陸 曄

“有理數”數學思想面面觀

陸 曄

“有理數”這章內容包括有理數的基本概念、有理數的運算以及有理數的混合運算，是初中數學學習的基礎.在本章學習過程中，蘊含著大量的數學思想，對于同學們良好數學素養(yǎng)的形成具有積極促進作用.現舉例說明如下：

一、在理解有理數的概念、比較其大小時，感受“數形結合”的思想

數學是研究“數”和“形”的一門學科，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統一起來.運用數形結合思想解題的關鍵是建立數與形之間的聯系，能夠起到以“形”助“數”的作用.我國數學家華羅庚說得好：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離.”

例1（2017·株洲）如圖，數軸上點A所表示的數的絕對值為（）.

A.2B.-2

C.±2D.以上均不對

剖析：根據絕對值的幾何意義，一個數的絕對值表示這個數的點到原點的距離.因此，借助于數軸可以知道：數軸上點A到原點的距離為2，因此，數軸上點A所表示的數的絕對值為2.

解：本題選A.

例2（2017·麗水）在數1，0，-1，-2中，最大的數是（）.

A.-2B.-1C.0D.1

剖析：根據“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的大”，我們可以將這四個數分別在數軸上表示出來，從左到右依次為-2、-1、0、1，因此，這四個數中最大的數是1.

解：本題選D.

例3已知a＜b＜0，試比較a，-a，b，-b的大小.

剖析：根據已知條件，將a，-a，b，-b四個數在數軸上表示出來，再根據在數軸上右邊的數總大于左邊的數，可比較出它們的大小.

解：因為a與-a，b與-b互為相反數，又a＜b＜0，所以四個數在數軸上表示如圖所示：

根據在數軸上，右邊的數總大于左邊的數，可得它們的大小關系為：a＜b＜-b＜-a.

二、在利用有理數的概念和有理數運算法則過程中，感受“分類討論”的思想

當被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來分別討論，得出各種相應的結論，這種處理問題的思維方法稱為分類思想.本章在研究相反數、絕對值、有理數的加法法則、乘法法則、乘方運算的符號法則等時，都較好地體現了“分類討論”的思想.

例4在數軸上，與表示數-5的點的距離是2的點表示的數是（）.

A.-3B.-7C.±3D.-3或-7

剖析：分析題意，可以發(fā)現符合條件的點有兩個：一個在表示-5的點的左邊，另一個在表示-5的點的右邊，且它們到表示-5的點的距離都等于2，因此，符合條件的點表示的數分別為-3或-7.

解：本題選D.

例5若a2=4，b2=9，且ab＜0，則a-b的值為.

剖析：根據有理數平方的意義，可以分別確定字母a與b的值，再根據a、b之積為負數即可確定a、b異號，從而可以確定字母a與b可能的值，進而求得a-b的值.

解：因為a2=4，b2=9，所以a=±2，b=±3.因為ab＜0，所以當a=2時，b=-3，a-b=2-（-3）=2+ 3=5；當a=-2時，b=3，a-b=-2-3=-5，所以，a-b的值為5或-5.本題填：5或-5.

剖析：因為abc＜0，所以負因數的個數可能是1個或3個.再根據條件“a+b+c＞0”，所以有理數a，b，c中至少有1個正數，所以符合條件的只有一種情況：其中一個為負數，其余兩個為正數，分為以下三種情況：①當a＜0時，b＞0，c＞0，原式=-1+1+1-1=0；②當b＜0時，a＞0，c＞0，原式=1-1+1-1=0；③當c＜0時，a＞0，b＞0，原式=1+1-1-1=0.

解：本題填0.

三、在運用有理數的減法、有理數的除法法則中，感受“轉化”的思想

將所要研究和解決的問題變?yōu)橐呀泴W過的問題來處理的數學思想稱為轉化思想，它是一種研究和解決數學問題的基本思想.如在有理數加法的基礎上，利用相反數的概念將減法運算轉化為加法運算——減去一個數等于加上這個數的相反數，從而使加、減法得到統一；又如在有理數乘法的基礎上，利用倒數概念將除法運算轉化為乘法運算——除以一個不等于0的數等于乘以這個數的倒數，從而使乘、除法得到統一等.可見，轉化思想是解決問題、獲得新知識的重要數學思想.

例7冬季某天測得的最低氣溫是-6℃，最高氣溫是5℃，則當日溫差是℃.

剖析：根據題意，列出算式為5-（-6），再根據有理數減法運算轉化為加法運算，可得結果.

解：5-（-6）=5+6=11（℃）.本題應該填：11.例8計算：（-81）÷

剖析：這是一道只含有乘除運算的計算題.計算時，需要按照從左到右的順序進行，對于其中的除法則按照除法運算法則，將其轉化為乘法運算.

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區(qū)實驗學校）

責任編輯：沈紅艷 E-mail：czsshy@126.com