陳志梅，高武龍，張井崗

(太原科技大學電子信息工程學院，山西 太原 030024)

基于濾波器的橋式起重機無源滑模防擺控制研究

陳志梅，高武龍，張井崗

(太原科技大學電子信息工程學院，山西 太原 030024)

橋式起重機防擺控制系統(tǒng)具有高度非線性、欠驅(qū)動特性，定位和擺角相互影響，繩長和負載質(zhì)量經(jīng)常變化，且存在空氣阻尼和摩擦等不確定性因素，因此，常規(guī)的線性防擺控制方法往往防擺效果不理想。針對上述問題，在考慮負載的提升過程及繩長的變化前提下，建立了歐拉-拉格朗日三維誤差系統(tǒng)；通過對系統(tǒng)進行無源性分析，結(jié)合無源控制和滑?？刂聘髯缘膬?yōu)點，設(shè)計了基于濾波器的無源滑?？刂破?，構(gòu)造了Lyapunov能量函數(shù)且證明了其穩(wěn)定性。防擺控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，不但消除了滑?？刂聘哳l抖振現(xiàn)象，使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，而且有效地實現(xiàn)了小車的快速定位和負載的有效防擺，提高了系統(tǒng)的魯棒性，改善了系統(tǒng)的控制性能。仿真結(jié)果驗證了控制方案的正確性和有效性。

無源控制； 滑?？刂?； 反饋補償； Lyapunov能量函數(shù)； PID； 橋式起重機； 欠驅(qū)動系統(tǒng)； 濾波器

0 引言

橋式起重機在工作時，由于小車加減速和負載提升的慣性，以及風力、摩擦等因素的影響，會引起負載的擺動，導(dǎo)致作業(yè)效率降低，甚至引發(fā)安全事故。因此，橋式起重機防擺控制成為近年來的研究熱點[1-10]。橋式起重機具有高度非線性、欠驅(qū)動特性，受定位和擺角相互影響，繩長和負載質(zhì)量經(jīng)常變化，存在空氣阻尼和摩擦等不確定因素，因此，常規(guī)的線性防擺控制方法往往難以奏效。劉德君[3]等針對吊車系統(tǒng)設(shè)計了非線性PID控制器，系統(tǒng)獲得了更好的性能，但難以實現(xiàn)參數(shù)的實時調(diào)整。孫寧[4]等借助非線性耦合規(guī)劃了小車的運行軌跡，改善了控制系統(tǒng)的性能，然而對于復(fù)雜的工作環(huán)境，離線規(guī)劃的軌跡常常不準確，且對外界干擾的魯棒性較差。劉殿通[5]等采用滑模控制，通過設(shè)計分層滑模面將系統(tǒng)分解成定位子系統(tǒng)和防擺子系統(tǒng)，對外界干擾和系統(tǒng)參數(shù)攝動具有完全自適應(yīng)性，但出現(xiàn)了抖振現(xiàn)象。賈鵬霄[6]等將比例微分(proportion derivative,PD)自適應(yīng)控制與輸入整形相結(jié)合，并將其應(yīng)用于橋式起重機的防擺控制中，但只考慮了二維模型并進行了線性化。方勇純[7]等從能量入手，基于無源控制的方法設(shè)計了兩種非線性控制器，實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的漸近鎮(zhèn)定。該方法能夠簡化控制器的設(shè)計，不過該模型較簡單，未考慮繩長變化等因素。董明曉[8]等人將優(yōu)化思想引入到滑?？刂破髟O(shè)計中，設(shè)計了一種時滯濾波器。王曉軍[9]等人設(shè)計了一種最優(yōu)隨機時滯濾波器。該濾波器具有多峰極、對參數(shù)變化不靈敏以及設(shè)計簡單的特點，能夠提高對繩長變化、頻率變化和阻尼誤差的強魯棒性。

本文針對橋式起重機三維模型，考慮負載繩長的變化，結(jié)合無源控制和滑模控制各自的優(yōu)點，設(shè)計了無源滑模控制器，并進行濾波，有效地抑制負載的殘余振蕩，消除滑?？刂聘哳l抖振現(xiàn)象，進一步提高系統(tǒng)的魯棒性。該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，能有效實現(xiàn)負載的防擺和小車精確定位。

1 系統(tǒng)動力學模型

三維橋式起重機系統(tǒng)模型如圖1所示。圖1中：M、m分別為小車和負載的質(zhì)量；l為繩長；θx為繩子在XZ平面上的投影與Z軸的夾角，θy為繩子在XZ平面上的投影與繩子本身的夾角；fx和fy分別為X、Y軸的水平驅(qū)動力，fl為沿繩子方向的提升驅(qū)動力。

利用歐拉-拉格朗日方程建立動力學模型，不考慮繩子質(zhì)量以及其他因素影響，得到的橋式起重機三維動力學模型如式(1)所示[11]。

(1)

將該三維模型改寫成如式(2)的矩陣形式:

(2)

狀態(tài)向量如式(3)所示：

q=(x,y,l,θx,θy)T

(3)

慣性矩陣如式(4)所示：

(4)

(5)

式(5)中，a、b、c的表達式如下：

重力向量如式(6)所示：

G(q)=(0,0,-mgcosθxcosθy,mglsinθxcosθy,mglcosθxsinθy)T

(6)

控制輸入向量如式(7)所示：

τ=(fx,fy,fl,0,0)T

(7)

取小車位置平面為零勢能參考點，則勢能為：

P=-mglcosθxcosθy

(8)

2 無源性分析

對于橋式起重機系統(tǒng)(2)，其能量為:

(9)

對上式求導(dǎo)，可得：

由此可知，橋式起重機系統(tǒng)(2)對于輸入τ和輸出q具有無源性。

3 基于濾波器的無源滑?？刂?/h2>

3.1 無源控制

本文的控制目標是對任意的初始狀態(tài)(xy,y0，l0,θx0,θy0)T,考慮負載的提升過程，在吊繩變化的情況下，能快速到達終點位置(0,0,ld，0,0)T，保證小車的精確定位和負載的消擺。為了實現(xiàn)這一目標，對系統(tǒng)(2)施加控制輸入，如式(10)所示：

(10)

式中：qd=(xd,yd,ld,θxd,θyd)T為系統(tǒng)期望狀態(tài)值，一般θxd=θyd=0。

(11)

式中：u為無源控制。

(12)

對式(12)求導(dǎo)，得：

(13)

(14)

式中：Λ=diag(λ1,λ2,λ3,0,0),λi>0,i=1,2,3。

假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的能量為：

(15)

(16)

以上求導(dǎo)表明：誤差閉環(huán)系統(tǒng)也具有無源性。

3.2 滑?？刂?/p>

(17)

則：

(18)

為保證能量函數(shù)衰減性，滑?？刂撇捎贸Ｖ登袚Q控制，即：

v=-v0sgn(s)v0>0

(19)

則系統(tǒng)的無源滑?？刂坡?passive-based control sliding mode controller,PBC-SMC)為：

(20)

為了消除抖振，采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，令v=-v0sat(s) ，則控制律為：

(21)

如果v=0、s=0，則可推出：

(22)

由式(20)可知，t→∞、e(t)→0，則閉環(huán)系統(tǒng)為零狀態(tài)可測系統(tǒng)。根據(jù)LaSalle不變集定理[12]可知，系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定；又因為系統(tǒng)具有零狀態(tài)可檢測和無源性，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定定理可知，閉環(huán)系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。

3.3 基于濾波器的無源滑模控制

為了抑制負載的殘余振蕩，將一個低通濾波器加到無源滑?？刂破鞯妮敵龆耍瑢刂菩盘栠M行濾波；再利用基于反饋補償?shù)恼`差閉環(huán)系統(tǒng)的無源性和穩(wěn)定性，構(gòu)造一個基于濾波器的控制系統(tǒng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

設(shè)計的濾波器為低通濾波器，其傳遞函數(shù)為：

(23)

使得系統(tǒng)等效輸入δ滿足：

(24)

選擇新的滑模面為：

(25)

選取閉環(huán)系統(tǒng)的控制Lyapunov函數(shù)同式(17)所示。

對Hc求導(dǎo)，得：

(26)

為保證能量函數(shù)的衰減性，令：

λu+T=-λβsat(s)

(27)

則系統(tǒng)應(yīng)滿足：

(28)

式中：α=diag(α1,…,αi)。

4 仿真研究

設(shè)系統(tǒng)參數(shù)：M=2 kg，m=1 kg，初始值(x0,y0,l0,θx0,θy0)=(-5,-5,5,0,0)，期望值(xd,yd,ld,θxd,θyd)= (0,0,2.5,0,0)。取控制器參數(shù)：v0=5,λ1=3.5,λ2=1,λ3=4,α=diag(0.8,2.5,4)。對橋式起重機防擺控制系統(tǒng)進行仿真研究，得到的繩長變化曲線、小車位移曲線及擺角變化曲線如圖3～圖5所示。

從圖3～圖5可以看出，兩個控制器均在20 s時到達期望的位置，小車位置和繩長定位準確。在此過程中，相比PBC-SMC控制器，PBC-SMC-濾波器控制器于5 s內(nèi)完成提升動作，時間縮短了3 s；小車位移系統(tǒng)收斂速度也更快，負載擺動的幅度更小，未出現(xiàn)殘余振蕩。

圖3 無干擾繩長變化曲線

圖4 無干擾小車位移曲線

在t=20 s時，在基于濾波器的無源滑模控制系統(tǒng)中加入單位階躍干擾后，擺角變化曲線如圖6所示。

圖5 無干擾擺角變化曲線

圖6 單位階躍干擾下擺角變化曲線

由圖6可知，系統(tǒng)在外界干擾下，X、Y軸兩個擺角經(jīng)過小幅的振蕩后，最終趨于穩(wěn)定，可見系統(tǒng)有較好的抗干擾能力和較強的魯棒性。

5 結(jié)束語

本文在橋式起重機三維誤差控制系統(tǒng)無源性分析的基礎(chǔ)上，考慮負載繩長的變化，結(jié)合滑?？刂评碚?，修改了系統(tǒng)的控制Lyapunov能量函數(shù)，研究了基于濾波器的橋式起重機無源滑模防擺控制方法。該方法實現(xiàn)了小車的精確定位和負載的有效防擺。仿真結(jié)果證明了該方法的正確性和有效性，為進一步的試驗研究奠定基礎(chǔ)。

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ResearchonPassiveSlidingModeAnti-SwingControlBasedonFilterforBridgeCrane

CHEN Zhimei,GAO Wulong,ZHANG Jinggang

(School of Electronics and Information Engineering,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024,China)

The anti-swing control system of bridge crane has highly nonlinear and under-actuated characteristics, and the positioning and swing angle are mutually affected.The rope length and mass of load are changing frequently, and the air damping and friction factors are uncertain,so the conventional linear anti-swing control method is difficult to work effectively.For these problems,in consideration of the changes of load lifting and rope length,the Euler Lagrange three dimensional error system has been established,through analyzing the passivity of the system,and combining together the advantages of both passive control and sliding mode control,a passive sliding mode controller based on filter is designed,and the stability of system is proved by constructing the Lyapunov energy function.This anti-swing control system is in simple structure,and it not only eliminates the chattering of sliding mode control,to make the system asymptotically stable,but also effectively realize fast positioning of trolley and load anti-swing,thus the robustness and other performances of the system are improved.The simulation results verify the correctness and effectiveness of the control scheme proposed.

Passive control; Sliding mode control; Feedback compensation; Lyapunov function; PID; Bridge crane; Under-actuated system； Filter

TH39;TP273

： A

10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201709002

修改稿收到日期:2016-12-09

山西省自然科學基金資助項目(2014011020-2)、山西省研究生教育改革研究基金資助項目(20142058)

陳志梅(1970—)，女，博士，教授，主要從事機電一體化系統(tǒng)控制等方向的研究。E-mail：zhimeichen400@163.com。