△ADC≌△BCD（AAS），∴△ADC－△DOC＝△BCD－△DOC，即△AOD≌△BOC.

【剖析】本題錯(cuò)誤地將等式的性質(zhì)盲目遷移到三角形全等的判定中，三角形全等是不能根據(jù)等式的性質(zhì)說明的.

【正解】在△ADO和△BCO中，∵∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，∴△AOD≌△BOC（AAS）.

【點(diǎn)評(píng)】說明三角形全等，要根據(jù)三角形全等的判定方法去尋找邊與角對(duì)應(yīng)相等的關(guān)系.

五、過度直觀

例5如圖5所示，在△ABC中，AD是它的角平分線，BD＝CD，DE、DF分別垂直于AB、 AC，垂足為E、F.說明：BE＝CF.

圖5

【錯(cuò)解1】（由圖5直觀得到DE＝DF，并以此為條件來(lái)解題）在Rt△BDE與Rt△CDF中，∵DE＝DF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝CF.

【錯(cuò)解2】（由圖5直觀得到AD⊥BC，并以此為條件來(lái)解題）在Rt△ABD與Rt△ACD中，∵AD＝AD，BD＝CD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），∴AB＝AC，∠BAD=∠CAD.∵DE、DF分別垂直于AB、AC，∴∠AED=∠AFD＝90°.在△AED與△AFD中，∵AD＝AD，∠BAD=∠CAD，∠AED=∠AFD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∴BE＝CF.

【剖析】錯(cuò)解1和錯(cuò)解2中由圖形直觀得到的結(jié)論，沒有經(jīng)過推理，就直接作為條件應(yīng)用，是錯(cuò)誤的.

【正解】∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD；∵DE、DF分別垂直于AB、AC，∴∠AED=∠AFD＝∠BED=∠CFD＝90°.在△AED和△AFD中，∵∠BAD=∠CAD，∠AED=∠AFD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴DE＝DF.在Rt△BDE與Rt△CDF中，∵BD=CD，DE= DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝CF.

【點(diǎn)評(píng)】在解題時(shí)不能將由圖形的直觀得到的“結(jié)論”視為已知條件，證明的每一步必須有理有據(jù).

（作者單位：江蘇省興化市昭陽(yáng)湖初級(jí)中學(xué)）